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课堂达标五十八直接证明与间接证明[A基础巩固练]1.2018·太原模拟命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成立 A.不成立 B.成立C.不能断定D.与n取值有关[解析] 因为Sn=2n2-3n,所以n=1时a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2n-12+3n-1=4n-5,n=1时适合an,且an-an-1=4,故{an}为等差数列,即命题成立.[答案] B2.2018·宁波模拟分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是 A.a-b0B.a-c0C.a-ba-c0D.a-ba-c0[解析] a⇔b2-ac3a2,⇔a+c2-ac3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a20⇔-2a2+ac+c20⇔2a2-ac-c20⇔a-c2a+c0⇔a-ca-b
0.[答案] C3.2018·上饶月考设x,y,z0,则三个数+,+,+ A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2[解析] 因为++=++≥6,当且仅当x=y=z时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于2,故选C.[答案] C4.2018·山西质量监测对累乘运算∏有如下定义k=a1×a2×…×an,则下列命题中的真命题是 A.k不能被10100整除B.=22015C.2k-1不能被5100整除D.2k-1k=[解析] 因为2k-1k=1×3×5×…×2015×2×4×6×…×2014=1×2×3×…×2014×2015=,故选D.[答案] D5.2016·浙江卷已知实数a,b,c A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2100[解析] 举反例排除法A.令a=b=10,c=-110,排除此选项,B.令a=10,b=-100,c=0,排除此选项,C.令a=100,b=-100,c=0,排除此选项.故选D.[答案] D6.设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b22;
⑤ab
1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 A.
②③B.
①②③C.
③D.
③④⑤[解析] 若a=,b=,则a+b1,但a1,b1,故
①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故
②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b22,故
④推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故
⑤推不出;对于
③,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于
1.[答案] C7.设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是______.[解析] 取a=2,b=1,得mn.再用分析法证明-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0,显然成立.[答案] mn8.凸函数的性质定理为如果函数fx在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f,已知函数y=sinx在区间0,π上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为______.[解析] ∵fx=sinx在区间0,π上是凸函数,且A、B、C∈0,π,∴≤f=f,即sinA+sinB+sinC≤3sin=,所以sinA+sinB+sinC的最大值为.[答案] 9.2018·湖南省郴州市三模已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=bn-m≥1,m,n∈N*,则am+n=.类比上述结论,对于等比数列{bn}bn0,n∈N*,若bm=c,bn=dn-m≥2,m,n∈N*,则可以得到bm+n=__________.[解析] 通过等差数列的结论类比推理可得若bm=c,bn=dn-m≥2,m,n∈N*,则可以得到bm+n=.证明如下设等比数列的首项为b1,公比为q≠
0.则bm=c=b1qm-1,bn=b1qn-1,化为=b·qn-mn+m-1,∴=b1qn+m-1=bm+n.[答案] 10.已知非零向量a,b,且a⊥b,求证≤.[证明] a⊥b⇔a·b=0,要证≤.只需证|a|+|b|≤|a+b|,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2a·b+b2,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即|a|-|b|2≥0,上式显然成立,故原不等式得证.[B能力提升练]1.2018·福州模拟设0x1,a0,b0,a,b为常数,+的最小值是 A.4abB.2a2+b2C.a+b2D.a-b2[解析] x+1-x=a2+++b2≥a2+b2+2ab=a+b
2.当且仅当x=时,等号成立.[答案] C2.2016·北京卷袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半,甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[解析] 取两个球共有4种情况
①红+红,则乙盒中红球数加1个;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;
③红+黑红球放入甲盒中,则乙盒中黑球数加1个;
④黑+红黑球放入甲盒中,则丙盒中红球数加1个.设一共有球2a个,则a个红球,a个黑球,甲中球的总个数为a,其中红球x个,黑球y个,x+y=a.则乙中有x个球,其中k个红球,j个黑球,k+j=x;丙中有y个球,其中l个红球,i个黑球,i+l=y;黑球总数a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j,由于x=k+j,所以可得i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球.故选B.[答案] B3.2016·全国Ⅱ卷有三张卡片,分别写有1和21和32和
3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是__________.[解析] 设三张卡片分别为A12,B13,C23,由丙得数字和不是5,则丙的卡片可能为A或B.若丙为A12,则乙为C23,甲为B13合题,若丙为B13,则甲、乙为相同数字2,不合题.[答案] 1和34.2018·广东实验中学段考已知点Ax1,ax
1、Bx2,ax2是函数y=axa1的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方,因此有结论>a成立.运用类比思想方法可知,若点Ax1,sinx
1、Bx2,sinx2是函数y=sinx[x∈0,π]图象上的不同两点,则类似地有______成立.[解析] 由题意知,点A、B是函数y=axa>1的图象上任意不同两点,函数y=axa>1图象下凸,线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方,因此有结论a成立;而函数y=sinxx∈0,π图象上凸,线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方,因此可类比得到结论<sin.[答案] <sin5.2018·杭州模拟已知函数fx=ax+a>1.1证明函数fx在-1,+∞上为增函数;2用反证法证明方程fx=0没有负数根.[证明] 1任取x1,x2∈-1,+∞,不妨设x1<x2,则x2-x1>
0.∵a>1,∴ax2-x1>1且ax1>0,∴ax2-ax1=ax1·ax2-x1-1>
0.又∵x1+1>0,x2+1>0,∴-==>0,于是fx2-fx1=ax2-ax1+->0,故函数fx在-1,+∞上为增函数.2假设存在x0<0x0≠-1满足fx0=0,则ax0=-.∵a>1,∴0<ax0<1,∴0<-<1,即<x0<2,与假设x0<0相矛盾,故方程fx=0没有负数根.[C尖子生专练]已知二次函数fx=ax2+bx+ca0的图象与x轴有两个不同的交点,若fc=0,且0xc时,fx
0.1证明是fx=0的一个根;2试比较与c的大小;3证明-2b-
1.[解] 1证明∵fx图象与x轴有两个不同的交点,∴fx=0有两个不等实根x1,x2,∵fc=0,∴x1=c是fx=0的根,又x1x2=,∴x2=,∴是fx=0的一个根.2假设c,又0,由0xc时,fx0,知f0与f=0矛盾,∴≥c,又∵≠c,∴c.3证明由fc=0,得ac+b+1=0,∴b=-1-ac.又a0,c0,∴b-
1.二次函数fx的图象的对称轴方程为x=-==x2=,即-.又a0,∴b-2,∴-2b-
1.。