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3.1三角函数的图象与性质【课时作业】A级1.2018·山东寿光一模若角α的终边过点A21,则sin= A.-B.-C.D.解析 根据三角函数的定义可知cosα==,则sin=-cosα=-,故选A.答案 A2.若sinθ+cosθ=,则tanθ+= A.B.-C.D.-解析 由sinθ+cosθ=,得1+2sinθcosθ=,即sinθcosθ=-,则tanθ+=+==-,故选D.答案 D3.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象 A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析 y=sin3x+cos3x=sin=cos=cos=cos,所以,为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象向右平移个单位长度,故选C.答案 C4.2018·天津卷将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减解析 函数y=sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y=sin=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调增区间为,一个单调减区间为.由此可判断选项A正确.故选A.答案 A5.2018·贵阳市适应性考试一把函数y=sin+1图象上各点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变,那么所得图象的一条对称轴方程为 A.x=B.x=C.x=D.x=解析 根据题中变换,所得图象对应的函数解析式为fx=sin+1,令2x+=+kπk∈Z,则x=+k∈Z,取k=0,得x=,故选D.答案 D6.2018·河南周口二模将函数y=sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变,则所得图象的解析式为 A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin解析 将函数y=sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得y=sin=sin的图象,再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变,可得y=sin的图象,故选B.答案 B7.2018·北京卷在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧如图,点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanαcosαsinα则P所在的圆弧是 A.B.C.D.解析 若点P在或不包含端点A,D上,则角α在第一象限,此时tanα-sinα=tanα1-cosα0,与tanαsinα矛盾,故排除A,B.若点P在不包含端点G上,则角α在第三象限,此时tanα0,cosα0,与tanαcosα矛盾,故排除D,故选C.答案 C8.2018·合肥市第一次教学质量检测将函数y=cosx-sinx的图象先向右平移φφ0个单位长度,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,得到y=cos2x+sin2x的图象,则φ,a的可能取值为 A.φ=,a=2B.φ=,a=2C.φ=,a=D.φ=,a=解析 y=cosx-sinx=cos的图象向右平移φ个单位长度得到y=cos的图象,该图象上每个点的横坐标变为原来的a倍得到y=cos的图象,所以y=cos2x+sin2x=cos=cos,则a=,φ=+2kπk∈Z.又φ0,所以结合选项知D.答案 D9.2018·全国卷Ⅱ若fx=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是 A.B.C.D.π解析 fx=cosx-sinx=-=-sin,当x∈,即x-∈时,y=sin单调递增,y=-sin单调递减.∵函数fx在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]⊆,∴0a≤,∴a的最大值为.故选A.答案 A10.设函数fx=sin2x+φ+cos2x+φ的图象关于直线x=0对称,则y=fx在上的值域为 A.[-,0]B.[-20]C.-,0D.-20解析 由题意得函数fx=2sin,因为其图象关于直线x=0对称,所以2×0++φ=+kπk∈Z,即φ=+kπk∈Z,又|φ|,所以φ=,fx=2sin=2cos2x.当≤x≤时,≤2x≤,所以y=fx在上的值域为[-,0].答案 A11.2018·福州四校联考函数fx=sinωxω0的图象向右平移个单位长度得到函数y=gx的图象,并且函数gx在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数ω的值为 A.B.C.2D.解析 因为将函数fx=sinωxω0的图象向右平移个单位长度得到函数y=gx的图象,所以gx=sinω,又函数gx在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以g=sin=1且≥,所以所以ω=2,故选C.答案 C12.2018·成都市第一次诊断性检测设函数fx=sin.若x1x20,且fx1-fx2=0,则|x2-x1|的取值范围为 A.B.C.D.解析 如图,画出fx=sin的大致图象,记M,N,则|MN|=.设点A,A′是平行于x轴的直线l与函数fx图象的两个交点A,A′位于y轴两侧,这两个点的横坐标分别记为x1,x2,结合图形可知,|x2-x1|=|AA′|∈|MN|,+∞,即|x2-x1|∈,故选A.答案 A13.2017·全国卷Ⅱ函数fx=sin2x+cosx-的最大值是________.解析 fx=1-cos2x+cosx-=-2+
1.∵x∈,∴cosx∈
[01],∴当cosx=时,fx取得最大值,最大值为
1.答案 114.2018·山西省八校第一次联考已知函数y=Asinωx+φA0,ω0,-πφ0的部分图象如图所示,则φ=________.解析 由函数图象得A=2,所以y=2sinωx+φ,因为图象过点0,-1,所以sinφ=-,因为x=0位于图象的单调递减区间,所以φ=2kπ-k∈Z,又-πφ0,所以φ=-.答案 -15.已知函数fx=cos,其中x∈,若fx的值域是,则m的最大值是________.解析 由x∈,可知≤3x+≤3m+,∵f=cos=-,且f=cosπ=-1,∴要使fx的值域是,需要π≤3m+≤,即≤m≤,即m的最大值是.答案 16.已知函数fx=sin,如果x1,x2∈,且x1≠x2时,fx1=fx2,则fx1+x2=________.解析 由2x-=kπ+,k∈Z可得x=+,k∈Z,因为x1,x2∈,所以令k=0,得其在区间里的对称轴为x=,所以x1+x2=2×=,所以f=sin=sin=-.答案 -B级1.2018·洛阳市尖子生第一次联考已知函数fx=sinsinx+cossinx,x∈R,则下列说法正确的是 A.函数fx是周期函数且最小正周期为πB.函数fx是奇函数C.函数fx在区间上的值域为[1,]D.函数fx在上是增函数解析 fx=sinsinx+cossinx=sin,因为fπ+x=sin=sin≠fx,所以π不是函数fx的最小正周期,故A错误;f-x=sin=sin≠-fx,故B错误;当x∈时,sinx∈
[01],sinx+∈,所以sin∈,则sin∈[1,],故C正确;当x∈时,sinx∈,sinx+∈,而∈,所以函数fx在上不是单调函数,故D错误.答案 D2.已知函数fx=sinωx+cosωxω0,x∈R.若函数fx在区间-ω,ω内单调递增,且函数y=fx的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.解析 fx=sinωx+cosωx=sin,因为fx在区间-ω,ω内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以fω必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z,又ω--ω≤,即ω2≤,所以ω2=,所以ω=.答案 3.已知函数fx=sinωx-cosωxω0的最小正周期为π.1求函数y=fx图象的对称轴方程;2讨论函数fx在上的单调性.解析 1∵fx=sinωx-cosωx=sin,且T=π,∴ω=
2.于是fx=sin.令2x-=kπ+k∈Z,得x=+k∈Z,即函数fx图象的对称轴方程为x=+k∈Z.2令2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z,得函数fx的单调递增区间为k∈Z.注意到x∈,所以令k=0,得函数fx在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.4.已知函数fx=2cos2x+2sinxcosx+a,且当x∈时,fx的最小值为
2.1求a的值,并求fx的单调递增区间;2先将函数y=fx的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=gx的图象,求方程gx=4在区间上所有根之和.解析 1fx=2cos2x+2·sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin+a+1,∵x∈,∴2x+∈,∴fx的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴fx=2sin+
3.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴fx的单调递增区间为k∈Z.2由函数图象变换可得gx=2sin+3,由gx=4可得sin=,∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+k∈Z,解得x=+或x=+k∈Z,∵x∈,∴x=或x=,∴所有根之和为+=.。