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第2讲 空间几何体的表面积和体积1.2015年山东已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.B.C.2πD.4π2.2015年新课标Ⅰ圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图X82
1.若该几何体的表面积为16+20π,则r= 图X821A.1B.2C.4D.83.2015年新课标Ⅰ《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米如图X822,米堆为一个圆锥的四分之一,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有 图X822A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛4.2015年湖南某工件的三视图如图X823,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的利用率为 图X823A.B.C.D.5.2016年四川已知某三棱锥的三视图如图X824,则该三棱锥的体积________.图X8246.2017年天津已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.7.2016年浙江某几何体的三视图如图X825单位cm,则该几何体的表面积是________cm2,体积是________cm
3.图X8258.2015年上海若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比值为2π,则其母线与轴的夹角的大小为______.9.2017年广东揭阳一模已知△ABC的顶点都在球O的球面上,AB=6,BC=8,AC=10,三棱锥OABC的体积为40,则该球的表面积等于________.10.2016年新课标Ⅲ如图X826,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 图X826A.18+36B.54+18C.90D.8111.2015年新课标Ⅱ如图X827,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=
4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.1在图中画出这个正方形不必说明画法和理由;2求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.图X82712.2016年新课标Ⅱ如图X828,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.1求证AC⊥HD′;2若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′ABCFE的体积.图X828第2讲 空间几何体的表面积和体积1.B 解析由题意知,该等腰直角三角形的斜边长为2,斜边上的高为,所得旋转体为同底等高的全等圆锥,所以其体积为π×2×2=.故选B.2.B 解析如图D142,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=5π+4r
2.又S=16+20π,∴5π+4r2=16+20π,∴r2=4,r=
2.故选B.图D1423.B 解析设圆锥底面半径为r,则×2×3r=
8.所以r=.所以米堆的体积为××3×2×5=.故堆放的米约为÷
1.62≈22斛.故选B.4.A 解析欲使正方体最大,则其上底面四个顶点需在圆锥上.圆锥体积V1=π×12×2=π.作几何体截面图,如图D143,则内接正方体棱长a=.图D143∴正方体体积V2=a3=3=.∴=×=.故选A.
5. 解析由三视图可知三棱锥的底面积为S=×2×1=,高为1,所以该三棱锥的体积为V=Sh=××1=.
6. 解析设正方体边长为a,则6a2=18⇒a2=3,外接球直径为2R=a=3,V=πR3=π×=π.7.80 40 解析由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,S表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80,V=23+4×4×2=
40.
8. 解析由题意,得πrl∶=2π⇒l=2h⇒母线与轴的夹角为.9.400π 解析依题意知△ABC为直角三角形,其所在圆面的半径为AC=5,设三棱锥OABC的高为h,则由××6×8h=40,得h=
5.设球O的半径为R,则由h2+52=R2,得R=
10.故该球的表面积为400π.10.B 解析由三视图知该几何体是以3×3的正方形为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积S=2×3×6+2×3×3+2×3×3=54+
18.故选B.11.解1交线围成的正方形EHGF如图D
144.图D1442如图,作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=
8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=
10.于是MH==6,AH=10,HB=
6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.12.1证明由已知,得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF,得=.故AC∥EF.由此,得EF⊥HD.折后EF与HD保持垂直关系,即EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.2解由EF∥AC,得==.由AB=5,AC=6,得DO=BO==
4.所以OH=1,D′H=DH=
3.于是OD′2+OH2=22+12=9=D′H
2.故OD′⊥OH.由1知,AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′.于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.又由=,得EF=.所以五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.所以五棱锥D′ABCFE的体积V=××2=.。