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3.
1.2 复数的概念1．了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程自然数集N―→整数集Z―→有理数集Q―→实数集R―→复数集C．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，例如虚数单位、复数、虚数、纯虚数等，掌握复数相等的充要条件．1．实数系实数就是小数，它包括____________________________和________________________．实数的性质有
①实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；
②0与1的性质为0＋a＝a＋0＝a，1·a＝a·1＝a；
③加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律．实数系和数轴上的点可以建立________关系．【做一做1】数系扩充的脉络是________→________→________，用集合符号表示为________________________．2．虚数单位的性质i2＝______.显然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解．【做一做2】关于x的方程x2＋1＝0的解是 ．A．1B．iC．±iD．无解3．复数的概念1设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做______，复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bia，b∈R，其中a叫做复数z的______，b叫做复数z的______，i称作虚数单位．当b＝0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b≠0时，a＋bi叫做______．而当b≠0且a＝0时，bi叫做______．2全体复数所构成的集合叫做______．复数集通常用大写字母C表示，即C＝{z|z＝a＋bi，a∈R，b∈R}．显然，实数集R是复数集C的______，即RC.【做一做3－1】设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的是 ．A．A∪B＝CB．∁UA＝BC．A∩∁UB＝D．B∪∁UB＝C【做一做3－2】若z＝a＋bia，b∈R，则下列结论中正确的是 ．A．若a＝0，则z是纯虚数B．若b＝0，则z是实数C．若a＋b－2i＝5＋3i，则a＝5，b＝2iD．z的平方不可能为－14．复数相等如果两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别对应相等，我们就说这两个复数______，记作a＋bi＝c＋di.这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di____________；a＋bi＝0____________.【做一做4－1】实数x，y满足方程x＋y＋2x－yi＝5＋4i，则x＝________，y＝________.【做一做4－2】若复数m2－5m－6＋m2＋4m＋3i等于零，则实数m的值是 ．A．－3或－1B．6或－1C．－3D．－1如何理解“两个复数不全为实数只能说相等或不相等，不能比较大小”？剖析1根据复数相等的定义，知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.2若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必都是实数即虚部均为0．3若两个复数不全是实数，则不能比较大小．“不能比较大小”的确切含义是指不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质
①对于任意实数a，b来说，a＜b，a＝b，b＜a这三种情况有且只有一种成立；
②若a＜b，b＜c，则a＜c；
③若a＜b，则a＋c＜b＋c；
④若a＜b，c＞0，则ac＜bc.题型一复数的分类【例题1】实数k为何值时，复数k2－3k－4＋k2－5k－6i分别是1实数？2虚数？3纯虚数？4零？分析根据定义求解．题型二复数相等【例题2】已知x是实数，y是纯虚数，且满足3x－10＋i＝y－3i，求x与y.分析因为y是纯虚数，所以可设y＝bib∈R，b≠0代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．反思一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数．复数相等是实现复数向实数转化的桥梁．题型三复数与实数之间的关系【例题3】已知z1＝m2－m2－3mi，z2＝m2－4m＋3i＋10，m∈R若z1＜z2，求实数m的取值范围．分析由z1＜z2，可知z1，z2∈R，故虚部为
0.反思两个复数，只有当它们全是实数时才能比较大小．题型四易错辨析易错点本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念，忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误，避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系．【例题4】下列命题中
①两个复数不能比较大小；
②若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
③若z1－z22＋z2－z32＝0，则z1＝z2＝z3；
④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；
⑤若实数a与ai对应，则数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是 ．A．0B．1C．2D．3错解B1若复数a2－3a＋2＋a－1i是纯虚数，则实数a的值为 ．A．1B．2C．1或2D．－12若z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，当z1＝z2时，θ为 ．A．kπB．＋2kπC．±＋2kπD．＋2kπ，k∈Z3已知复数z＝－x＋x2－4x＋3i＞0，则实数x＝________.4给出下列五个命题
①若a＜0，则＝a；
②若x为任意实数，则x2＋10＝1；
③方程＝0没有实数根；
④方程＋＝0无实数根；
⑤当a＞0时，关于x的一元二次方程x2－ax＋a＝0有两个正根．其中正确的命题有________．答案基础知识·梳理1．有理数有限小数和无限循环小数 无理数无限不循环小数 一一对应【做一做1】自然数系 有理数系 实数系 N Q R2．－1【做一做2】C 由于i2＝－1，∴－i2＝－1，∴±i都是x2＋1＝0的解．3．1复数 实部 虚部 虚数 纯虚数 2复数集 真子集【做一做3－1】D ∵{实数}∪{虚数}＝{复数}，∴选项A不正确．由以上分析知∁UA＝{虚数}．∴选项B不正确．∵∁UB中会有实数，∴选项C不正确．【做一做3－2】B 若z是纯虚数，则a＝0且b≠0；a＋b－2i＝5＋3i，由于a，b均为实数，∴a＝5，b＝5；当a＝0，b＝1时，z＝i，其平方为－
1.4．相等 a＝c，且b＝d a＝0，且b＝0【做一做4－1】3 2 由题意可得∴【做一做4－2】D 由复数相等的定义可得，解得m＝－
1.典型例题·领悟【例题1】解由于z＝k2－3k－4＋k2－5k－6i.1当k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1时，z是实数．2当k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1时，z是虚数．3当即k＝4时，z为纯虚数．4当即k＝－1时，z是
0.【例题2】解设y＝bibR且b≠0代入3x－10＋i＝y－3i整理，得3x－10＋i＝bi－3i，由复数相等的充要条件得解得∴x＝，y＝4i.【例题3】解∵z1＜z2，故z1，z2均为实数，且z1的实部小于z2的实部，∴∴∴m＝
3.【例题4】错因分析因为实数也是复数，而两个实数是能比较大小的，故
①不对；在
②中未对a，b加以限制，故
②错误；在
③中将虚数的平方与实数的平方等同，故
③错误；在
④中当x，yR时，可推出x＝y＝1，而此题未限制x，yR，故
④错误；在
⑤中忽视0·i＝0，故
⑤错误．正解A随堂练习·巩固1．B 由题意，有解得a＝
2.2．D 由z1＝z2得∴∴θ＝2kπ＋，kZ.3．1 根据题意，有由
①得x＝1或x＝3，代入
②检验知x＝
1.4．
②③④
①应为＝－a，故
①错；
⑤中Δ＝a2－4a不一定为正，因此方程不一定有实根，故
⑤错．。
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