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3.
1.2 复数的概念1.了解引进复数的必要性,了解数集的扩充过程自然数集N―→整数集Z―→有理数集Q―→实数集R―→复数集C.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念,例如虚数单位、复数、虚数、纯虚数等,掌握复数相等的充要条件.1.实数系实数就是小数,它包括____________________________和________________________.实数的性质有
①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数;
②0与1的性质为0+a=a+0=a,1·a=a·1=a;
③加法和乘法都适合交换律、结合律,乘法对加法满足分配律.实数系和数轴上的点可以建立________关系.【做一做1】数系扩充的脉络是________→________→________,用集合符号表示为________________________.2.虚数单位的性质i2=______.显然i是-1的一个平方根,即i是方程x2=-1的一个解.【做一做2】关于x的方程x2+1=0的解是 .A.1B.iC.±iD.无解3.复数的概念1设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做______,复数通常用小写字母z表示,即z=a+bia,b∈R,其中a叫做复数z的______,b叫做复数z的______,i称作虚数单位.当b=0时,复数就成为实数;除了实数以外的数,即当b≠0时,a+bi叫做______.而当b≠0且a=0时,bi叫做______.2全体复数所构成的集合叫做______.复数集通常用大写字母C表示,即C={z|z=a+bi,a∈R,b∈R}.显然,实数集R是复数集C的______,即RC.【做一做3-1】设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,那么下面结论正确的是 .A.A∪B=CB.∁UA=BC.A∩∁UB=D.B∪∁UB=C【做一做3-2】若z=a+bia,b∈R,则下列结论中正确的是 .A.若a=0,则z是纯虚数B.若b=0,则z是实数C.若a+b-2i=5+3i,则a=5,b=2iD.z的平方不可能为-14.复数相等如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别对应相等,我们就说这两个复数______,记作a+bi=c+di.这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di____________;a+bi=0____________.【做一做4-1】实数x,y满足方程x+y+2x-yi=5+4i,则x=________,y=________.【做一做4-2】若复数m2-5m-6+m2+4m+3i等于零,则实数m的值是 .A.-3或-1B.6或-1C.-3D.-1如何理解“两个复数不全为实数只能说相等或不相等,不能比较大小”?剖析1根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.2若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必都是实数即虚部均为0.3若两个复数不全是实数,则不能比较大小.“不能比较大小”的确切含义是指不论怎样定义两个复数之间的一个关系,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质
①对于任意实数a,b来说,a<b,a=b,b<a这三种情况有且只有一种成立;
②若a<b,b<c,则a<c;
③若a<b,则a+c<b+c;
④若a<b,c>0,则ac<bc.题型一复数的分类【例题1】实数k为何值时,复数k2-3k-4+k2-5k-6i分别是1实数?2虚数?3纯虚数?4零?分析根据定义求解.题型二复数相等【例题2】已知x是实数,y是纯虚数,且满足3x-10+i=y-3i,求x与y.分析因为y是纯虚数,所以可设y=bib∈R,b≠0代入等式,把等式的左、右两边都整理成a+bi的形式后,利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组,求解后得x与b的值.反思一般利用复数相等的充要条件,可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组,从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.题型三复数与实数之间的关系【例题3】已知z1=m2-m2-3mi,z2=m2-4m+3i+10,m∈R若z1<z2,求实数m的取值范围.分析由z1<z2,可知z1,z2∈R,故虚部为
0.反思两个复数,只有当它们全是实数时才能比较大小.题型四易错辨析易错点本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念,忽视复数集与实数集中有关性质的不同而导致做题错误,避免错误发生的关键是弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等有关概念的区别与联系.【例题4】下列命题中
①两个复数不能比较大小;
②若z=a+bi,则仅当a=0,b≠0时z为纯虚数;
③若z1-z22+z2-z32=0,则z1=z2=z3;
④x+yi=1+i⇔x=y=1;
⑤若实数a与ai对应,则数集与纯虚数集一一对应.其中正确命题的个数是 .A.0B.1C.2D.3错解B1若复数a2-3a+2+a-1i是纯虚数,则实数a的值为 .A.1B.2C.1或2D.-12若z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+isinθ,当z1=z2时,θ为 .A.kπB.+2kπC.±+2kπD.+2kπ,k∈Z3已知复数z=-x+x2-4x+3i>0,则实数x=________.4给出下列五个命题
①若a<0,则=a;
②若x为任意实数,则x2+10=1;
③方程=0没有实数根;
④方程+=0无实数根;
⑤当a>0时,关于x的一元二次方程x2-ax+a=0有两个正根.其中正确的命题有________.答案基础知识·梳理1.有理数有限小数和无限循环小数 无理数无限不循环小数 一一对应【做一做1】自然数系 有理数系 实数系 N Q R2.-1【做一做2】C 由于i2=-1,∴-i2=-1,∴±i都是x2+1=0的解.3.1复数 实部 虚部 虚数 纯虚数 2复数集 真子集【做一做3-1】D ∵{实数}∪{虚数}={复数},∴选项A不正确.由以上分析知∁UA={虚数}.∴选项B不正确.∵∁UB中会有实数,∴选项C不正确.【做一做3-2】B 若z是纯虚数,则a=0且b≠0;a+b-2i=5+3i,由于a,b均为实数,∴a=5,b=5;当a=0,b=1时,z=i,其平方为-
1.4.相等 a=c,且b=d a=0,且b=0【做一做4-1】3 2 由题意可得∴【做一做4-2】D 由复数相等的定义可得,解得m=-
1.典型例题·领悟【例题1】解由于z=k2-3k-4+k2-5k-6i.1当k2-5k-6=0,即k=6,或k=-1时,z是实数.2当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,z是虚数.3当即k=4时,z为纯虚数.4当即k=-1时,z是
0.【例题2】解设y=bibR且b≠0代入3x-10+i=y-3i整理,得3x-10+i=bi-3i,由复数相等的充要条件得解得∴x=,y=4i.【例题3】解∵z1<z2,故z1,z2均为实数,且z1的实部小于z2的实部,∴∴∴m=
3.【例题4】错因分析因为实数也是复数,而两个实数是能比较大小的,故
①不对;在
②中未对a,b加以限制,故
②错误;在
③中将虚数的平方与实数的平方等同,故
③错误;在
④中当x,yR时,可推出x=y=1,而此题未限制x,yR,故
④错误;在
⑤中忽视0·i=0,故
⑤错误.正解A随堂练习·巩固1.B 由题意,有解得a=
2.2.D 由z1=z2得∴∴θ=2kπ+,kZ.3.1 根据题意,有由
①得x=1或x=3,代入
②检验知x=
1.4.
②③④
①应为=-a,故
①错;
⑤中Δ=a2-4a不一定为正,因此方程不一定有实根,故
⑤错.。