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第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1.2014年新课标Ⅱ设点F为抛物线C y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,则|AB|= A.B.6C.12D.72.2015年山东日照模拟椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为 A.B.C.D.3.已知双曲线E的中心为原点,P30是E的焦点,过点P的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N-12,-15,则E的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.2013年新课标Ⅰ已知椭圆E+=1ab0的右焦点为F30,过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为1,-1,则E的方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.如图X791,抛物线y2=4x的焦点为F,过点03的直线与抛物线交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,若|AF|+|BF|=6,则点D的横坐标为____________.图X791 图X7926.如图X792,过抛物线y2=2pxp0的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是______________.7.椭圆x2+4y2=4的长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,则该三角形的面积是________.8.2015年江苏在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________.9.2015年陕西已知椭圆E+=1ab0的半焦距为c,原点O到经过两点c0,0,b的直线的距离为c.1求椭圆E的离心率;2如图X793,AB是圆M x+22+y-12=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.图X79310.已知椭圆C1+=1ab0的长轴长等于圆C2x2+y2=4的直径,且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M10且互相垂直的两条直线,l1交C1于A,B两点,l2交C2于C,D两点.1求C1的标准方程;2求四边形ACBD的面积的最大值第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1.C 解析由点F为抛物线C y2=3x的焦点,得F.则过点F且倾斜角为30°的直线为y=,与抛物线y2=3x联立,得16x2-168x+9=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=+=
12.2.A 解析将y=1-x代入ax2+by2=1,整理,得a+bx2-2bx+b-1=
0.x1+x2=,y1+y2=1-x1+1-x2=,因此AB的中点坐标为,==.3.B 解析由双曲线E的中心为原点,P30是E的焦点,可设双曲线的方程为-=1a2+b2=9.设Ax1,y1,Bx2,y2,即-=1,-=
1.则kAB==·=·==
1.则=.解得b2=5,a2=
4.故E的方程为-=
1.4.D 解析由中点弦的点差法可求出直线斜率k==,且a2=b2+c2,所以可得出+=
1.5.4 解析设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB的方程为y=kx+3,联立得k2x2+6k-4x+9=
0.∴x1+x2=.由抛物线的性质,得|AF|+|BF|=x1+x2+p=6,∴x1+x2=
4.因此=
4.解得k=或k=-
2.由题图可知,k=-2,因此直线AB的方程为y=-2x+3,AB的中点坐标为2,-1,线段AB的垂直平分线为y+1=x-2.令y=0,得x=
4. 6.y2=3x 解析方法一,过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则|AA1|=3,|BB1|=|BF|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.∴|AC|=2|AA1|=2|AF|=
6.∴|CF|=
3.∴p=|CF|=.∴抛物线的方程为y2=3x.方法二,由抛物线的定义,知|BF|等于点B到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得∠BCB1=30°.又|AF|=3,从而A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p=,或p=.由题图知,点F在点A左侧,∴3-.∴p
3.∴p=不符合题意,舍去.∴抛物线的方程为y2=3x.
7. 解析由点A为直角顶点,得直角边的斜率为1和-
1.设A-20,则一条直角边的方程为y=x+2,联立得5x2+16x+12=0,即x1=-,x2=-2舍去.此时y=x+2=,则三角形的另一个顶点为C.故|AC|=,该三角形的面积是×2=.
8. 解析设Px,yx≥1,因为直线x-y+1=0平行于渐近线x-y=0,所以点P到直线x-y+1=0的距离恒大于直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间的距离,因此c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间的距离为=.9.解1过点c0,0,b的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离d==.由d=c,得a=2b=
2.解得离心率=.2由1知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b
2.
①依题意,得圆心M-21是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB不与x轴垂直.设其直线方程为y=kx+2+1,代入
①,得1+4k2x2+8k2k+1x+42k+12-4b2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b
2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=.解得b2=
3.故椭圆E的方程为+=
1.10.解1由题意,得2a=4,∴a=
2.∵=,∴c=
1.∴b==.∴椭圆C1的标准方程为+=
1.2
①当直线l1,l2的斜率均存在时,设l1y=kx-1,则l2y=-x-1.设Ax1,y1,Bx2,y2,由得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0,∴x1+x2=,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=.易知圆心00到直线l2x+ky-1=0的距离d=,由+d2=4得|CD|=
2.∵AB⊥CD,∴S四边形ACBD=|AB|·|CD|==
12.∵4k2+33,∴S四边形ACBD
4.
②当直线l1的斜率为0时,|AB|=4,|CD|=2,∴S四边形ACBD=
4.
③当直线l1的斜率不存在时,|AB|=3,|CD|=4,∴S四边形ACBD=
64.综上所述,四边形ACBD的面积的最大值为
4.。