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课堂达标六函数的奇偶性与周期性[A基础巩固练]1.2018·北京市东城区二模下列函数中为奇函数的是 A.y=x+cosx B.y=x+sinxC.y=D.y=e-|x|[解析] A和C为非奇非偶函数,y=e-|x|为偶函数,令fx=x+sinx,定义域为R,f-x=-x+sin-x=-x-sinx=-fx,故y=x+sinx为奇函数,故选B.[答案] B2.已知fx,gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且fx-gx=x3+x2+1,则f1+g1= A.-3 B.-1 C.1 D.3[解析] 因为fx是偶函数,gx是奇函数,所以f1+g1=f-1-g-1=-13+-12+1=
1.故选C.[答案] C3.2018·绵阳诊断已知偶函数fx在区间[0,+∞上单调递增,则满足f2x-1<f的x的取值范围是 A.B.C.D.[解析] ∵fx是偶函数,∴fx=f|x|,∴f|2x-1|<f,再根据fx的单调性,得|2x-1|<,解得<x<,故选A.[答案] A4.2018·刑台摸底考试已知定义在-11上的奇函数fx,其导函数为f′x=1+cosx,如果f1-a+f1-a2<0,则实数a的取值范围为 A.01B.1C.-2,-D.1,∪-,-1[解析] 依题意得,f′x>0,则fx是定义在-11上的奇函数、增函数.不等式f1-a+f1-a2<0等价于f1-a2<-f1-a=fa-1,则-1<1-a2<a-1<1,由此解得1<a<.[答案] B5.2018·太原模拟已知函数fx=x,若fx1<fx2,则 A.x1>x2B.x1+x2=0C.x1<x2D.x<x[解析] 1f-x=-x=fx,∴fx在R上为偶函数,f′x=ex-+x,∴x>0时,f′x>0,∴fx在[0,+∞上为增函数,由fx1<fx2,得f|x1|<f|x2|,∴|x1|<|x2|,∴x<x.[答案] D6.2018·河南新野第三高级中学月考已知函数gx是R上的奇函数,且当x<0时,gx=-ln1-x,函数fx=若f2-x2>fx,则实数x的取值范围是 A.-∞,1∪2,+∞B.-∞,-2∪1,+∞C.12D.-21[解析] 设x>0,则-x<
0.∵x<0时,gx=-ln1-x,∴g-x=-ln1+x.又∵gx是奇函数,∴gx=ln1+xx>0,∴fx=其图象如图所示.由图象知,函数fx在R上是增函数.∵f2-x2>fx,∴2-x2>x,即-2<x<
1.[答案] D7.2018·湖南省常德市一模已知y=fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx=2x-1,则f-2=______.[解析] 根据题意,当x>0时,fx=2x-1,则f2=22-1=3,又由y=fx是定义在R上的奇函数,则f-2=-f2=-3;故答案为-
3.[答案] -38.已知fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0上单调递增.若实数a满足f2|a-1|f-,则a的取值范围是______.[解析] ∵fx是偶函数,且在-∞,0上单调递增,∴fx在0,+∞上单调递减,f-=f,∴f2|a-1|>f,∴2|a-1|=2,∴|a-1|,即-a-1,即a.[答案] 9.2018·湖南衡阳第三次联考已知函数fx=log-,则使得fx+1<f2x-1成立的x的范围是________.[解析] 由题意得,函数fx定义域是R,∵f-x=log-=fx,∴函数fx是偶函数,∵偶函数fx在0,+∞上单调递减,fx+1<f2x-1,∴|x+1|>|2x-1|,解得0<x<2,故答案为0<x<
2.[答案] 0<x<210.已知函数fx是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.1求证fx是周期为4的周期函数;2若fx=0<x≤1,求x∈[-5,-4]时,函数fx的解析式.[解] 1证明由函数fx的图象关于直线x=1对称,有fx+1=f1-x,即有f-x=fx+2.又函数fx是定义在R上的奇函数,故有f-x=-fx.故fx+2=-fx.从而fx+4=-fx+2=fx,即fx是周期为4的周期函数.2由函数fx是定义在R上的奇函数,有f0=
0.x∈[-10时,-x∈01],fx=-f-x=-.故x∈[-10]时,fx=-.x∈[-5,-4]时,x+4∈[-10],fx=fx+4=-.从而,x∈[-5,-4]时,函数fx=-.[B能力提升练]1.2018·安徽合肥一模已知函数在fx=x2-2xsinx-1+x+1在[-13]上的最大值为M,最小值为m,则M+m= A.4B.2C.1D.0[解析] 设t=x-1,则fx=x2-2xsinx-1+x+1=t2-1sint+t+2,t∈[-22],记gt=t2-1sint+t+2,则函数y=gt-2=t2-1sint+t是奇函数,由已知y=gt-2的最大值为M-2,最小值为m-2,所以M-2+m-2=0,即M+m=4,故选A.[答案] A2.2018·宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷已知函数fx=2sinx-3x,若对任意m∈[-22],fma-3+fa2>0的恒成立,则a的取值范围是 A.-11 B.-∞,-1∪3,+∞C.-33 D.-∞,-3∪1,+∞[解析] ∵f-x=2sin-x-3-x=-2sinx-3x=-fx,∴fx是奇函数,又fx=2cosx-3<0,∴fx单调递减,fma-3+fa2>0可化为fma-3>-fa2=f-a2,由fx递减知ma-3<-a2,即ma+a2-3<0,∴对任意的m∈[-22],fma-3+fa2>0恒成立,等价于对任意的m∈[-22],ma+a2-3<0恒成立,则,解得-1<a<1,故选A.[答案] A3.2018·广州调研已知fx是奇函数,gx=fx+4,g1=2,则f-1的值是 ________ .[解析] ∵gx=fx+4,∴fx=gx-4,又fx是奇函数,∴f-1=-f1=-g1+4=
2.[答案] 24.已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数.若方程fx=mm>0在区间[-88]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=______.[解析] 因为fx为奇函数并且fx-4=-fx.所以fx-4=-f4-x=-fx,即f4-x=fx,且fx-8=-fx-4=fx,即y=fx的图象关于x=2对称,并且是周期为8的周期函数.因为fx在
[02]上是增函数,所以fx在[-22]上是增函数,在
[26]上为减函数,据此可画出y=fx的图象.图象也关于x=-6对称,x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-
8.[答案] -85.函数fx的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值;2判断fx的奇偶性并证明你的结论;3如果f4=1,fx-1<2,且fx在0,+∞上是增函数,求x的取值范围.[解] 1∵对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2,∴令x1=x2=1,得f1=2f1,∴f1=
0.2令x1=x2=-1,有f1=f-1+f-1,∴f-1=f1=
0.令x1=-1,x2=x有f-x=f-1+fx,∴f-x=fx,∴fx为偶函数.3依题设有f4×4=f4+f4=2,由2知,fx是偶函数,∴fx-1<2⇔f|x-1|<f16.又fx在0,+∞上是增函数.∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠
1.∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.[C尖子生专练]2017·台州模拟已知函数gx是R上的奇函数,且当x0时,gx=-ln1-x,函数fx=若f2-x2fx,则实数x的取值范围是______.[解析] 设x0,则-x
0.∵x0时,gx=-ln1-x,∴g-x=-lnx+1.又∵gx是奇函数,∴gx=ln1+xx0,∴fx=其图象如图所示.由图象知,函数fx在R上是增函数.∵f2-x2fx,∴2-x2x,即-2x
1.所以实数x的取值范围是-21.[答案] -21。