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课堂达标五十八直接证明与间接证明[A基础巩固练]1．2018·太原模拟命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 A．不成立 B．成立C．不能断定D．与n取值有关[解析] 因为Sn＝2n2－3n，所以n＝1时a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2n－12＋3n－1＝4n－5，n＝1时适合an，且an－an－1＝4，故{an}为等差数列，即命题成立．[答案] B2．2018·宁波模拟分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证a”索的因应是 A．a－b0B．a－c0C．a－ba－c0D．a－ba－c0[解析] a⇔b2－ac3a2，⇔a＋c2－ac3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a20⇔－2a2＋ac＋c20⇔2a2－ac－c20⇔a－c2a＋c0⇔a－ca－b
0.[答案] C3．2018·上饶月考设x，y，z0，则三个数＋，＋，＋ A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2[解析] 因为＋＋＝＋＋≥6，当且仅当x＝y＝z时等号成立．所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.[答案] C4．2018·山西质量监测对累乘运算∏有如下定义k＝a1×a2×…×an，则下列命题中的真命题是 A.k不能被10100整除B.＝22015C.2k－1不能被5100整除D.2k－1k＝[解析] 因为2k－1k＝1×3×5×…×2015×2×4×6×…×2014＝1×2×3×…×2014×2015＝，故选D.[答案] D5．2016·浙江卷已知实数a，b，c A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2100B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2100C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2100D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2100[解析] 举反例排除法A．令a＝b＝10，c＝－110，排除此选项，B．令a＝10，b＝－100，c＝0，排除此选项，C．令a＝100，b＝－100，c＝0，排除此选项．故选D.[答案] D6．设a，b是两个实数，给出下列条件
①a＋b1；
②a＋b＝2；
③a＋b2；
④a2＋b22；
⑤ab
1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 A．
②③B．
①②③C．
③D．
③④⑤[解析] 若a＝，b＝，则a＋b1，但a1，b1，故
①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故
②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b22，故
④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab1，故
⑤推不出；对于
③，即a＋b2，则a，b中至少有一个大于1，反证法假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于
1.[答案] C7．设ab0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是______．[解析] 取a＝2，b＝1，得mn.再用分析法证明－⇐＋⇐ab＋2·＋a－b⇐2·0，显然成立．[答案] mn8．凸函数的性质定理为如果函数fx在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sinx在区间0，π上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为______．[解析] ∵fx＝sinx在区间0，π上是凸函数，且A、B、C∈0，π，∴≤f＝f，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.[答案] 9．2018·湖南省郴州市三模已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝bn－m≥1，m，n∈N*，则am＋n＝.类比上述结论，对于等比数列{bn}bn0，n∈N*，若bm＝c，bn＝dn－m≥2，m，n∈N*，则可以得到bm＋n＝__________.[解析] 通过等差数列的结论类比推理可得若bm＝c，bn＝dn－m≥2，m，n∈N*，则可以得到bm＋n＝.证明如下设等比数列的首项为b1，公比为q≠
0.则bm＝c＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，化为＝b·qn－mn＋m－1，∴＝b1qn＋m－1＝bm＋n.[答案] 10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证≤.[证明] a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2a·b＋b2，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即|a|－|b|2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．[B能力提升练]1．2018·福州模拟设0x1，a0，b0，a，b为常数，＋的最小值是 A．4abB．2a2＋b2C．a＋b2D．a－b2[解析] x＋1－x＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝a＋b
2.当且仅当x＝时，等号成立．[答案] C2．2016·北京卷袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[解析] 取两个球共有4种情况
①红＋红，则乙盒中红球数加1个；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；
③红＋黑红球放入甲盒中，则乙盒中黑球数加1个；
④黑＋红黑球放入甲盒中，则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x＋y＝a.则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k＋j＝x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i＋l＝y；黑球总数a＝y＋i＋j，又x＋y＝a，故x＝i＋j，由于x＝k＋j，所以可得i＝k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B.[答案] B3．2016·全国Ⅱ卷有三张卡片，分别写有1和21和32和
3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________.[解析] 设三张卡片分别为A12，B13，C23，由丙得数字和不是5，则丙的卡片可能为A或B.若丙为A12，则乙为C23，甲为B13合题，若丙为B13，则甲、乙为相同数字2，不合题．[答案] 1和34．2018·广东实验中学段考已知点Ax1，ax
1、Bx2，ax2是函数y＝axa1的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点Ax1，sinx
1、Bx2，sinx2是函数y＝sinx[x∈0，π]图象上的不同两点，则类似地有______成立．[解析] 由题意知，点A、B是函数y＝axa＞1的图象上任意不同两点，函数y＝axa＞1图象下凸，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立；而函数y＝sinxx∈0，π图象上凸，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，因此可类比得到结论＜sin.[答案] ＜sin5．2018·杭州模拟已知函数fx＝ax＋a＞1．1证明函数fx在－1，＋∞上为增函数；2用反证法证明方程fx＝0没有负数根．[证明] 1任取x1，x2∈－1，＋∞，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞
0.∵a＞1，∴ax2－x1＞1且ax1＞0，∴ax2－ax1＝ax1·ax2－x1－1＞
0.又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴－＝＝＞0，于是fx2－fx1＝ax2－ax1＋－＞0，故函数fx在－1，＋∞上为增函数．2假设存在x0＜0x0≠－1满足fx0＝0，则ax0＝－.∵a＞1，∴0＜ax0＜1，∴0＜－＜1，即＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程fx＝0没有负数根．[C尖子生专练]已知二次函数fx＝ax2＋bx＋ca0的图象与x轴有两个不同的交点，若fc＝0，且0xc时，fx
0.1证明是fx＝0的一个根；2试比较与c的大小；3证明－2b－
1.[解] 1证明∵fx图象与x轴有两个不同的交点，∴fx＝0有两个不等实根x1，x2，∵fc＝0，∴x1＝c是fx＝0的根，又x1x2＝，∴x2＝，∴是fx＝0的一个根．2假设c，又0，由0xc时，fx0，知f0与f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴c.3证明由fc＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a0，c0，∴b－
1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x＝－＝＝x2＝，即－.又a0，∴b－2，∴－2b－
1.。
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