还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
3.2三角变换与解三角形【课时作业】A级1.2018·全国卷Ⅱ在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= A.4B.C.D.2解析 ∵cos=,∴cosC=2cos2-1=2×2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×=32,∴AB==
4.故选A.答案 A2.2018·山东菏泽2月联考已知α∈,sin=,则tanπ+2α= A.B.±C.±D.解析 ∵α∈,sin=,∴cosα=,sinα=-,由同角三角函数的商数关系知tanα==-
2.∴tanπ+2α=tan2α===,故选A.答案 A3.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acosB,c=1,则△ABC的面积等于 A.B.C.D.解析 由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sin=,又B∈0,π,所以B=,又A==B,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=bcsinA=×1×1×=.答案 B4.若α∈,且3cos2α=4sin,则sin2α的值为 A.B.-C.-D.解析 3cos2α-sin2α=2cosα-sinα,因为α∈,所以cosα-sinα≠0,所以3cosα+sinα=2,即cosα+sinα=,两边平方可得1+sin2α=⇒sin2α=-.答案 C5.2018·南昌市第一次模拟测试卷已知台风中心位于城市A东偏北αα为锐角的150千米处,以v千米/时沿正西方向快速移动,
2.5小时后到达距城市A西偏北ββ为锐角的200千米处,若cosα=cosβ,则v= A.60B.80C.100D.125解析 如图,台风中心为B
2.5小时后到达点C,则在△ABC中,ABsinα=ACsinβ,即sinα=sinβ,又cosα=cosβ.∴sin2α+cos2α=sin2β+cos2β=1=sin2β+cos2β,∴sinβ=cosβ,∴sinβ=,cosβ=,∴sinα=,cosα=,∴cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=0,∴α+β=,∴BC2=AB2+AC2,∴
2.5v2=1502+2002,解得v=100,故选C.答案 C6.化简=________.解析 ===4sinα.答案 4sinα7.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________.解析 ==·=·=
1.答案 18.2018·开封市高三定位考试在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC的面积为2,则b+c的值为________.解析 由正弦定理及btanB+btanA=2ctanB,得sinB·+sinB·=2sinC·,即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA,亦即sinA+B=2sinCcosA,故sinC=2sinCcosA.因为sinC≠0,所以cosA=,所以A=.由面积公式,知S△ABC=bcsinA=2,所以bc=
8.由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-3bc,代入可得b+c=
7.答案 79.2018·浙江卷已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.1求sinα+π的值;2若角β满足sinα+β=,求cosβ的值.解析 1由角α的终边过点P,得sinα=-.所以sinα+π=-sinα=.2由角α的终边过点P,得cosα=-,由sinα+β=,得cosα+β=±.由β=α+β-α,得cosβ=cosα+βcosα+sinα+βsinα,所以cosβ=-或cosβ=.10.2018·北京卷在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.1求∠A;2求AC边上的高.解析 1在△ABC中,因为cosB=-,所以sinB==.由正弦定理得sinA==.由题设知∠Bπ,所以0∠A.所以∠A=.2在△ABC中,因为sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=,所以AC边上的高为asinC=7×=.B级1.2018·河南濮阳一模已知△ABC中,sinA,sinB,sinC成等比数列,则的取值范围是 A.B.C.-1,D.解析 由sinA,sinB,sinC成等比数列,知a,b,c,成等比数列,即b2=ac,∴cosB===-≥2-=,当且仅当a=c时等号成立,可知B∈,设y==,设sinB+cosB=t,则2sinBcosB=t2-
1.由于t=sinB+cosB=sin,B∈,所以t∈1,],故y====t-,t∈1,],因为y=t-在t∈1,]上是增函数,所以y∈.故选B.答案 B2.2018·石家庄质量检测一如图,平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部,AB=1,BC=,AC=CD,AC⊥CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为________.解析 设∠ABC=θ,θ∈0,π,则由余弦定理得AC2=3-2cosθ,由正弦定理得=,得sin∠ACB=.在△DCB中,由余弦定理可得,BD2=CD2+2-2CDcos=AC2+2+2ACsin∠ACB=3-2cosθ+2+2AC×=5+2sinθ-cosθ=5+4sin,当θ=时,max=1,∴BD=9,∴BDmax=
3.答案 33.已知向量a=,b=-sinx,sinx,fx=a·b.1求函数fx的最小正周期及fx的最大值;2在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2,求△ABC面积的最大值.解析 1易得a=-sinx,cosx,则fx=a·b=sin2x+sinxcosx=-cos2x+sin2x=sin+,所以fx的最小正周期T==π,当2x-=+2kπ,k∈Z时,即x=+kπk∈Z时,fx取最大值是.2因为f=sin+=1,所以sin=⇒A=.因为a2=b2+c2-2bccosA,所以12=b2+c2-bc,所以b2+c2=bc+12≥2bc,所以bc≤12当且仅当b=c时等号成立,所以S=bcsinA=bc≤
3.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值是
3.4.如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声检测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、B同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是
1.5千米/秒.1设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求出x的值;2求P到海防警戒线AC的距离.解析 1依题意,有PA=PC=x,PB=x-
1.5×8=x-
12.在△PAB中,AB=20,cos∠PAB===,同理,在△PAC中,AC=50,cos∠PAC===.∵cos∠PAB=cos∠PAC,∴=,解得x=
31.2作PD⊥AC于点D,在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD==,∴PD=PAsin∠PAD=31×=
4.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.。