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第二章圆锥曲线与方程注意事项1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若椭圆的一个焦点坐标为,则的值为()A.5B.3C.D.2.抛物线的焦点到直线的距离是()A.B.2C.D.13.已知椭圆的两个焦点为、,且,弦经过焦点,则的周长为()A.10B.20C.D.4.椭圆的一个焦点为,则()A.1B.C.-2或1D.-2或1或5.设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.如图所示,汽车前反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径是,灯深.那么灯泡与反光镜的顶点即截得抛物线的顶点距离为()A.B.C.D.7.经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是()A.B.C.D.8.已知,、分别为圆锥曲线和的离心率,则()A.大于0且小于1B.大于1C.小于0D.等于19.经过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率为()A.2B.C.D.10.已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=111.设P为椭圆+=1上的一点,F
1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且,则等于()A.B.C.D.12.设双曲线的右焦点是F,左、右顶点分别是A
1、A2,过F作的垂线与双曲线交于B、C两点.若,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则_________.14.已知椭圆+=1的离心率为,则双曲线-=1的离心率为_________.15.已知方程为4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是_________.16.方程+=1表示曲线C,给出以下命题
①曲线C不可能为圆;
②若1t4,则曲线C为椭圆;
③若曲线C为双曲线,则t1或t4;
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1t.其中真命题的序号是__________________写出所有正确命题的序号.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知线段AB的端点B的坐标是43,端点A在圆x+12+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹.18.(12分)设F
1、F2分别是椭圆E x2+=10b1的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列.
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求b的值.19.(12分)已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F,点M在抛物线上,且点M的横坐标为4,|MF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过点40的任意一条直线,若l交抛物线于A、B两点,求证以AB为直径的圆必过原点.20.(12分)设F
1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A、B两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;
(2)若,求椭圆E的离心率.21.(12分)已知抛物线C1x2=4y的焦点F也是椭圆C2的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.
(1)求C2的方程;
(2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.22.(12分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A23,且点F20为其右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.2018-2019学年选修1-1第二章训练卷圆锥曲线与方程
(二)答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.【答案】D【解析】∵椭圆的一个焦点坐标为,∴,∴,又,∴.故选D.2.【答案】D【解析】由可得其焦点坐标,根据点到直线的距离公式可得.故选D.3.【答案】D【解析】由椭圆定义可知,有,,∴的周长.由题意可知,,∴,,∴,∴,故选D.4.【答案】C【解析】∵焦点在轴上,∴,由得或,选C.5.【答案】C【解析】∵,,∴,,∴,∴,故渐近线方程为.故选C.6.【答案】C【解析】设抛物线的方程为,由题意知,点在抛物线上,∴,∴.∴灯泡与反光镜的顶点距离为.故选C.7.【答案】B【解析】设所求双曲线方程为,又∵点在双曲线上,∴,∴.所求双曲线的方程为.故选B.8.【答案】C【解析】∵,∴.故选C.9.【答案】A【解析】由条件知,双曲线的渐近线与此直线平行,∴,∴,代入中得,∴,∵,∴,故选A.10.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为,由点在渐近线上,所以,双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上,所以,由此可解得,,所以双曲线方程为-=1,故选D.11.【答案】B【解析】∵,,∴.由椭圆定义知,∴.在中,由余弦定理得,∴,∴,∴.故选B.12.【答案】C【解析】由已知得右焦点(其中,),、;、;从而,,又因为,所以,即;化简得到=1,即双曲线的渐进线的斜率为;故选C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.【答案】【解析】由题意可知,抛物线的准线方程为,因为,所以该准线过双曲线的左焦点,由双曲线的方程可知,左焦点坐标为;故由可解得.14.【答案】【解析】在椭圆中a2-b2=c2,=,∴,在双曲线中,a2+b2=c2,且∴a2+=c2,∴=,∴e==.15.【答案】04【解析】方程4x2+ky2=1可化为+=1,由题意得,∴0k4.16.【答案】
③④【解析】显然当t=时,曲线为x2+y2=,方程表示一个圆;而当1t4,且t≠时,方程表示椭圆;当t1或t4时,方程表示双曲线;而当1t时,4-tt-10,方程表示焦点在x轴上的椭圆,故
③④为真命题.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】见解析.【解析】设点M的坐标为x,y、点A的坐标为x0,y0.由题意得,∴,又∵点Ax0,y0在圆x+12+y2=4上,∴2x-32+2y-32=4,即x-2+y-2=1.故线段AB的中点M的轨迹是以点,为圆心,以1为半径的圆.18.【答案】
(1);
(2).【解析】
(1)求椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.
(2)l的方程式为y=x+c,其中c=,设Ax1,y
1、Bx1,y1,则A、B两点坐标满足方程组,消去y化简得1+b2x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x2=,x1x2=.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.则,解得b=.19.【答案】
(1)y2=4x;
(2)见解析.【解析】
(1)由题意得|MF|=4+=5,∴p=2,故抛物线方程为y2=4x.
(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4.由,得y=±4.∴|AB|=8,∴=4,∴以AB为直径的圆过原点.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx-4k≠0.设Ax1,y
1、Bx2,y2,由,得k2x2-4+8k2x+16k2=0,∴x1+x2=,x1x2=16.,∴.又,∴OA⊥OB,∴以AB为直径的圆必过原点.综上可知,以AB为直径的圆必过原点.20.【答案】
(1)5;
(2).【解析】
(1)由|AF1|=3|F1B|及|AB|=4得|AF1|=3,|F1B|=1,又∵的周长为16,∴由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.∴|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k0且|AF1|=3k,|AB|=4k,由椭圆定义知|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,在△ABF2中,由余弦定理得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B,即4k2=2a-3k2+2a-k2-2a-3k2a-k,∴a+ka-3k=0,而a+k0,∴a=3k,于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,∴|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,∴F2A⊥AB,F2A⊥AF1,∴△AF1F2是等腰直角三角形,从而c=a,所以椭圆离心率为e==.21.【答案】
(1)+=1;
(2).【解析】
(1)由C1x2=4y知其焦点F的坐标为01,因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以;又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,,∴+=1
②;联立
①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.
(2)如图,设Ax1,y
1、Bx2,y
2、Cx3,y
3、Dx4,y4,因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2-4kx-4=0,由x
1、x2是这个方程的两根,∴x1+x2=4k,由,得9+8k2x2+16kx-64=0,而x
3、x4是这个方程的两根,x3+x4=,将
④、
⑤代入
③,得16k2+1=+.即16k2+1=,所以9+8k22=16×9,解得k=,即直线l的斜率为.22.【答案】
(1)+=1;
(2)不存在,见解析.【解析】
(1)设椭圆的方程,∵F20是椭圆的右焦点,且椭圆过点A23,∴,∴,∵a2=b2+c2,∴b2=12,故椭圆方程为+=1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程y=x+t.由,消去y,得3x2+3tx+t2-12=0.∵直线l与椭圆有公共点,∴,解得-4≤t≤4.另一方面,由直线OA与l的距离等于4,可得,=4,∴t=±2.由于,故符合题意的直线l不存在.。