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第3讲突破压轴题全国高考卷客观题满分80分,共16题,决定了整个高考试卷的成败,要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10,11,12,15,16题中有较大收获,分析近三年高考,必须从以下几个方面有所突破,才能实现“柳暗花明又一村”,做到保“本”冲“优”.压轴热点一 函数的图象、性质及其应用【例1】2019·龙岩期末设函数是定义在上的奇函数,满足,若,,则实数的取值范围是()A.B.C.D.解析由,可得,则,故函数的周期为4,则,又因为是定义在上的奇函数,,所以所以,解得,故答案为A.【训练1】2016·全国Ⅱ卷已知函数fxx∈R满足f-x=2-fx,若函数y=与y=fx图象的交点为x1,y1,x2,y2,…,xm,ym,则xi+yi= A.0B.mC.2mD.4m解析 法一 由题设得fx+f-x=1,点x,fx与点-x,f-x关于点0,1对称,则y=fx的图象关于点0,1对称.又y==1+,x≠0的图象也关于点0,1对称.则交点x1,y1,x2,y2,…,xm,ym成对出现,且每一对关于点0,1对称.则xi+yi=xi+yi=0+×2=m,故选B.法二 特殊函数法,根据f-x=2-fx可设函数fx=x+1,联立y=,解得两个点的坐标为或此时m=2,所以xi+yi=2=m,故选B.答案 B 压轴热点二 直线与圆的位置关系【例2】2019·张家口期末圆与轴正半轴交点为,圆上的点,分别位于第
一、二象限,并且,若点的坐标为,则点的坐标为()A.B.C.D.解析由题意知,,设的坐标为则因为,所以,即,又,联立解得或,因为在第二象限,故只有满足,即.故答案为B.【训练2】已知Px,y是直线kx+y+4=0k0上一动点,PA,PB是圆C x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积为2,则k的值为________.解析 由圆的方程得x2+y-12=1,所以圆心为C0,1,半径r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,因为四边形PACB的最小面积为2,所以S△PBC的最小值为1,而S△PBC=r·PB,即PB的最小值为2,此时PC最小为圆心到直线的距离,此时d===,则k2=4,因为k0,所以k=
2.答案 2压轴热点三 圆锥曲线及其性质【例3】 2019·济南模拟已知椭圆的左右焦点分别为,,为坐标原点,为椭圆上一点,,连接轴于点,若,则该椭圆的离心率为A.B.C.D.解析设,.如图所示,由题意可得,∴.则,,n=3m.化为m2,n2=9m2=6b2.∴6b2=4c2.∴c2,化为.故选D.【训练3】2017·唐山一模已知双曲线C x2-=1的右顶点为A,过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行,交另一条渐近线于点B,则S△ABF= A.B.C.D.解析 由双曲线C x2-=1,得a2=1,b2=
3.∴c==
2.∴A1,0,F2,0,渐近线方程为y=±x,不妨设BF的方程为y=x-2,代入方程y=-x,解得B1,-.∴S△AFB=|AF|·|yB|=·1·=.答案 B 压轴热点四 不等式及基本不等式的应用【例4】 2019·聊城一中已知是内的一点,且,,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为1,,,则的最小值是()A.2B.8C.6D.3解析∵,,∴,化为.∴.∴.则,而,当且仅当,即时取等号,故的最小值是9,故选D.【训练4】已知一元二次不等式fx0的解集为,则fex0的解集为 A.{x|x-1或x-ln3}B.{x|x-ln3}C.{x|-1x-ln3}D.{x|x-ln3}解析 由题设知,fx0的解集为,又fex0,得-1ex,∴xln=-ln3,故fex0的解集为{x|x-ln3}.答案 D
1.2018·全国I卷已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.
2.2018·全国I卷已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为,.若为直角三角形,则()A.B.3C.D.
43.2018·全国I卷已知函数,则的最小值是________.
1.2019·宜昌调研已知是定义域为的函数的导函数,若对任意实数都有,且有,则不等式的解集为()A.B.C.D.
2.已知双曲线C-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,点P是双曲线在第一象限内的点,直线PO,PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M,N,若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,则双曲线的离心率为 A.B.C.D.
3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为aii=1,2,…,10,且a1a2…a10,若48ai=5M,则i=________.
1.2019·厦门期末函数,当时,,则的最小值是()A.1B.2C.D.
2.已知数列{an}为等差数列,且a1≥1,a2≤5,a5≥8,设数列{an}的前n项和为Sn,S15的最大值为M,最小值为m,则M+m= A.500B.600C.700D.
8003.2019·肇庆一模已知椭圆的左右顶点分别为,是椭圆上异于的一点,若直线的斜率与直线的斜率乘积,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.参考答案
1.【解题思路】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.【答案】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体中,平面与线所成的角是相等的,所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,且过棱的中点的正六边形,且边长为,所以其面积为,故选A.
2.【解题思路】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到,根据直角三角形的条件,可以确定直线的倾斜角为或,根据相关图形的对称性,得知两种情况求得的结果是相等的,从而设其倾斜角为,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程联立,求得,,利用两点间距离同时求得的值.【答案】根据题意,可知其渐近线的斜率为,且右焦点为,从而得到,所以直线的倾斜角为或,根据双曲线的对称性,设其倾斜角为,可以得出直线的方程为,分别与两条渐近线和联立,求得,,所以,故选B.
3.【解题思路】首先对函数进行求导,化简求得,从而确定出函数的单调区间,减区间为,增区间为,确定出函数的最小值点,从而求得代入求得函数的最小值.【答案】,所以当时函数单调减,当时函数单调增,从而得到函数的减区间为,函数的增区间为,所以当时,函数取得最小值,此时,所以,故答案是.
1.【解题思路】根据条件构造函数,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论【答案】不等式可化为,令,∴,又∴恒成立,故在上单调递增,又,∴等价于,由在上单调递增可得,所以不等式的解集为,故选A.
2.【解题思路】由题意,|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1O|=|F2O|,|PO|=|MO|,得四边形PF1MF2为平行四边形,所以PF1∥F2M,又∠MF2N=120°,可得∠F1PF2=120°,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos120°,则4c2=20a2+8a2,即c2=7a2,得c=a,所以双曲线的离心率e==.【答案】B
3.【解题思路】根据题意知,由细到粗每段的重量成等差数列,记为{an},设公差为d,则解得a1=,d=.所以该金杖的总重量M=10×+×=15,因为48ai=5M,所以48=75,即39+6i=75,解得i=
6.【答案】
61.【解题思路】依题意,由,得,利用集合的包含关系,得到所以,得,进而可求得结果.【答案】因为,所以,依题意,由即,得所以,所以,整理得,又,所以,所以,所以的最小值为
2.
2.【解题思路】由题意,可知公差最大值时,S15最大;公差最小时,S15最小.可得a1=1,a2=5,此时公差d=4是最大值,M=S15=1×15+×4=
435.当a2=5,a5=8,此时d=1是最小值,a1=4,m=S15=4×15+×1=
165.M+m=435+165=
600.【答案】B
3.【解题思路】设出点坐标,代入椭圆方程,得到一个等式;代入,得到另一个等式,对比这两个等式求得的值,由此求得离心率的值.【答案】依题意可知,.设,代入椭圆方程得.代入得,即,与对比后可得,所以椭圆离心率为.故选D.。