2019高考数学一轮复习不等式选讲第2课时不等式的证明与柯西不等式练习理

第2课时不等式的证明与柯西不等式1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是　　A．a＋322a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D.－－答案　C解析　a＋32－2a2＋6a＋11＝－a2－20，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐a4－a3＋1－a≥0⇐a3a－1－a－1≥0⇐a－12a2＋a＋1≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当ab时，恒成立，当ab时，不恒成立；由不等式恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C.2．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则am＋bnbm＋an的最小值为________．答案　2解析　am＋bnbm＋an＝abm2＋a2＋b2mn＋abn2＝abm2＋n2＋2a2＋b2≥2abmn＋2a2＋b2＝4ab＋2a2＋b2＝2a2＋2ab＋b2＝2a＋b2＝2当且仅当m＝m＝时等号成立．3．2018·沧州七校联考若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．答案　解析　由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝即x＝时取等号．所以x＋y的最小值为.4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．答案　解析　方法一＋＋2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋a＋b＋b＋c＋c＋a＝

3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二柯西不等式＋＋2＝1×＋1×＋1×2≤12＋12＋12a＋b＋c＝

3.5．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案　12解析　由柯西不等式，得12＋12＋12a2＋4b2＋9c2≥a＋2b＋3c2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为

12.6．2018·江苏南通联考已知x0，y0，a∈R，b∈R.求证2≤.答案　略证明　因为x0，y0，所以x＋y

0.所以要证2≤，即证ax＋by2≤x＋ya2x＋b2y，即证xya2－2ab＋b2≥0，即证a－b2≥0，而a－b2≥0显然成立．故2≤.7．2014·江苏已知x0，y0，证明1＋x＋y21＋x2＋y≥9xy.答案　略证明　因为x0，y0，所以1＋x＋y2≥30，1＋x2＋y≥

30.故1＋x＋y21＋x2＋y≥3·3＝9xy.8．2018·福建质量检查若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝

2.1求abc的最大值；2证明＋＋≥.答案　1　2略解析　1因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以abc的最大值为.2证明因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝a＋b＋c·＋＋＝[2＋2＋2]×[2＋2＋2]≥×＋×＋×2＝.所以＋＋≥.9．2016·课标全国Ⅱ，理已知函数fx＝|x－|＋|x＋|，M为不等式fx2的解集．1求M；2证明当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.答案　1{x|－1x1}　2略解析　1fx＝当x≤－时，由fx2得－2x2，解得x－1；当－x时，fx2；当x≥时，由fx2得2x2，解得x

1.所以fx2的解集M＝{x|－1x1}．2由1知，当a，b∈M时，－1a1，－1b1，从而a＋b2－1＋ab2＝a2＋b2－a2b2－1＝a2－11－b

20.因此|a＋b||1＋ab|.10．2015·湖南理设a0，b0，且a＋b＝＋.证明1a＋b≥2；2a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．答案　1略　2略解析　由a＋b＝＋＝，a0，b0，得ab＝

1.1由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥

2.2假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．11．2018·广州综合测试已知函数fx＝|x＋a－1|＋|x－2a|.1若f13，求实数a的取值范围；2若a≥1，x∈R，求证fx≥

2.答案　1－，　2见解析解析　1因为f13，所以|a|＋|1－2a|

3.

①当a≤0时，得－a＋1－2a3，解得a－，所以－a≤0；

②当0a时，得a＋1－2a3，解得a－2，所以0a；

③当a≥时，得a－1－2a3，解得a，所以≤a.综上所述，实数a的取值范围是－，．2fx＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|x＋a－1－x－2a|＝|3a－1|，因为a≥1，所以fx≥3a－1≥

2.12．2018·福州五校二次联考已知函数fx＝|2x－1|＋|2x＋1|.1若不等式fx≥a2－2a－1恒成立，求实数a的取值范围；2设m0，n0，且m＋n＝1，求证＋≤

2.答案　1[－1，3]　2略解析　1方法一依题意，fx＝∴fxmin＝

2.∵不等式fx≥a2－2a－1恒成立，∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－1，3]．方法二∵fx＝|2x－1|＋|2x＋1|≥|2x－1－2x＋1|＝2，∴fxmin＝

2.∵不等式fx≥a2－2a－1恒成立，∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－1，3]．2由1知fx≥2，∴2≥

2.∵＋2＝2m＋n＋2＋2≤4＋2m＋1＋2n＋1＝8，当且仅当m＝n＝时等号成立．∴＋≤2，∴＋≤

2.1．2017·武汉4月调研1求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集；2若正实数a，b满足a＋b＝，求证＋≤

1.答案　1{x|－7≤x≤}　2略解析　1当x≤－时，－x＋5＋2x＋3≥1，解得x≥－7，∴－7≤x≤－；当－x5时，－x＋5－2x－3≥1，解得x≤，∴－x≤；当x≥5时，x－5－2x＋3≥1，解得x≤－9，舍去．综上，－7≤x≤.故原不等式的解集为{x|－7≤x≤}．2要证＋≤1，只需证a＋b＋2≤1，即证2≤，即证≤.而a＋b＝≥2，∴≤成立，∴原不等式成立．2．已知函数fx＝m－|x－2|，m∈R，且fx＋2≥0的解集为[－1，1]．1求m的值；2若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证a＋2b＋3c≥

9.答案　11　2略解析　1因为fx＋2＝m－|x|，fx＋2≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又fx＋2≥0的解集为[－1，1]，故m＝

1.2证明由1知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得a＋2b＋3c＝a＋2b＋3c＋＋≥·＋·＋·2＝

9.。