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第5讲 椭 圆1.从椭圆+=1a>b>0上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OPO是坐标原点,则该椭圆的离心率是 A.B.C.D.2.椭圆+=1上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为 A.20B.22C.24D.283.点P在椭圆+=1a>b>0上,F1,F2是椭圆的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此椭圆的离心率是 A.B.C.D.4.2016年新课标Ⅲ已知O为坐标原点,F是椭圆C+=1a>b>0的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 A.B.C.D.5.2016年湖南常德模拟已知椭圆C+=1ab0的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,点O为坐标原点,线段OB的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P,设直线PA,PB,PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,k3,k4,若k1·k2=-,则k3·k4= A.B.-C.-D.-46.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2=________.7.2016年江苏如图X751,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1a>b>0的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.图X7518.2015年陕西如图X752,椭圆E+=1a>b>0经过点A0,-1,且离心率为.1求椭圆E的方程;2经过点11,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q均异于点A,证明直线AP与AQ的斜率之和为
2.图X7529.已知椭圆C+=1ab0的焦距为4且过点,-2.1求椭圆C的方程;2过椭圆焦点的直线与椭圆C分别交于点E,F,求·的取值范围.第5讲 椭 圆1.C 解析左焦点为F1-c0,PF1⊥x轴.当x=-c时,+=1⇒y=b2=⇒yP=负值不合题意,已舍去,点P.由斜率公式,得kAB=-,kOP=-.∵AB∥OP,∴kAB=kOP⇒-=-⇒b=c.∵a2=b2+c2=2c2,∴=⇒e==.2.C 解析方法一,
①2-
②,得|PF1|·|PF2|=
48.则=×48=
24.方法二,利用公式=b2tan,得=b2tan=24×tan45°=
24.故选C.3.A 解析设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即22a-m=m+2c.解得m=4a-2c.即|PF1|=4a-2c.所以|PF2|=2a-4a-2c=2a+2c.又∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即2+2=2c
2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=c或a=-c舍去.故e==.4.A 解析方法一,设点M-c,y0,OE的中点为N,则直线AM的斜率k=.从而直线AM的方程为y=x+a,令x=0,得点E的纵坐标yE=.同理,OE的中点N的纵坐标yN=.∵2yN=yE,∴=.∴a=3c.∴e==.方法二,如图D133,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a.图D133∵PF∥y轴,∴==,==.又=,即=.∴a=3c.故e==.5.C 解析设Pm,n,A-a0,Ba0,F1-c0,F2c0,由于线段OB的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P,因此m=.若k1·k2=-,则·=-.解得n=a,即P.代入椭圆方程,可得+·=1,即a=2b,则c==b,则k3·k4=·==-.6.2 120° 解析∵a2=9,b2=2,∴c===.∴|F1F2|=
2.又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=
2.又由余弦定理,得cos∠F1PF2==-.∴∠F1PF2=120°.
7. 解析由题意,得B,C,·=0,因此·=0,即c2-2+2=0⇒3c2=2a2⇒e=.8.1解由题设知,=,b=
1.结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆的方程为+y2=
1.2证明由题设知,直线PQ的方程为y=kx-1+1k≠2,代入+y2=1,得1+2k2x2-4kk-1x+2kk-2=
0.由已知得Δ>0,设Px1,y1,Qx2,y2,x1x2≠
0.则x1+x2=,x1x2=.从而直线AP,AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=2k+2-k=2k+2-k=2k-2k-1=
2.9.解1因为椭圆C+=1ab0的焦距是4,所以焦点坐标是0,-2,02.则2a=+=
4.解得a=
2.又由b2=a2-c2,得b=
2.所以椭圆C的方程是+=
1.2若直线l垂直于x轴,则点E02,F0,-2.则·=-
8.若直线l不垂直于x轴,不妨设其方程为y=kx+2,点Ex1,y1,Fx2,y2.将直线l的方程代入椭圆C的方程得到2+k2x2+4kx-4=
0.则x1+x2=,x1x2=.所以·=x1x2+y1y2=1+k2x1x2+2kx1+x2+4=++4=-
8.因为0≤10,所以-8·≤
2.所以·的取值范围是-82].。