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第三节基本不等式课时作业A组——基础对点练1.若对任意x0,≤a恒成立,则a的取值范围是 A.a≥ B.aC.aD.a≤解析因为对任意x0,≤a恒成立,所以对x∈0,+∞,a≥max,而对x∈0,+∞,=≤=,当且仅当x=时等号成立,∴a≥.答案A2.2018·厦门一中检测设0ab,则下列不等式中正确的是 A.ab B.abC.abD.ab解析因为0ab,所以a-=-0,故a;b-=0,故b;由基本不等式知,综上所述,ab,故选B.答案B3.2018·山东名校调研若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是 A.2B.3C.4D.5解析由3x+y=5xy,得=+=5,所以4x+3y=4x+3y·+=4+9++≥4+9+2=5,当且仅当=,即y=2x时,“=”成立,故4x+3y的最小值为
5.答案D4.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是 A.a+b≥2B.+C.+≥2D.a2+b22ab解析因为ab0,所以0,0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.答案C5.下列不等式一定成立的是 A.lglgxx0B.sinx+≥2x≠kπ,k∈ZC.x2+1≥2|x|x∈RD.1x∈R解析对选项A,当x0时,x2+-x=2≥0,∴lg≥lgx,故不成立;对选项B,当sinx0时显然不成立;对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;对选项D,∵x2+1≥1,∴0≤1,故不成立.答案C6.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为 A.B.2C.2D.4解析法一由已知得+==,且a0,b0,∴ab=b+2a≥2,∴ab≥
2.法二由题设易知a0,b0,∴=+≥2,即ab≥2,选C.答案C7.2018·天津模拟若log43a+4b=log2,则a+b的最小值是 A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4解析因为log43a+4b=log2,所以log43a+4b=log4ab,即3a+4b=ab,且即a0,b0,所以+=1a0,b0,a+b=a+b·+=7++≥7+2=7+4,当且仅当=时取等号,故选D.答案D8.2018·银川一中检测对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是 A.-∞,-2B.[-2,+∞C.[-22]D.[0,+∞解析当x=0时,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,此时a∈R,当x≠0时,则有a≥=-|x|+,设fx=-|x|+,则a≥fxmax,由基本不等式得|x|+≥2当且仅当|x|=1时取等号,则fxmax=-2,故a≥-
2.故选B.答案B9.当x0时,函数fx=有 A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2解析fx=≤=
1.当且仅当x=,x0即x=1时取等号.所以fx有最大值
1.答案B10.2018·南昌调研已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是 A.a+b≥2B.a2+b22abC.+≥2D.|+|≥2解析对于A,当a,b为负数时,a+b≥2不成立;对于B,当a=b时,a2+b22ab不成立;对于C,当a,b异号时,+≥2不成立;对于D,因为,同号,所以|+|=||+||≥2=2当且仅当|a|=|b|时取等号,即|+|≥2恒成立.答案D11.设fx=lnx0ab,若p=f,q=f,r=fa+fb,则下列关系式中正确的是 A.q=rpB.p=rqC.q=rpD.p=rq解析∵0ab,∴,又fx=lnx在0,+∞上单调递增,故ff,即qp,∴r=fa+fb=lna+lnb=ln=f=p,∴p=rq.故选B.答案B12.已知正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值为__________.解析∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∴+=[a+1+b+3]=≥2+2=,当且仅当a+1=b+3,即a=3,b=1时取等号,∴+的最小值为.答案13.已知函数fx=4x+x0,a0在x=3时取得最小值,则a=__________.解析fx=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=
36.答案3614.2018·邯郸质检已知x,y∈0,+∞,2x-3=y,则+的最小值为________.解析2x-3=y=2-y,∴x-3=-y,∴x+y=
3.又x,y∈0,+∞,所以+=+x+y=5++≥5+2=3当且仅当=,即y=2x时取等号.答案315.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________单位元.解析设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=
