2019届高考数学一轮复习第四章平面向量课堂达标25平面向量的数量积与平面向量应用举例文新人教版

课堂达标二十五平面向量的数量积与平面向量应用举例[A基础巩固练]1．2018·衡水模拟已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|等于　　A．2　　　B．6　　　C．2　　　D．12[解析]　|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝

12.∴|4a－b|＝

2.[答案]　C2．2018·江西重点高中模拟考试在△ABC中，D，E分别为BC，AB的中点，F为AD的中点，若·＝－1，AB＝2AC＝2，则·的值为　　A.B.C.D.[解析]　因为＝＝＋，＝－＝－，所以·＝＋＝2－·－2＝×4－×－1－＝，应选答案B.[答案]　B3．2018·郑州市质检在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是　　A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形[解析]　依题意得2＝·＋＋·＝2＋·，所以·＝0，⊥，△ABC是直角三角形，故选D.[答案]　D4．2018·吉大附中第七次模拟设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝－3e2，则a在b方向上的投影为　　A．－B．－C.D.[解析]　由题意可得e1·e2＝1×1×cosπ＝－，a·b＝e1＋2e2·－3e2＝－3e1·e2＋6e＝－，|a|＝＝，|b|＝，据此可得a在b方向上的投影为＝－.本题选择B选项．[答案]　B5．2016·山东高考已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥tm＋n，则实数t的值为　　A．4B．－4C.D．－[解析]　∵n⊥tm＋n，∴n·tm＋n＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n2|＝

0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－

4.故选B.[答案]　B6．2018·江西宜春二模已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝1－t，||在t0时取最小值，当0t0时，cosθ的取值范围为　　A.B.C.D.[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有A20，Bcosθ，sinθ，由向量关系可得＝t＝2t0，＝1－t＝1－tcosθ，1－tsinθ，则||＝|－|＝，整理可得||＝，满足题意时t0＝－＝－，据此可得三角不等式0－，解得－cosθ，即cosθ的取值范围是.本题选择D选项．[答案]　D7．2017·天津在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝

2.若＝2，＝λ－λ∈R，且·＝－4，则λ的值为______．[解析]　·＝3×2×cos60°＝3，＝＋，则·＝λ－＝×3＋×4－×9－×3＝－4⇒λ＝.[答案]　8．2018·江西省七校联考已知a＝32，b＝2，－1，若向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．[解析]　依题意，λa＋b·a＋λb＝λa2＋λb2＋λ2＋1a·b0，即4λ2＋18λ＋40，由此解得λ或λ.注意到当λa＋b与a＋λb同向共线时，λ＝1，λa＋b·a＋λb

0.因此，所求的实数λ的取值范围是λ或λ且λ≠

1.[答案]　λ或λ且λ≠19．2018·石家庄市质检在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内含边界任意一点，则·的最大值为______．[解析]　如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则E，设Fx，y，则，·＝2x＋y，令z＝2x＋y，当z＝2x＋y过点21时，·取最大值.[答案]　10．2018·青岛诊断已知向量a＝，b＝，实数k为大于零的常数，函数fx＝a·b，x∈R，且函数fx的最大值为.1求k的值．2在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若Aπ，fA＝0，且a＝2，求·的最小值．[解]　1由已知fx＝a·b＝·＝ksincos－kcos2＝ksin－k·＝－＝－＝sin－，因为x∈R，所以fx的最大值为＝，则k＝

1.2由1知fx＝sin－，所以fA＝sin－＝0，化简得sin＝.因为Aπ，所以－，则－＝，解得A＝.因为cosA＝－＝＝，所以b2＋c2＋bc＝40，则b2＋c2＋bc＝40≥2bc＋bc，所以bc≤＝202－，则·＝||||cos＝－bc≥201－，所以·的最小值为201－．[B能力提升练]1．2018·厦门质检已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的　　A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心[解析]　因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由·＝·＝·，得·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．[答案]　C2．2018·湖南衡阳第三次联考如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是　　A．4B．8C.D.[解析]　因为D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，所以＝＋，＝－＋，＝＋3，＝－＋

3.所以·＝2－2＝－1，·＝92－2＝4，所以2＝，2＝，又因为＝＋2，＝－＋，所以·＝42－2＝，故选C.[答案]　C3．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于______．[解析]　建立如图所示坐标系，则B，C0，t，＝，＝0，t，＝＋＝t＋0，t＝14，∴P14，·＝·－t，t－4＝17－≤17－2＝

13.[答案]　134．2017·课标Ⅲ在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为　　A．3B．2C.D．2[解析]　如图所示，建立平面直角坐标系设A01，B00，C20，D21，Px，y，根据等面积公式可得圆的半径r＝，即圆C的方程是x－22＋y2＝，＝x，y－1，＝0，－1，＝20，若满足＝λ＋μ，即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，设z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，点Px，y在圆x－22＋y2＝上，所以圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.[答案]　A5．2018·青岛模拟在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝－12，又点A80，Bn，t，Cksinθ，t.1若⊥a，且||＝||，求向量；2若向量与向量a共线，当k4，且tsinθ取最大值4时，求·.[解]　1由题设知＝n－8，t，∵⊥a，∴8－n＋2t＝

0.又∵||＝||，∴5×64＝n－82＋t2＝5t2，得t＝±

8.当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，∴＝248或＝－8，－8．2由题设知＝ksinθ－8，t，∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝－2ksinθ＋16sinθ＝－2k2＋.∵k4，∴01，∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝48，∴·＝80·48＝

32.[C尖子生专练]2018·云南省昆明三中第三次综合测试已知m＝2cosx1，n＝cosx，sin2x＋a，fx＝m·n.1求函数fx的最小正周期和单调递增区间；2当x∈时，fx的最大值为，且在此范围内，关于x的方程fx＝k恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．[解]　1fx＝2cos2x＋sin2x＋a＝cos2x＋sin2x＋a＋1＝sin＋a＋1，∴该函数的最小正周期为T＝＝π.令2x＋∈，k∈Z；2kπ－2x＋2kπ＋kπ－πxkπ＋∴fx的单调增区间为k∈Z2∵0≤x≤π，0≤2x≤π，≤2x＋≤π，0≤sin≤1，∴f1最大值为＋a＋1＝，∴a＝－

1.因此，fx＝sin，要使fx＝k在x∈时，恰有两解．符合图象知，k∈即k∈[1，∴实数k的取值范围为[1，．。