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大题分层练五解析几何、函数与导数A组
1.在平面直角坐标系xOy中抛物线C的顶点是原点以x轴为对称轴且经过点P
12.1求抛物线C的方程.2设点AB在抛物线C上直线PAPB分别与y轴交于点MN|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.【解析】1依题意设抛物线C的方程为y2=axa≠
0.由抛物线C经过点P12得a=4所以抛物线C的方程为y2=4x.2由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|所以∠PMN=∠PNM所以∠1=∠2所以直线PA与PB的倾斜角互补所以kPA+kPB=
0.依题意直线AP的斜率存在且不为零设直线AP的方程为y-2=kx-1k≠0将其代入抛物线C的方程整理得k2x2-2k2-2k+2x+k2-4k+4=
0.设Ax1y1则1×x1=y1=kx1-1+2=-2所以A.以-k替换点A坐标中的k得B.所以kAB==-
1.即直线AB的斜率为-
1.
2.已知函数fx=ex-2a-1x-b其中e为自然对数的底数.1若函数fx在区间
[01]上是单调函数试求实数a的取值范围.2已知函数gx=ex-a-1x2-bx-1且g1=0若函数gx在区间
[01]上恰有3个零点求实数a的取值范围.【解析】1根据题意函数fx=ex-2a-1x-b其导数为f′x=ex-2a-1当函数fx在区间
[01]上单调递增时f′x=ex-2a-1≥0在区间
[01]上恒成立所以2a-1≤exmin=1其中x∈
[01]解得a≤;当函数fx在区间
[01]单调递减时f′x=ex-2a-1≤0在区间
[01]上恒成立所以2a-1≥exmax=e其中x∈
[01]解得a≥+
1.综上所述实数a的取值范围是∪.2函数gx=ex-a-1x2-bx-1则g′x=ex-2a-1x-b分析可得fx=g′x.由g0=g1=0知gx在区间01内恰有一个零点设该零点为x0则gx在区间0x0内不单调所以fx在区间0x0内存在零点x1同理fx在区间x01内存在零点x2所以fx在区间01内恰有两个零点.由1知当a≤时fx在区间
[01]上单调递增故fx在区间01内至多有一个零点不合题意.当a≥+1时fx在区间
[01]上单调递减故fx在01内至多有一个零点不合题意;所以a+
1.令f′x=0得x=ln2a-2∈01所以函数fx在区间[0ln2a-2]上单调递减在区间ln2a-21]上单调递增.记fx的两个零点为x1x2x1x2因此x1∈0ln2a-2]x2∈ln2a-21必有f0=1-b0f1=e-2a+2-b
0.由g1=0得a+b=e所以f=+1-a+b=+1-e0又f0=a-e+10f1=2-a0所以e-1a
2.综上所述实数a的取值范围为e-
12.。