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2.
2.2 反证法1.掌握间接证明的常见方法反证法的推理特点.2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反证法证明简单题目.反证法一般地,由证明pq转向证明____________________,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定____为假,推出____为真的方法,叫做反证法.1.反证法适宜证明“存在性,唯一性,带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题.2.应用反证法证明数学命题的一般步骤1分清命题的条件和结论;2做出与命题结论相矛盾的假设;3由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果;4断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.常见的主要矛盾有
①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾;
②与临时假设矛盾;
③与公认的事实或自相矛盾等.【做一做1-1】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用 .
①结论的相反判断,即假设;
②原命题的条件;
③公理、定理、定义等;
④原结论.A.
①②B.
①②④C.
①②③D.
②③【做一做1-2】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,假设正确的是 .A.假设三角形的内角中至少有一个钝角B.假设三角形的内角中至少有两个钝角C.假设三角形的内角中没有一个钝角D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角如何理解反证法?剖析反证法证题的特征通过导出矛盾、归结为谬误,而使命题得证.反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾,从而说明原结论正确,即证明命题的逆否命题成立.否定结论对结论的反面要一一否定,不能遗漏;否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法.要注意用反证法解题,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.用反证法证明不等式,常用的否定形式有“≥”的反面为“<”;“≤”的反面为“>”;“>”的反面为“≤”;“<”的反面为“≥”;“≠”的反面为“=”;“=”的反面为“≠”或“>”及“<”.反证法属逻辑方法范畴,它的严谨性体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.反证法不是去直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的正确性.题型一命题的结论是否定型【例题1】已知函数fx=ax+a>1.1证明函数fx在-1,+∞上为增函数;2用反证法证明方程fx=0没有负数根.分析应用增函数定义证明第一问;第二问的结论是否定型的,适于应用反证法.反思在解题过程中,提出假设,分类讨论等都是在合理地增设条件,为解题提供帮助.题型二命题的结论涉及至多、至少及存在型【例题2】已知a,b,c都是小于1的正数,求证1-ab,1-bc,1-ca中至少有一个不大于.分析命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时,应用直接方法证明时难度很大,根据正难则反的思想,应用反证法证明.本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”,然后由假设入手,应用均值不等式证明.反思反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立,反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般表现形式是或者是A,或者非A,即在同一讨论过程中,A和非A有一个且仅有一个是对的,不能有第三种情形出现.题型三唯一性命题的证明【例题3】求证过直线外一点只有一条直线与它平行.分析本题属唯一性的证明问题,用反证法证明.已知Aa,A∈b,b∥a,求证b唯一.题型四易错辨析易错点运用反证法时,第一步否定结论易错.因为有些结论的对立面不易确定,从而导致错误.【例题4】用反证法证明命题“a,b为整数,若ab不是偶数,则a,b都不是偶数”时,应假设________.错解a,b不都是偶数.1反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾.这个矛盾可以是 .
①与已知矛盾;
②与假设矛盾;
③与定义、定理、公理、法则矛盾;
④与事实矛盾.A.
①②B.
①②④C.
①②③D.
①②③④2命题“在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是 .A.a<bB.a≤bC.a=bD.a≥b3“M不是N的子集”的充分必要条件是 .A.若x∈M则xNB.若x∈N则x∈MC.存在x1∈Mx1∈N,又存在x2∈Mx2ND.存在x0∈Mx0N4设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于__________.5用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0a,b为实数”时,应假设________________________________________________________________________.答案;基础知识·梳理qr…t q q【做一做1-1】C【做一做1-2】B “至多有一个”的反面为“至少有两个”.典型例题·领悟【例题1】证明1任取x1,x2-1,+∞,不妨设x1<x2,则x2-x1>0,ax2-x1>1,且ax1>0,∴ax2-ax1=ax1ax2-x1-1>
0.又∵x1+1>0,x2+1>0,∴-==>
0.∴fx2-fx1=ax2-ax1+->
0.故函数fx在-1,+∞上为增函数.2假设存在x0<0x0≠-1,满足fx0=0,则ax0=-,且0<ax0<1,∴0<-<1,即<x0<2,与假设x0<0矛盾,故方程fx=0没有负根.【例题2】证明假设1-ab>,1-bc>,1-ca>.∵a,b,c都是小于1的正数,∴>,>,>,从而++>.但是++≤++==,与上式矛盾.∴假设不成立,即原命题成立.【例题3】证明假设过点A还有一条直线b′∥a.根据平行公理,∵b∥a,∴b∥b′,与b∩b′=A矛盾.∴假设不成立,原命题成立.【例题4】错因分析a,b不都是偶数包括的情况是
①a是偶数,b是奇数;
②a是奇数;b是偶数;
③a,b都不是偶数.显然,否定的结论并不是结论的对立面,所以不正确,题目中“a,b都不是偶数”指“a,b都是奇数”.正解a,b不都是奇数.随堂练习·巩固1.D2.B “大于”的否定是“不大于”,即“小于”或“等于”.3.D 按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素.所以,要使M不是N的子集,只需存在x0M但x0N.选D.4. 假设a,b,c都小于,则a+b+c<
1.故a,b,c中至少有一个不小于.5.a,b不全为0a,b为实数 “a,b全为0”即“a=0且b=0”,它的否定为“a≠0或b≠0”,即“a,b不全为0”.。