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第4讲 平面向量的应用举例1.2016年湖北优质高中联考已知向量a=31,b=13,c=k,-2,若a-c∥b,则向量a与向量c的夹角的余弦值是 A.B.C.-D.-2.2017年广西南宁第二次适应性测试线段AD,BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC,AC边上的高,则·= A.- B. C.- D.3.在平行四边形ABCD中,AD=2,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.4.2014年新课标Ⅰ已知A,B,C是圆O上的三点,若=+,则与的夹角为__________.5.2014年江苏如图X441,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·=______.图X4416.2015年安徽△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是__________.写出所有正确结论的序号
①a为单位向量;
②b为单位向量;
③a⊥b;
④b∥;
⑤4a+b⊥.7.2015年天津在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和CD上,且=,=,则·的值为________.8.2015年上海已知平面向量a,b,c满足a⊥b,且{|a|,|b|,|c|}={123},则|a+b+c|的最大值是____________.9.已知向量a=,b=sinx,cos2x,x∈R,设函数fx=a·b.1求fx的最小正周期;2求fx在上的最大值和最小值.10.如图X442,已知点P44,圆C x-m2+y2=5m3与椭圆E+=1ab0有一个公共点A31,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.1求m的值与椭圆E的方程;2设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.图X442第4讲 平面向量的应用举例1.A 解析a-c=3-k3,因为a-c∥b,所以3-k×3=3×
1.解得k=
2.当k=2时,cos〈a,c〉===.故选A.2.A 解析由等边三角形的性质,得||=||=,〈,〉=120°,所以·=||||·cos〈,〉=××=-.故选A.3.6 解析=+=-,·=·=2-·=||2-||×||cos60°=4-×2||×cos60°=1,则AB的长为
6.4.90° 解析=+,则O为BC的中点,直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半,所以与垂直.5.22 解析由题意,得=+=+,=+=+=-,所以·=·=2-·-2,即2=25-·-×
64.解得·=
22.6.
①④⑤ 解析∵△ABC是边长为2的等边三角形,=2a,||=2|a|=2,|a|=1,故
①正确;=+=2a+b,∵=2a,∴=b.∴|b|=2,故
②错误且
④正确;∵=2a,=b,∴a与b的夹角为120°,故
③错误;4a+b·=4a+b·b=4a·b+b2=4×1×2×+22=0,∴4a+b⊥,故
⑤正确.
7. 解析在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,得·=,·=1,=,所以·=+·+=·=·+·++·=1++-=.8.3+ 解析因为a⊥b,设a=10,b=02,c=3cosθ,3sinθ,θ∈[02π,所以a+b+c=1+3cosθ,2+3sinθ.所以|a+b+c|2=1+3cosθ2+2+3sinθ2=14+6sinθ+φ,其中sinφ==.所以当sinθ+φ=1时,|a+b+c|取得最大值,即=3+.9.解1fx=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.最小正周期T==π.所以fx=sin,最小正周期为π.2当x∈时,∈,由函数y=sinx在上的图象知,fx=sin∈=.所以fx在上的最大值和最小值分别为1,-.10.解1将点A31代入圆C方程,得3-m2+1=
5.∵m<3,∴m=1,圆C的方程为x-12+y2=
5.设直线PF1的斜率为k,则PF1y=kx-4+4,即kx-y-4k+4=
0.∵直线PF1与圆C相切,C10,∴=.解得k=或k=.当k=时,直线PF1与x轴交点的横坐标为,不合题意;当k=时,直线PF1与x轴交点的横坐标为-
4.∴|OF1|=c=4,即F1-40,F240.∴2a=|AF1|+|AF2|=5+=
6.∴a=3,a2=18,b2=a2-c2=
2.∴椭圆E的方程为+=
1.2=13,设Qx,y,则=x-3,y-1,·=x-3+3y-1=x+3y-
6.∵+=1,即x2+3y2=
18.∴x2+3y2≥2|x||3y|,∴-18≤6xy≤
18.则x+3y2=x2+3y2+6xy=18+6xy∈
[036],即x+3y∈[-66].∴·的取值范围是[-120].。