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专题突破练6 函数的单调性、极值点、极值、最值
1.已知函数fx=k为常数e是自然对数的底数曲线y=fx在点1f1处的切线与x轴平行.1求k的值;2求fx的单调区间.
2.2018福建龙岩4月质检理21节选已知函数fx=x-2ex-ax+
22.1求函数gx=fx+3ex的极值点;2略.
3.2018山东师大附中一模文21已知函数fx=x-aexa∈R.1当a=2时求函数fx在x=0处的切线方程;2求fx在区间
[12]上的最小值.
4.2018山西晋城一模文21已知函数fx=ax2+a-1x+1-2alnxa
0.1若x=2是函数的极值点求a的值及函数fx的极值;2讨论函数的单调性.
5.2018百校联盟三月联考理21已知函数fx=lnx.1设gx=fx-ax+1讨论gx的单调性;2若不等式fx≤a-ex+b恒成立其中e为自然对数的底数求的最小值.
6.2018山西孝义一模理21已知函数fx=2lnx-ax2+
3.1讨论函数y=fx的单调性;2若存在实数mn∈
[15]满足n-m≥2时fm=fn成立求实数a的最大值.参考答案专题突破练6 函数的单调性、极值点、极值、最值
1.解1由题意得fx=又f1==0故k=
1.2由1知fx=设hx=-lnx-1x0则hx=-0即hx在0+∞上是减函数.由h1=0知当0x1时hx0从而fx0;当x1时hx0从而fx
0.综上可知fx的单调递增区间是01单调递减区间是1+∞.
2.解1由gx=x+1ex-ax+22得gx=x+2ex-2ax+2=x+2ex-2aⅰ当a≤0时在-∞-2上gx0在-2+∞上gx
0.ⅱ当a0时令gx=0解得x=-2或x=ln2a.
①若a=ln2a=-2gx≥0恒成立;
②若aln2a-2在-2ln2a上gx0;在-∞-2ln2a+∞gx
0.
③若aln2a-2在ln2a-2上gx0在-∞ln2a与-2+∞上gx
0.综上当a≤0时gx极小值点为-2无极大值点;当0a时gx极小值点为-2极大值点为ln2a;当a时gx极小值点为ln2a极大值点为-2;当a=时gx无极值点.2略.
3.解1设切线的斜率为k.因为a=2所以fx=x-2exfx=exx-
1.所以f0=-2k=f0=e00-1=-
1.所以所求的切线方程为y=-x-2即x+y+2=
0.2由题意得fx=exx-a+1令fx=0可得x=a-
1.
①若a-1≤1则a≤2当x∈
[12]时fx≥0则fx在
[12]上单调递增.所以fxmin=f1=1-ae.
②若a-1≥2则a≥3当x∈
[12]时fx≤0则fx在
[12]上单调递减.所以fxmin=f2=2-ae
2.
③若1a-12则2a3所以fxfx随x的变化情况如下表:x1a-1a-1a-12fx-0+fx单调递减极小值单调递增所以fx的单调递减区间为[1a-1]单调递增区间为[a-12].所以fx在
[12]上的最小值为fa-1=-ea-
1.综上所述:当a≤2时fxmin=f1=1-ae;当a≥3时fxmin=f2=2-ae2;当2a3时fxmin=fa-1=-ea-
1.
4.解1fx=ax+a-1+x0由已知f2=2a+a-1+=2a-=0⇒a=此时fx=x2-x+lnxfx=x-当0x1和x2时fx0fx是增函数当1x2时fx0fx是减函数所以函数fx在x=1和x=2处分别取得极大值和极小值.故函数fx的极大值为f1==-极小值为f2=ln2=ln2-
1.2fx=ax+a-1+=x0
①当0即a0x1时fx0x1时fx0所以fx在区间01上单调递减在区间1+∞上单调递增;
②当01即a时0x和x1时fx0x1时fx0所以fx在区间上单调递减在区间和1+∞上单调递增;
③当1即0a时0x1和x时fx01x时fx0所以fx在区间上单调递减在区间01和上单调递增;
④当=1即a=时fx0所以fx在定义域0+∞上单调递增;综上:
①当0a时fx在区间上单调递减在区间01和上单调递增;
②当a=时fx在定义域0+∞上单调递增;
③当a时fx在区间上单调递减在区间和1+∞上单调递增;
④当a时fx在区间01上单调递减在区间0+∞上单调递增.
5.解1函数定义域为0+∞由题意得gx=lnx-ax+1则gx=-a
①当a≤0时gx0则gx在0+∞上单调递增;
②当a0时令gx=0解得x=当x时gx0则gx在上单调递增x时gx0则gx在上单调递减.2设函数Fx=lnx-a-ex-b∴Fx=+e-ax0当a≤e时Fx0Fx在0+∞上是增函数∴Fx≤0不可能恒成立当ae时由Fx=+e-a=0得x=∵不等式Fx≤0恒成立∴Fxmax≤0当x时Fx0Fx单调递增x时Fx0Fx单调递减∴当x=Fx取最大值F=-lna-e-b-1≤0∴满足lna-e+b+1≥0即可∴b≥-1-lna-eae令Gx=xeGx=令Hx=x-elnx-e-eHx=lnx-e+1由Hx=0得x=e+当x时Hx0Hx是增函数当x时Hx0Hx是减函数∴当x=e+时Hx取最小值H=-e-∵H2e=0x2e时Hx0∴当x时Gx0Gx是减函数当x∈2e+∞时Gx0Gx是增函数∴x=2e时Gx取最小值G2e==-的最小值为-
6.解1fx=-2ax=x0当a≤0时fx0fx在0+∞上单调递增;当a0时令fx=0得x=故fx在上单调递增在上单调递减.2由fm=fn得2lnm-am2+3=2lnn-an2+3∴a=令n-m=t2≤t≤4n=m+t则a=m∈
[15]2≤t≤4令gm=当m的取值增大时gm的值减少故gm在m∈
[15]上单调递减∴a≤g1=2≤t≤4令ht=g1=2≤t≤4则ht=2∵t≥2∴2ln1+t1则t2+2t-2ln1+tt+120ht0∴ht在
[24]上单调递减∴a≤h2=即实数a的最大值为。