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数列的综合问题1.删去正整数数列123,…中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个数列的第2018项是 A.2062B.2063C.2064D.2065答案 B解析 由题意可得,这些数可以写为122322567832,…,第k个平方数与第k+1个平方数之间有2k个正整数,而数列122322567832,…,452共有2025项,去掉45个平方数后,还剩余2025-45=1980个数,所以去掉平方数后第2018项应在2025后的第38个数,即是原来数列的第2063项,即为
2063.2.已知数列{an}满足0an1,a-8a+4=0,且数列是以8为公差的等差数列,设{an}的前n项和为Sn,则满足Sn10的n的最小值为 A.60B.61C.121D.122答案 B解析 由a-8a+4=0,得a+=8,所以a+=8+8n-1=8n,所以2=a++4=8n+4,所以an+=2,即a-2an+2=0,所以an==±,因为0an1,所以an=-,Sn=-1,由Sn10得11,所以n
60.3.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2n∈N*,Sn为数列{an}的前n项和,则 A.an≥2n+1B.Sn≥n2C.an≥2n-1D.Sn≥2n-1答案 B解析 由题意得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,…,an-an-1≥2,∴a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2n-1,∴an-a1≥2n-1,∴an≥2n-
1.∴a1≥1,a2≥3,a3≥5,…,an≥2n-1,∴a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,∴Sn≥1+2n-1=n
2.4.数列{an}满足a1=,an=n∈N*,若对n∈N*,都有k++…+成立,则最小的整数k是 A.3B.4C.5D.6答案 C5.已知fn表示正整数n的所有因数中最大的奇数,例如12的因数有1234612,则f12=3;21的因数有13721,则f21=21,那么i的值为 A.2488B.2495C.2498D.2500答案 D解析 由fn的定义知fn=f2n,且若n为奇数则fn=n,则i=f1+f2+…+f100=1+3+5+…+99+f2+f4+…+f100=+f1+f2+…+f50=2500+i,∴i=i-i=
2500.6.若数列{an}满足-=1,且a1=5,则数列{an}的前100项中,能被5整除的项数为 A.42B.40C.30D.20答案 B解析 ∵数列{an}满足-=1,即-=1,且=1,∴数列是以1为首项,1为公差的等差数列,∴=n,
②由
①得bn=n-2,从而cn=+n·2n-
2.记C1=++…+=++…+=,记C2=1·2-1+2·20+…+n·2n-2,则2C2=1·20+2·21+…+n·2n-1,两式相减得C2=n-1·2n-1+,从而Tn=+n-1·2n-1+=+n-1·2n-1,则不等式TnSn+3+可化为+2n+12n+1+,即n2+n-900,因为n∈N*且n≠1,故n9,从而最小正整数n的值是
10.14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn-n=2an-2n∈N*.1证明数列{an-1}为等比数列;2若bn=an·log2an-1,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.1证明 ∵Sn-n=2an-2,当n≥2时,Sn-1-n-1=2an-1-2,两式相减,得an-1=2an-2an-1,∴an=2an-1-1,∴an-1=2an-1-1,∴=2n≥2常数.又当n=1时,a1-1=2a1-2,得a1=3,a1-1=2,∴数列{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列.2解 由1知,an-1=2×2n-1=2n,∴an=2n+1,又bn=an·log2an-1,∴bn=n2n+1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n+1+2+3+…+n,设An=1×2+2×22+3×23+…+n-1×2n-1+n×2n,则2An=1×22+2×23+…+n-1×2n+n×2n+1,两式相减,得-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,∴An=n-1×2n+1+
2.又1+2+3+…+n=,∴Tn=n-1×2n+1+2+n∈N*.。