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专题18不等式选讲测试题【高频考点】绝对值不等式的求解,喊绝对值的函数的最值的求解,利用绝对值不等式求最值或解决与绝对值不等式相关的恒成立问题,有解,不等式的证明等【考情分析】本单元在高考中是选考部分,命题形式是解答题,全国卷分值是10分,考查含绝对值不等式的证明与求解,求参数分范围,不等式的证明等【重点推荐】第12题考察绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的几何意义的应用1(2018•衡阳三模)设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|,a∈R.
(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;
(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.【解析】
(1)当a=4时,不等式f(x)≥5,即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于,或,或,解得x≤0或x≥5.故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0,或x≥5}.……………(5分)
(2)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|(x﹣1)﹣(x﹣a)|=|a﹣1|.(当x=1时等号成立)所以f(x)min=|a﹣1|.……………(8分)由题意得|a﹣1|≥4,解得a≤﹣3,或a≥5.……………(10分)
2.(2018•郑州三模)已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.
(1)求证2a+b=2;因为a2﹣2a+3=(a﹣1)2+2>0,所以a2>2a﹣3,且|x﹣a2|+|x﹣2a+3|≥|(x﹣a2)﹣(x﹣2a+3)|=|a2﹣2a+3|=a2﹣2a+3,
①当2a﹣3≤x≤a2时,
①式等号成立,即.(7分)又因为,
②当时,
②式等号成立,即.(8分)所以,整理得,5a2﹣8a﹣4>0,(9分)解得或a>2,即a的取值范围为.(10分)。