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第4讲 平面向量的应用举例1．2016年湖北优质高中联考已知向量a＝31，b＝13，c＝k，－2，若a－c∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是 A.B.C．－D.－2．2017年广西南宁第二次适应性测试线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝ A．－ B. C．－ D.3．在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．4．2014年新课标Ⅰ已知A，B，C是圆O上的三点，若＝＋，则与的夹角为__________．5．2014年江苏如图X441，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝______.图X4416．2015年安徽△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是__________．写出所有正确结论的序号
①a为单位向量；
②b为单位向量；
③a⊥b；
④b∥；
⑤4a＋b⊥.7．2015年天津在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和点F分别在线段BC和CD上，且＝，＝，则·的值为________．8．2015年上海已知平面向量a，b，c满足a⊥b，且{|a|，|b|，|c|}＝{123}，则|a＋b＋c|的最大值是____________．9．已知向量a＝，b＝sinx，cos2x，x∈R，设函数fx＝a·b.1求fx的最小正周期；2求fx在上的最大值和最小值．10．如图X442，已知点P44，圆C x－m2＋y2＝5m3与椭圆E＋＝1ab0有一个公共点A31，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．1求m的值与椭圆E的方程；2设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．图X442第4讲 平面向量的应用举例1．A 解析a－c＝3－k3，因为a－c∥b，所以3－k×3＝3×
1.解得k＝
2.当k＝2时，cos〈a，c〉＝＝＝.故选A.2．A 解析由等边三角形的性质，得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||·cos〈，〉＝××＝－.故选A.3．6 解析＝＋＝－，·＝·＝2－·＝||2－||×||cos60°＝4－×2||×cos60°＝1，则AB的长为
6.4．90° 解析＝＋，则O为BC的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以与垂直．5．22 解析由题意，得＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝·＝2－·－2，即2＝25－·－×
64.解得·＝
22.6．
①④⑤ 解析∵△ABC是边长为2的等边三角形，＝2a，||＝2|a|＝2，|a|＝1，故
①正确；＝＋＝2a＋b，∵＝2a，∴＝b.∴|b|＝2，故
②错误且
④正确；∵＝2a，＝b，∴a与b的夹角为120°，故
③错误；4a＋b·＝4a＋b·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×＋22＝0，∴4a＋b⊥，故
⑤正确．
7. 解析在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，得·＝，·＝1，＝，所以·＝＋·＋＝·＝·＋·＋＋·＝1＋＋－＝.8．3＋ 解析因为a⊥b，设a＝10，b＝02，c＝3cosθ，3sinθ，θ∈[02π，所以a＋b＋c＝1＋3cosθ，2＋3sinθ．所以|a＋b＋c|2＝1＋3cosθ2＋2＋3sinθ2＝14＋6sinθ＋φ，其中sinφ＝＝.所以当sinθ＋φ＝1时，|a＋b＋c|取得最大值，即＝3＋.9．解1fx＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.最小正周期T＝＝π.所以fx＝sin，最小正周期为π.2当x∈时，∈，由函数y＝sinx在上的图象知，fx＝sin∈＝.所以fx在上的最大值和最小值分别为1，－.10．解1将点A31代入圆C方程，得3－m2＋1＝
5.∵m＜3，∴m＝1，圆C的方程为x－12＋y2＝
5.设直线PF1的斜率为k，则PF1y＝kx－4＋4，即kx－y－4k＋4＝
0.∵直线PF1与圆C相切，C10，∴＝.解得k＝或k＝.当k＝时，直线PF1与x轴交点的横坐标为，不合题意；当k＝时，直线PF1与x轴交点的横坐标为－
4.∴|OF1|＝c＝4，即F1－40，F240．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝5＋＝
6.∴a＝3，a2＝18，b2＝a2－c2＝
2.∴椭圆E的方程为＋＝
1.2＝13，设Qx，y，则＝x－3，y－1，·＝x－3＋3y－1＝x＋3y－
6.∵＋＝1，即x2＋3y2＝
18.∴x2＋3y2≥2|x||3y|，∴－18≤6xy≤
18.则x＋3y2＝x2＋3y2＋6xy＝18＋6xy∈
[036]，即x＋3y∈[－66]．∴·的取值范围是[－120]．。
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