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第一讲等差数列、等比数列
一、选择题1.2018·开封模拟已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列{an}的公差为 A.1 B.2C.3D.4解析设等差数列{an}的公差为d,因为S4==2a1+a5-d=210-d=16,所以d=2,故选B.答案B2.2018·重庆模拟在数列{an}中,an+1-an=2,a2=5,则{an}的前4项和为 A.9B.22C.24D.32解析依题意得,数列{an}是公差为2的等差数列,a1=a2-2=3,因此数列{an}的前4项和等于4×3+×2=24,选C.答案C3.2018·益阳、湘潭联考已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为 A.3B.5C.9D.25解析设等比数列{an}的公比为q,则a4a7=·a5q2=9q=45,所以q=5,==q2=
25.故选D.答案D4.2018·洛阳模拟在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是 A.55B.11C.50D.60解析设等差数列{an}的公差为d,由2a7=a8+5,得2a6+d=a6+2d+5,得a6=5,所以S11=11a6=55,故选A.答案A5.2018·昆明模拟已知等差数列{an}的公差为2,且a4是a2与a8的等比中项,则{an}的通项公式an= A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+1解析由题意,得a2a8=a,又an=a1+2n-1,所以a1+2a1+14=a1+62,解得a1=2,所以an=2n.故选B.答案B6.2018·长沙中学模拟已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a12-a8=8,a10-a6=4,则S23= A.23B.96C.224D.276解析设等差数列{an}的公差为d,依题意得a4+a12-a8=2a8-a8=a8=8,a10-a6=4d=4,d=1,a8=a1+7d=a1+7=8,a1=1,S23=23×1+×1=276,选D.答案D7.2018·长春模拟等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时n的值为 A.6B.7C.8D.9解析由d>0可得等差数列{an}是递增数列,又|a6|=|a11|,所以-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-,则a8=-<0,a9=>0,所以前8项和为前n项和的最小值,故选C.答案C8.2018·惠州模拟已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9=a12+6,a2=4,则数列{}的前10项和为 A.B.C.D.解析设等差数列{an}的公差为d,由a9=a12+6及等差数列的通项公式得a1+5d=12,又a2=4,∴a1=2,d=2,∴Sn=n2+n,∴==-,∴++…+=1-+-+…+-=1-=.选B.答案B
二、填空题9.2018·南宁模拟在等比数列{an}中,a2a6=16,a4+a8=8,则=________.解析法一设等比数列{an}的公比为q,由a2a6=16得aq6=16,∴a1q3=±
4.由a4+a8=8,得a1q31+q4=8,即1+q4=±2,∴q2=
1.于是=q10=
1.法二由等比数列的性质,得a=a2a6=16,∴a4=±4,又a4+a8=8,∴或.∵a=a4a8>0,∴则公比q满足q4=1,q2=1,∴=q10=
1.答案110.2018·合肥模拟已知数列{an}中,a1=2,且=4an+1-ann∈N*,则其前9项和S9=________.解析由已知,得a=4anan+1-4a,即a-4anan+1+4a=an+1-2an2=0,所以an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故S9==210-2=
1022.答案102211.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.解析因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e
5.所以lna1+lna2+…+lna20=lna1a2…a20=ln[a1a20·a2a19·…·a10a11]=lna10a1110=10lna10a11=10lne5=50lne=
50.答案5012.2017·高考北京卷若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________.解析设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则由a4=a1+3d,得d===3,由b4=b1q3得q3===-8,∴q=-
2.∴===
1.答案1
三、解答题13.2018·南京模拟已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,记bn=anSnn∈N*.1求数列{an}的通项公式;2求数列{bn}的前n项和Tn.解析1∵Sn=2n+1-2,∴当n=1时,a1=S1=21+1-2=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又a1=2=21,∴an=2n.2由1知,bn=anSn=2·4n-2n+1,∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=241+42+43+…+4n-22+23+…+2n+1=2×-=·4n+1-2n+2+.14.2018·贵阳模拟设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q>0,a1+a2=4,a3-a2=
6.1求数列{an}的通项公式;2若对任意的n∈N*,kan,Sn,-1都成等差数列,求实数k的值.解析1∵a1+a2=4,a3-a2=6,∴∵q>0,∴q=3,a1=
1.∴an=1×3n-1=3n-1,故数列{an}的通项公式为an=3n-
1.2由1知an=3n-1,Sn==,∵kan,Sn,-1成等差数列,∴2Sn=kan-1,即2×=k×3n-1-1,解得k=
3.。