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第5讲 几何概型1.函数fx=-x2+2x,x∈[-13],则任取一点x0∈[-13],使得fx0≥0的概率为 A.B.C.D.2.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为 A.B.C.D.3.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 A.B.C.D.4.2015年陕西设复数z=x-1+yix,y∈R,若|z|≤1,则y≥x的概率为 A.+B.+C.-D.-5.2015年福建如图X951,在矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为10,且点C与点D在函数fx=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于 图X951A.B.C.D.6.2016年江西九江模拟有一个底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 A.B.C.D.7.2016年山东在[-11]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆x-52+y2=9相交”发生的概率为________.8.如图X952,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为________.图X9529.2016年山东潍坊一模甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下甲商场顾客转动如图X953所示的圆盘,当指针指向阴影部分图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计即为中奖.乙商场从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球球除颜色外不加区分,如果摸到的是2个红球,即为中奖,问购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?图X95310.设事件A表示“关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根”.1若a,b∈{123},求事件A发生的概率PA;2若a,b∈
[13],求事件A发生的概率PA.第5讲 几何概型1.C 解析令fx0=-x0x0-2≥0,得0≤x0≤2,由几何概型的概率公式,得任取一点x0∈[-13],使得fx0≥0的概率为p==.故选C.2.C3.C 解析设两串彩灯同时通电后,第一次闪亮的时刻分别为x,y,则0≤x≤40≤y≤4,而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”,即|x-y|≤2,可行域如图D181所示的阴影部分.由几何概型概率公式得PA==.图D181 图D1824.C 解析z=x-1+yi⇒|z|=≤1⇒x-12+y2≤1,如图D182可求得A11,B10,阴影面积等于π×12-×1×1=-.若|z|≤1,则y≥x的概率为=-.故选C.5.B 解析由已知,得B10,C12,D-22,P01,A-210,则矩形ABCD的面积为3×2=6,阴影部分面积为×3×1=.故该点取自阴影部分的概率等于=.6.C 解析先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球=×π×13=π,则点P到点O的距离小于或等于1的概率为=,故点P到点O的距离大于1的概率为1-=.故选C.
7. 解析直线y=kx与圆x-52+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=
3.解得-k.而k∈[-11],所以所求概率p==.
8. 解析△AOC为钝角三角形,由于∠AOB=60°,故分∠ACO为钝角和∠OAC为钝角两种情况讨论.如图D183,过A作AD⊥OB于点D作AE⊥OA交OB于点E△AOC为钝角三角形,则点C必须位于线段OD或BE上,OD=1,BE=1,则△AOC为钝角三角形的概率为=.图D1839.解如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πR2R为圆盘的半径,阴影区域的面积为=.所以在甲商场中奖的概率为p1==.如果顾客去乙商场,记盒子中3个白球为a1,a2,a33个红球为b1,b2,b3,记x,y为一次摸球的结果,则一切可能的结果有a1,a2,a1,a3,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,a3,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a3,b1,a3,b2,a3,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3,共15种,摸到的2个球都是红球有b1,b2,b1,b3,b2,b3共3个,所以在乙商场中奖的概率为p2==.由于p1p2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大.10.解1由关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根,得Δ≥
0.∴4a2-4b2≥
0.故a2≥b
2.当a0,b0时,得a≥b.若a,b∈{123},则总的基本事件数[即有序实数对a,b的个数]为3×3=
9.事件A包含的基本事件为11,21,22,31,32,33,共6个.∴PA==.2若a,b∈
[13],则总的基本事件所构成的区域Ω={a,b|1≤a≤31≤b≤3},是平面直角坐标系aOb中的一个正方形如图D184所示的四边形BCDE,其面积SΩ=3-12=
4.图D184 图D185事件A构成的区域是A={a,b|1≤a≤31≤b≤3,a≥b},是平面直角坐标系aOb中的一个等腰直角三角形如图D185所示的阴影部分,其面积SA=×3-12=
2.∴PA===.。