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第三节三角函数的图象与性质课时作业A组——基础对点练1.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 A.y=cos B.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx解析y=cos=-sin2x,最小正周期T==π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故A正确;y=sin=cos2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故B不正确;C,D均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C,D不正确.答案A2.已知函数y=sinωxω0在区间上为增函数,且图象关于点3π,0对称,则ω的取值集合为 A.B.C.D.解析由题意知即其中k∈Z,则ω=,ω=或ω=1,即ω的取值集合为.答案A3.2018·长春调研函数fx=sinx+cosx2图象的一条对称轴方程是 A.x=B.x=C.x=D.x=π解析fx=sinx+cosx2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x,将各选项代入验证可知,当x=时,fx取得最值,故选A.答案A4.函数fx=tan的单调递增区间是 A.k∈ZB.k∈ZC.k∈ZDk∈Z解析由kπ-2x-kπ+k∈Z,得-x+k∈Z,所以函数fx=tan的单调递增区间为k∈Z.答案B5.2018·云南五市联考若函数fx=2sinωx0<ω<1在区间[0,]上的最大值为1,则ω= A.B.C.D.解析因为0<ω<10≤x≤,所以0≤ωx<.所以fx在区间[0,]上单调递增,则fxmax=f=2sin=1,即sin=.又0≤ωx<,所以=,解得ω=,选C.答案C6.函数fx=cos2-sinx-x∈[0,π]的单调递增区间为 A.[0,]B.[0,]C.[,π]D.[,π]解析fx=cos2-sinx-=2cos2-1-sinx=cosx-sinx=cosx+,由2kπ-π≤x+≤2kπk∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ-k∈Z,又x∈[0,π],所以当k=1时,fx的单调递增区间为[,π],故选C.答案C7.函数y=sinx+cosx2-1是 A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数解析y=sin2x+2sinxcosx+cos2x-1=sin2x,故选C.答案C8.函数fx=2sinωx+φω>0对任意x都有f=f,则f等于 A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0解析因为函数fx=2sinωx+φ对任意x都有f=f,所以该函数图象关于直线x=对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,所以选B.答案B9.已知函数fx=sinωx-cosωxω>0在0,π上有且只有两个零点,则实数ω的取值范围为 A.0,]B.,]C.,]D.,]解析易得fx=2sinωx-,设t=ωx-,因为0<x<π,所以-<t<ωπ-,因为函数fx在0,π上有且仅有两个零点,所以π<ωπ-≤2π,解得<ω≤,故选B.答案B
10.2018·长沙模拟已知函数fx=Asinωx+φA0,ω00φπ的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和,图象在y轴上的截距为,给出下列四个结论
①fx的最小正周期为π;
②fx的最大值为2;
③f=1;
④f为奇函数.其中正确结论的个数是 A.1B.2C.3D.4解析由图知,周期T=2=π,则ω=2,由2×+φ=,得φ=.由f0=,得Asin=,即A=
2.所以fx=2sin,则f=2sin=2cos=1,f=2sin=2sin2x为奇函数.所以四个结论都正确.答案D11.已知x∈0,π],关于x的方程2sin=a有两个不同的实数解,则实数a的取值范围为__________.解析令y1=2sin,x∈0,π],y2=a,作出y1的图象如图所示.若2sin=a在0,π]上有两个不同的实数解,则y1与y2应有两个不同的交点,所以a
2.答案,212.若函数fx=sinx+φ+cosx+φ为偶函数,则φ=__________.解析由题意可知fx=sin为偶函数,所以φ+=+kπk∈Z.又由|φ|,得φ=.答案13.当函数y=sinx-cosx0≤x<2π取得最大值时,x=________.解析由已知条件可得y=2sin,又由0≤x<2π得-≤x-<,当x-=时y取得最大值,此时x=.答案B组——能力提升练1.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是 解析y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=对比选项,可知选D.答案D2.已知函数fx=-2sin2x+φ|φ|π,若f=-2,则fx的一个单调递增区间可以是 A.B.C.D.解析∵f=-2,∴-2sin=-2,即sin=
1.∴+φ=+2kπ,又∵|φ|π,∴φ=,∴fx=-2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.当k=0时,得≤x≤.即fx的一个单调递增区间可以是.答案D3.若函数y=tanωxω∈N*的图象的一个对称中心是,则ω的最小值是 A.2 B.3 C.6 D.9解析因为正切函数fx=tanx图象的对称中心为k∈Z,且函数y=tanωxω∈N*的一个对称中心是,所以=k∈Z,因此ω=3kk∈Z.因为ω∈N*,所以当k=1时,ω取得最小值3,故选B.答案B4.已知函数fx=Asinωx+φA0,ω0的图象与直线y=b0bA相交,其中一个交点P的横坐标为4,若与P相邻的两个交点的横坐标为28,则fx的单调递减区间为 A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6k-36k],k∈ZC.[6k6k+3],k∈ZD.[6kπ-36kπ],k∈Z解析根据题设中提供的数据信息可知周期T=6,结合fx=Asinωx+φA0,ω0的图象可知fx在区间[6k-36k],k∈Z上是单调递减的,故选B.答案B5.若函数fx=sinω0的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且该函数图象关于点x00成中心对称,x0∈,则x0= A.B.C.D.解析由题意得=,T=π,则ω=
