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第三章空间向量与立体几何注意事项1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.如图所示,在平行六面体中,为与的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是()A.B.C.D.2.已知,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向3.已知,,,若,则等于()A.4B.C.D.4.若,,且,的夹角的余弦值为,则等于()A.2B.C.或D.2或5.已知空间四边形每条边和对角线长都等于,点、、分别是、、的中点,则是下列哪个选项的计算结果()A.B.C.D.6.若,,当取最小值时,的值等于()A.19B.C.D.7.已知,是边长为1的正方形,平面,则异面直线与所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°8.如图所示,正方体中,是的中点,则的值为()A.B.C.D.9.如图,,面,面,,与面成30°角,则、间的距离为()A.1B.2C.D.10.在以下命题中,不正确的个数为()
①是、共线的充要条件;
②若,则存在唯一的实数,使;
③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若,则P、A、B、C四点共面;
④若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底;
⑤.A.2B.3C.4D.511.在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA⊥平面ABC,且PA=AB,则二面角A-PB-C的平面角的正切值为()A.B.C.D.12.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.已知直线的方向向量为,平面的法向量,则与的夹角为________.14.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以为基底,则________.15.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=90°,则PA与底面ABC所成的角为________.16.已知点E、F分别在正方体的棱、上,且,,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________.
三、解答题本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(10分)已知向量,,点,.
(1)求;
(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得?O为原点18.(12分)如图,在直三棱柱中,AC=3,BC=4,AB=5,,点D是AB的中点.求证
(1);
(2)平面.19.(12分)已知M为长方体的棱BC的中点,点P在长方体的面内,且,试探讨点P的确切位置.20.(12分)在正棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别是BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证
(1)平面GEF⊥平面PBC;
(2)EG⊥PG,EG⊥BC.21.(12分)如图,在三棱柱中,H是正方形的中心,,平面,且.
(1)求异面直线AC与所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设N为棱的中点,点M在平面内,且MN⊥平面,求线段BM的长.22.(12分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥平面BEF.
(1)求二面角A′-FD-C的余弦值;
(2)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A′重合,求线段FM的长.2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何
(一)答案
一、选择题1.【答案】A【解析】平行六面体的性质可得,则,故选A.2.【答案】A3.【答案】B【解析】,由,∴.∴,得.故选B.4.【答案】C【解析】.解得或.故选C.5.【答案】C【解析】,A错;,B错;,D错;只有C对.故选C.6.【答案】C【解析】,则,故当时,取最小值,故选C.7.【答案】B【解析】如图,由于且,所以异面直线与所成的角为45°,故选B.8.【答案】B【解析】以,,所在的直线分别为,,轴建立直角坐标系,设正方体棱长为1,则,,,,则,,,则.故选B.9.【答案】C【解析】.∴|.故选C.10.【答案】C【解析】
①错,应为充分不必要条件.
②错,应强调.
③错,∵.
⑤错,由数量积的运算性质判别.故选C.11.【答案】A【解析】设PA=AB=2,建立空间直角坐标系,平面PAB的一个法向量是,平面PBC的一个法向量是.则.∴正切值.故选A.12.【答案】D【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确;易知B正确;设AC与DB交于O点,连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确;由排除法可知选D.
二、填空题13.【答案】30°【解析】∵,∴.∴与的夹角为30°.14.【答案】【解析】,故.15.【答案】60°【解析】由于PA=PB=PC,故P在底面ABC上的射影为△ABC外心,由于△ABC为直角三角形,不妨设OB=OC,所以OP⊥面ABC,∠PAO为所求角,不妨设BC=1,则OA=,cos∠PAO=,所以∠PAO=60°.16.【答案】【解析】延长FE、CB相交于点G,连结AG,设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BH⊥AG于H,连结EH,则∠EHB为所求二面角的平面角.∵,EB=1,∴.
三、解答题17.【答案】
(1);
(2)存在,此时E点坐标为.【解析】
(1),故.
(2),若,则,所以,解得,因此存在点E,使得,此时E点坐标为.18.【答案】
(1)见解析;
(2)见解析.【解析】
(1)∵直三棱柱底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,且垂直底面.∴AC、BC、两两垂直.如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.则,,,,,.,,∴,∴.
(2)设与的交点为E,连接DE,则,∵,,∴.∴.∵平面,平面,∴平面.19.【答案】点P在面的DC的中垂线EF上.【解析】以DA、DC、为、、轴,如图建立空间直角坐标系,设,,.根据题意可设,,,,则.又,根据空间向量基本定理,必存在实数对,使得,即,等价于,则点.∴点P在面的DC的中垂线EF上.20.【答案】
(1)见解析;
(2)见解析.【解析】
(1)以三棱锥的顶点P为原点,以PA、PB、PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3,则A300,B030,C003,E021,F010,G110,P000.于是,.故.∴.又PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PBC.
(2)∵,,.∴,.∴EG⊥PG,EG⊥BC.21.【答案】
(1);
(2);
(3).【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.依题意得,,,,,.
(1)易得,,于是.所以异面直线AC与所成角的余弦值为.
(2)易知,.设平面的法向量,则,即,不妨令,可得,同样地,设平面的法向量,则,即,不妨令,可得,于是,从而.所以二面角的正弦值为.
(3)由N为棱的中点,得.设,则.由MN⊥平面,得,即,解得,故.因此,所以线段BM的长.22.【答案】
(1);
(2).【解析】法一
(1)取线段EF的中点H,连结A′H.因为A′E=A′F及H是EF的中点,所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF,及A′H⊂平面A′EF,所以A′H⊥平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则,,,,故,.设为平面A′FD的一个法向量,所以,取,则.又平面BEF的一个法向量.故.所以二面角的余弦值为.
(2)设,则,因为翻折后,C与A′重合,所以CM=A′M,故,得,经检验,此时点N在线段BC上,所以.法二
(1)取线段EF的中点H,AF的中点G,连结A′G,A′H,GH.因为A′E=A′F及H是EF的中点,所以A′H⊥EF,又因为平面A′EF⊥平面BEF,所以A′H⊥平面BEF,又AF⊂平面BEF,故A′H⊥AF,又因为G,H是AF,EF的中点,易知GH∥AB,所以GH⊥AF,于是面A′GH,所以∠A′GH为二面角A′-DF-C的平面角,在Rt△A′GH中,,,,所以.故二面角A′-DF-C的余弦值为.
(2)设,因为翻折后,C与A′重合,所以CM=A′M,而,,得,经检验,此时点N在线段BC上,所以.。