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第四节推理与证明课时作业A组——基础对点练1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.答案A2.2018·重庆检测演绎推理“因为对数函数y=logaxa0且a≠1是增函数,而函数是对数函数,所以是增函数”所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误解析因为当a1时,y=logax在定义域内单调递增,当0a1时,y=logax在定义域内单调递减,所以大前提错误.故选A.答案A3.观察x2′=2x,x4′=4x3,cosx′=-sinx,由归纳推理可得若定义在R上的函数fx满足f-x=fx,记gx为fx的导函数,则g-x等于 A.fxB.-fxC.gxD.-gx解析由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.∵f-x=fx,∴fx是偶函数,从而gx是奇函数.∴g-x=-gx.答案D4.2018·丹东联考已知“整数对”按如下规律排列11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则第70个“整数对”为 A.39B.48C.310D.49解析因为1+2+…+11=66,所以第67个“整数对”是112,第68个“整数对”是211,第69个“整数对”是310,第70个“整数对”是49.故选D.答案D5.2018·山西质量监测对累乘运算∏有如下定义k=a1×a2×…×an,则下列命题中的真命题是 A.k不能被10100整除B.=22015C.2k-1不能被5100整除D.2k-1k=解析因为2k-1k=1×3×5×…×2015×2×4×6×…×2014=1×2×3×…×2014×2015=,故选D.答案D6.已知13+23=213+23+33=213+23+33+43=2,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n= A.8 B.9C.10D.11解析13+23=2=2,13+23+33=2=2,13+23+33+43=2=2,……由此归纳可得13+23+33+43+…+n3=[]2,因为13+23+33+43+…+n3=3025,所以[]2=3025,所以n2n+12=2×552,所以n=10,故选C.答案C7.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是 A.a-b0B.a-c0C.a-ba-c0D.a-ba-c0解析由abc,且a+b+c=0得b=-a-c,a0,c
0.要证a,只要证-a-c2-ac3a2,即证a2-ac+a2-c20,即证aa-c+a+ca-c0,即证aa-c-ba-c0,即证a-ca-b
0.故求证“a”索的因应是a-ca-b
0.故选C.答案C8.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是
①y=cosxx∈R是三角函数;
②三角函数是周期函数;
③y=cosxx∈R是周期函数.A.
①②③B.
②①③C.
②③①D.
③②①解析根据“三段论”“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知
①y=cosxx∈R是三角函数是“小前提”;
②三角函数是周期函数是“大前提”;
③y=cosxx∈R是周期函数是“结论”.故“三段论”模式排列顺序为
②①③.故选B.答案B9.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,则△ABC的内切圆半径为r=.将此结论类比到空间四面体设四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,则四面体的内切球半径为r= A.B.C.D.解析设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V=S1+S2+S3+S4r,所以r=.答案C10.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除A、D;若袋中有四个球,则红球、黑球各两个,若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一个放在乙盒,再取出余下的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除C;故选B.答案B11.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为__________.解析因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,所以乙的阅读量大于丙的阅读量,甲的阅读量大于丁的阅读量,因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和,所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙.答案甲、丁、乙、丙B组——能力提升练1.观察下列算式21=222=423=824=1625=3226=6427=12828=256,…,用你所发现的规律得出22018的末位数字是 A.2B.4C.6D.8解析通过观察可知,末位数字的周期为42018÷4=504……2,故22018的末位数字为
4.故选B.答案B2.观察下列各式a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10= A.28B.76C.123D.199解析记an+bn=fn,则f3=f1+f2=1+3=4;f4=f2+f3=3+4=7;f5=f3+f4=
11.通过观察不难发现fn=fn-1+fn-2n∈N*,n≥3,则f6=f4+f5=18;f7=f5+f6=29;f8=f6+f7=47;f9=f7+f8=76;f10=f8+f9=
123.所以a10+b10=
123.答案C3.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远单位米
1.
961.
921.
821.
801.
781.
761.
741.
721.
681.6030秒跳绳单位次63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则 A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛解析由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a6063,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B.答案B4.2018·武昌区调研一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说“我没有作案,是丙偷的”;丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是________.解析由题可知,乙、丁两人的观点一致,即同真同假,假设乙、丁说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说的是真话,推出丙是罪犯,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,显然两个结论相互矛盾,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙供述可得,乙是罪犯.答案乙5.“求方程x+x=1的解”有如下解题思路设fx=x+x,则fx在R上单调递减,且f2=1,所以原方程有唯一解x=
2.类比上述解题思路,方程x6+x2=x+23+x+2的解集为________.解析令fx=x3+x,则fx是奇函数,且为增函数,由方程x6+x2=x+23+x+2得fx2=fx+2,故x2=x+2,解得x=-12,所以方程的解集为{-12}.答案{-12}6.观察下列等式1+2+3+…+n=nn+1;1+3+6+…+nn+1=nn+1n+2;1+4+10+…+nn+1n+2=nn+1n+2·n+3;……可以推测,1+5+15+…+nn+1n+2n+3=________.解析根据式子中的规律可知,等式右侧为nn+1n+2n+3n+4=nn+1n+2n+3n+4.答案nn+1n+2n+3n+47.已知数列{bn}满足3n+1bn=nbn+1,且b1=
3.1求数列{bn}的通项公式;2已知=,求证≤++…+
1.解析1因为3n+1bn=nbn+1,所以=.因此,=3×,=3×,=3×,…,=3×,上面式子累乘可得=3n-1×n,因为b1=3,所以bn=n·3n.2证明因为=,所以an=·3n.因为=·=·=-=·-·,所以++…+=1·-·+·-·+…+·-·=1-·.因为n∈N*,所以0·≤,所以≤1-·1,所以≤++…+
1.。