4.T=4×20+2x+2y×1×10=80+20x+y≥80+20×2=80+20×4=160当且仅当x=y时取等号.故该容器的最低总造价是160元.答案160B组——能力提升练1.设正实数x,y满足x,y1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为 A.2B.4C.8D.16解析依题意得,2x-10,y-10,+=+≥+≥4×2=8,即+≥8,当且仅当,即时,取等号,因此+的最小值是8,m≤8,m的最大值是8,选C.答案C2.若a,b,c∈0,+∞,且ab+ac+bc+2=6-a2,则2a+b+c的最小值为 A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析由题意,得a2+ab+ac+bc=6-2,所以24-8=4a2+ab+ac+bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ac+2bc=2a+b+c2,当且仅当b=c时等号成立,所以2a+b+c≥2-2,所以2a+b+c的最小值为2-2,故选D.答案D3.2018·保定调研设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=λ,若△ABC面积的最大值为9,则λ的值为 A.8B.12C.16D.21解析S△ABC=absinC=ab≤·2=λ2=9,当且仅当a=b时取“=”,解得λ=
12.答案B4.已知x,y都是正数,且x+y=1,则+的最小值为 A.B.2C.D.3解析由题意知,x+20,y+10,x+2+y+1=4,则+=≥=,当且仅当x=,y=时,+取最小值.答案C
5.-6≤a≤3的最大值为 A.9B.C.3D.解析因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.答案B6.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosB-=b+c,△ABC的外接圆半径为,则△ABC周长的取值范围为 A.39]B.68]C.69]D.38]解析由2acosB-=b+c,得acosB+asinB=b+c,由正弦定理得sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinA+B,即sinAsinB=sinB+cosAsinB,又sinB≠0,∴sinA-cosA=1,∴sinA-=,由0Aπ得-A-,∴A-=,∴A=.又△ABC的外接圆半径为,∴2=⇒a=2sinA=
3.b+c=2sinB+2sinC=2[sinB+sin-B]=2sinB+cosB=6sinB+cosB=6sinB+,由0B得,B+,故36sinB+≤6,∴6a+b+c≤
9.答案C7.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是 A.
[02]B.[-20]C.[-2,+∞D.-∞,-2]解析∵2x+2y≥2=2当且仅当2x=2y时等号成立,∴≤,∴2x+y≤,x+y≤-2,故选D.答案D8.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+m2-3m有解,则实数m的取值范围是 A.-14B.-∞,-1∪4,+∞C.-41D.-∞,0∪3,+∞解析∵不等式x+m2-3m有解,∴minm2-3m,∵x0,y0,且+=1,∴x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,∴min=4,∴m2-3m4,即m+1m-40,解得m-1或m4,故实数m的取值范围是-∞,-1∪4,+∞.答案B9.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=
0.则当取得最大值时,+-的最大值为 A.0B.1C.D.3解析==≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,此时z=2y2,+-=-+=-2+1≤1,当且仅当y=1时等号成立,故所求的最大值为
1.答案B10.设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是 A.B.C.2+D.2-解析an=a1+n-1d=n,Sn=,∴==≥=,当且仅当n=4时取等号.∴的最小值是,故选A.答案A11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA-sinB=,b=,则△ABC的面积的最大值为 A.B.C.D.解析根据正弦定理由sinA-sinB=可得a-b=,得a2-b2=ca-c,即a2+c2-b2=ac,故==cosB,∵B∈0,π,∴B=.又由b=,可得a2+c2=ac+3,故a2+c2=ac+3≥2ac,即ac≤3,当且仅当a=c=时取等号,故ac的最大值为3,这时△ABC的面积取得最大值,为×3×sin=.答案A12.2018·宝鸡模拟某工厂需要建造一个仓库,根据市场调研分析,运费与工厂和仓库之间的距离成正比,仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比,当工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费为5万元,当工厂和仓库之间的距离为________千米时,运费与仓储费之和最小,最小为________万元.解析设工厂和仓库之间的距离为x千米,运费为y1万元,仓储费为y2万元,则y1=k1xk1≠0,y2=k2≠0,∵工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费用为5万元,∴k1=5,k2=20,∴运费与仓储费之和为万元,∵5x+≥2=20,当且仅当5x=,即x=2时,运费与仓储费之和最小,为20万元.答案2 2013.2018·青岛模拟已知实数x,y均大于零,且x+2y=4,则log2x+log2y的最大值为__________.解析因为log2x+log2y=log22xy-1≤log22-1=2-1=1,当且仅当x=2y=2,即x=2,y=1时等号成立,所以log2x+log2y的最大值为
1.答案114.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长求三角形面积,若三角形的三边长分别为a,b,c,其面积S=,这里p=a+b+c.已知在△ABC中,BC=6,AB=2AC,则其面积取最大值时,sinA=________.解析已知在△ABC中,BC=6,AB=2AC,所以三角形的三边长为a=6,c=2b,p=6+b+2b=3+,其面积S=====≤×=12,当且仅当b2-4=36-b2,即b=2时取等号,此时a=6,b=2,c=4,三角形存在,cosA==,所以sinA=.答案。