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课堂达标四十二直线与圆、圆与圆的位置关系[A基础巩固练]1.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为 A.x+12+y-12=2 B.x+12+y+12=2C.x-12+y-12=2D.x-12+y+12=2[解析] 由题意知x-y=0和x-y-4=0之间的距离为=2,所以r=;又因为y=-x与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为00,由y=-x和x-y-4=0联立得交点坐标为2,-2,所以圆心坐标为1,-1,圆C的标准方程为x-12+y+12=
2.[答案] D2.2018·宁夏石嘴山三中二模试卷已知直线y=mx与x2+y2-4x+2=0相切,则m值为 A.±B.±C.±D.±1[解析] 圆x2+y2-4x+2=0的标准方程为x-22+y2=2,∴圆心20,半径为∵直线y=mx与x2+y2-4x+2=0相切,∴=,∴m=1或-1,故选D.[答案] D3.2018·南昌二模若圆C1x2+y2-2ax+a2-9=0a∈R与圆C2x2+y2+2by+b2-1=0b∈R内切,则ab的最大值为 A. B.2C.4 D.2[解析] 圆C1x2+y2-2ax+a2-9=0a∈R.化为x-a2+y2=9,圆心坐标为a0,半径为
3.圆C2x2+y2+2by+b2-1=0b∈R,化为x2+y+b2=1,圆心坐标为0,-b,半径为1,∵圆C1x2+y2-2ax+a2-9=0a∈R与圆C2x2+y2+2by+b2-1=0b∈R内切,∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤a2+b2=
2.∴ab的最大值为
2.[答案] B4.2018·大连模拟圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k等于 A.-1或--1B.1或-3C.1或-D.[解析] 由题意知,圆的标准方程为x2+y+12=
4.较短弧所对圆周角是90°,所以圆心0,-1到直线x+y-k=0的距离为r=.即=,解得k=1或-
3.[答案] B5.2018·泰安模拟过点P31作圆C x-12+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0[解析] 如图所示由题意知AB⊥PC,kPC=,∴kAB=-2,∴直线AB的方程为y-1=-2x-1,即2x+y-3=
0.[答案] A6.过点,0引直线l与曲线y=相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 A.B.-C.±D.-[解析] ∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤.当∠AOB=时,△AOB面积最大.此时O到AB的距离d=.设AB方程为y=kx-k0,即kx-y-k=
0.由d==得k=-..[答案] B7.2018·山西三地五校联考过原点且与直线x-y+1=0平行的直线l被圆x2+y-2=7所截得的弦长为______.[解析] 由题意可得l的方程为x-y=0,∵圆心0,到l的距离d==1,∴所求弦长l=2=2=
2.[答案] 28.2018·浙江省嘉兴市桐乡高中期中如图,已知圆C与x轴相切于点T10,与y轴正半轴交于两点A,BB在A的上方,且|AB|=
2.1圆C的标准方程为__________.2圆C在点B处切线在x轴上的截距为______.[解析] 1由题意,圆的半径为=,圆心坐标为1,,∴圆C的标准方程为x-12+y-2=2;2由1知,B01+,∴圆C在点B处切线方程为0-1x-1+1+-y-=2,令y=0可得x=-1-.[答案] 1x-12+y-2=2 2-1-9.2016·全国丙卷已知直线l mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=______.[解析] 设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R=2,|AB|=2,所以|OM|=3,解得m=-,由解得A-3,,B02,则AC的直线方程为y-=-x+3,BD的直线方程为y-2=-x,令y=0,解得C-20,D20,所以|CD|=
4.[答案] 410.已知直线l y=kx+1,圆C x-12+y+12=
12.1试证明不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;2求直线l被圆C截得的最短弦长.[解] 法一1证明由消去y得k2+1x2-2-4kx-7=0,因为Δ=2-4k2+28k2+1>0,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.2设直线与圆交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2,令t=,则tk2-4k+t-3=0,当t=0时,k=-,当t≠0时,因为k∈R,所以Δ=16-4tt-3≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=的最大值为4,此时|AB|最小为
2.法二1证明因为不论k为何实数,直线l总过点P01,而|PC|=<2=r,所以点P01在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点,则直线l被圆C截得的最短弦长为
2.2由平面几何知识知过圆内定点P01的弦,只有与PCC为圆心垂直时才最短,而此时点P01为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2=2,即直线l被圆C截得的最短弦长为
2.[B能力提升练]1.2018·黑龙江大庆实验中学检测已知圆C1x-22+y-32=1,圆C2x-32+y-42=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.6-2 B.5-4C.-1D.[解析] 圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′2,-3,半径不变,圆C2的圆心为34,半径r=3,|PM|+|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距减去两圆的半径,所以|PM|+|PN|的最小值为-1-3=5-
4.[答案] B2.湖南高考已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为20,则|++|的最大值为 A.6 B.7C.8 D.9[解析] ∵A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,∴AC为圆的直径,故+=2=-40,设Bx,y,则x2+y2=1且x∈[-11],=x-2,y,∴++=x-6,y.故|++|=,∴当x=-1时有最大值=7,故选B.[答案] B3.2018·邢台模拟已知圆C的方程为x2+y2-2x+2y-2=0,若以直线y=kx+2k∈Z上任意一点为圆心,以1为半径的圆与圆C至多有一个公共点,则k的值为______.[解析] 圆C为x2+y2-2x+2y-2=0即x-12+y+12=4的半径为2,由题意得圆心1,-1到直线y=kx+2k∈Z的距离大于或等于3,即≥3,求得0≤k≤,∴k=
0.[答案] 04.已知直线x+y-k=0k0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|+|≥||,那么k的取值范围是______.[解析] 如图,当|+|=||时,O,A,B三点为等腰三角形的三个顶点,其中OA=OB,∠AOB=120°,从而圆心O到直线x+y-k=0k0的距离为1,此时k=;当k时,|+|||,又直线与圆x2+y2=4有两个不同的交点,故k2,综上k的取值范围为[,2.[答案] [,25.如图,已知以点A-12为圆心的圆与直线l1x+2y+7=0相切.过点B-20的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.1求圆A的方程;2当|MN|=2时,求直线l的方程.[解] 1设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1x+2y+7=0相切,∴r==
2.∴圆A的方程为x+12+y-22=
20.2
①当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2.即kx-y+2k=
0.连接AQ,则AQ⊥MN.∵|MN|=2,∴|AQ|==1,则由|AQ|==1,得k=,∴直线l3x-4y+6=
0.故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=
0.[C尖子生专练]2016·江苏卷如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A24.1设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;2设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;3设点Tt0满足存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.[解] 圆M的标准方程为x-62+y-72=25,所以圆心M67,半径为
5.1由圆心N在直线x=6上,可设N6,y0.因为圆N与x轴相切、与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=
1.因此,圆N的标准方程为x-62+y-12=
1.2因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=
2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=
0.则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+2,所以25=+5,解得m=5或m=-15,故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=
0.3设Px1,y1,Qx2,y2.因为A24,Tt0,+=,所以
①因为点Q在圆M上,所以x2-62+y2-72=
25.
②将
①代入
②,得x1-t-42+y1-32=
25.于是点Px1,y1既在圆M上,又在圆[x-t+4]2+y-32=25上,从而圆x-62+y-72=25与圆[x-t+4]2+y-32=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+
2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].。