2.由2x0+=kπk∈Z,得x0=-k∈Z,又x0∈,所以x0=.答案A6.已知函数fx=cos2+sinωx-ω>0,x∈R,若fx在区间π,2π内没有零点,则ω的取值范围是 A.0,]B.0,]∪[,C.0,]D.0,]∪[,]解析函数fx=cos2+sinωx-=cosωx+sinωx=sinωx+,可得T=≥π,0<ω≤2,fx在区间π,2π内没有零点,函数的图象如图两种类型,结合三角函数可得或,解得ω∈0,]∪[,.答案B7.已知函数fx=3sinω0和gx=2cos2x+φ+1的图象的对称轴完全相同,若x∈,则fx的取值范围是 A.B.[-33]C.D.解析因为两个函数图象的对称轴完全相同,所以这两个函数的周期相同,即ω=2,所以函数fx=3sin2x-.当x∈[0,]时,2x-∈[-,],由正弦函数的图象及其性质知,fxmin=f0=-,fxmax=f=3,故选A.答案A8.2018·长沙市模拟已知函数fx=sinx+-cosx+,若存在x1,x2,…,xn满足0≤x1<x2<…<xn≤6π,且|fx1-fx2|+|fx2-fx3|+…+|fxn-1-fxn|=12n≥2,n∈N*,则n的最小值为 A.6B.10C.8D.12解析fx=sinx+-cosx+=sinx+-=sinx,所以|fxn-1-fxn|≤2,又|fx1-fx2|+|fx2-fx3|+…+|fxn-1-fxn|=12n≥2,n∈N*,所以要使n取最小值,需x1=0,x2=,x3=,x4=,…,x7=,x8=6π.故满足条件的最小整数n为
8.答案C9.设函数fx=x∈R,则fx A.在区间上是减函数B.在区间上是增函数C.在区间上是增函数D.在区间上是减函数解析由fx=可知,fx的最小正周期为π.由kπ≤x+≤+kπk∈Z,得-+kπ≤x≤+kπk∈Z,即fx在k∈Z上单调递增;由+kπ≤x+≤π+kπk∈Z,得+kπ≤x≤+kπk∈Z,即fx在k∈Z上单调递减.将各选项逐项代入验证,可知B正确.答案B10.若函数fx同时具有以下两个性质
①fx是偶函数;
②对任意实数x,都有f=f.则fx的解析式可以是 A.fx=cosxB.fx=cosC.fx=sinD.fx=cos6x解析由题意可得,函数fx是偶函数,且它的图象关于直线x=对称.因为fx=cosx是偶函数,f=,不是最值,故不满足图象关于直线x=对称,故排除A.因为函数fx=cos=-sin2x是奇函数,不满足条件
①,故排除B.因为函数fx=sin=cos4x是偶函数,且f=-1,是最小值,故满足图象关于直线x=对称,故C满足条件.因为函数fx=cos6x是偶函数,f=0,不是最值,故不满足图象关于直线x=对称,故排除D.答案C11.已知fx=sinωx+φ图象相邻对称轴间的距离为,f0=,则gx=2cosωx+φ在区间上的最小值为 A.-B.-2C.-1D.1解析由题意得函数fx的最小正周期为π,则ω=2,由f0=,可得φ=,所以gx=2cosωx+φ即为gx=2cos.因为x∈,所以2x+∈,得-1≤cos≤,则gx在区间上的最小值为-
2.答案B12.已知函数fx=2cos22x-
2.给出下列命题
①∃β∈R,fx+β为奇函数;
②∃α∈0,,fx=fx+2α对x∈R恒成立;
③∀x1,x2∈R,若|fx1-fx2|=2,则|x1-x2|的最小值为;
④∀x1,x2∈R,若fx1=fx2=0,则x1-x2=kπk∈Z.其中的真命题有 A.
①②B.
③④C.
②③D.
①④解析由题意,fx=2cos22x-2=cos4x-
1.对于
①,fx=cos4x-1的图象如图所示,函数fx+β的图象是fx的图象向左或向右平移|β|个单位长度得到的,它不会是奇函数,故
①错误;对于
②,fx=fx+2α,所以cos4x-1=cos4x+8α-1,所以8α=2kπ,k∈Z,所以α=,k∈Z.又α∈0,,所以取α=或时,fx=fx+2α对x∈R恒成立,故
②正确;对于
③,|fx1-fx2|=|cos4x1-cos4x2|=2时,|x1-x2|的最小值为==,所以
③正确;对于
④,∀x1,x2∈R,当fx1=fx2=0时,x1-x2=kT=k·=,k∈Z,所以
④错误.综上,真命题是
②③,故选C.答案C13.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是__________.解析由2x+=kπk∈Z得,x=-k∈Z.∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是,k∈Z.答案,k∈Z14.设函数fx=Asinωx+φA,ω,φ是常数,A0,ω0.若fx在区间上具有单调性,且f=f=-f,则fx的最小正周期为__________.解析由fx在区间上具有单调性,且f=-f知,fx有对称中心,由f=f知fx有对称轴x==π.记fx的最小正周期为T,则T≥-,即T≥π.故π-==,解得T=π.答案π15.已知函数
①fx=2sin2x+;
②fx=2sin2x-;
③fx=2sinx+;
④fx=2sin2x-.其中,最小正周期为π且图象关于直线x=对称的函数序号是________.解析对于
①,其最小正周期T==π,其图象的对称轴为2x+=kπ+k∈Z,即x=+k∈Z,显然x=不是函数fx=2sin2x+图象的对称轴,
①错误;对于
②,其最小正周期T==π,其图象的对称轴为2x-=kπ+k∈Z,即x=+k∈Z,显然x=是函数fx=2sin2x-图象的对称轴,
②正确;对于
③,其最小正周期T==4π,
③错误;对于
④,其最小正周期T==π,其图象的对称轴为2x-=kπ+k∈Z,即x=+k∈Z,显然x=不是函数fx=2sin2x-图象的对称轴,
④错误.答案
②。