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第1课时两个计数原理1.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有 A.21种 B.315种C.143种D.153种答案 C解析 可分三类一类语文、数学各1本,共有9×7=63种;二类语文、英语各1本,共有9×5=45种;三类数学、英语各1本,共有7×5=35种;∴共有63+45+35=143种不同选法.2.2017·武汉市二中月考从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是 A.10B.15C.20D.25答案 D解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5=25种.
3.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24种B.30种C.36种D.48种答案 D解析 共有4×3×2×2=48种,故选D.4.5名应届毕业生报考3所高校,每人报且仅报1所院校,则不同的报名方法的种数是 A.35B.53C.A32D.C53答案 A解析 第n名应届毕业生报考的方法有3种n=1,2,3,4,5,根据分步计算原理,不同的报名方法共有3×3×3×3×3=35种.5.2018·沧州七校联考高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有 A.16种B.18种C.37种D.48种答案 C解析 自由选择去四个工厂有43种方法,甲工厂不去,自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法,故不同的分配方案有43-33=37种.6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目.如要将这2个节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为 A.42B.30C.20D.12答案 A解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第一个有6种插法,插入第2个时有7个空,共7种插法,所以共6×7=42种.7.2018·绵阳二诊小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他,一共7人,一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨,给家里每人一个,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个,则梨子的不同分法共有 A.96种B.120种C.480种D.720种答案 C解析 由题意知,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个的拿法有C41=4种,其余人的拿法有A55=120种,故梨子的不同分法共有4×120=480种.8.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为 A.5B.4C.6D.8答案 D解析 分类考虑,当公比为2时,等比数列可为1,2,4;2,4,8,当公比为3时,可为1,3,9,当公比为时,可为4,6,9,将以上各数列颠倒顺序时,也是符合题意的,因此,共有4×2=8个.9.2014·安徽,理从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有 A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数,然后根据正方体六个面的特征求解.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,D1C,DC1,共8条,同理与DB成60°角的面对角线也有8条.因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对.又正方体共有6个面,所以共有16×6=96对.又因为每对被计算了2次,因此成60°的面对角线有×96=48对.10.2018·定州一模将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格中,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写办法有 A.288种B.144种C.576种D.96种答案 C解析 依题意可分为以下3步1先从16个格子中任选一格放入第一个汉字,有16种方法;2任意的两个汉字既不同行也不同列,第二个汉字只有9个格子可以放,有9种方法;3第三个汉字只有4个格子可以放,有4种方法.根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4=576种.
11.2018·福建福州闽侯二中期中把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有 A.2680种B.4320种C.4920种D.5140种答案 B解析 由题图可知7个点可组成的三角形有C73-5=30个,∵三盆兰花不能放在一条直线上,∴可放入三角形的三个顶点上,有C301A33=180种放法,再放4盆不同的玫瑰花,没有限制,放在剩余4个位置,有A44=24种放法,∴不同的摆放方法有180×24=4320种.12.已知I={1,2,3},A,B是集合I的两个非空子集,且A中所有数的和大于B中所有数的和,则集合A,B共有 A.12对B.15对C.18对D.20对答案 D解析 依题意,当A,B均有一个元素时,有3对;当B有一个元素,A有两个元素时,有8对;当B有一个元素,A有三个元素时,有3对;当B有两个元素,A有三个元素时,有3对;当A,B均有两个元素时,有3对;共20对,选择D.13.2017·邯郸一中模拟我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”如2013是“六合数”,则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 A.18个B.15个C.12个D.9个答案 B解析 依题意知,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为
4.由4,0,0组成有3个数,分别为400,040,004;由3,1,0组成有6个数,分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成有3个数,分别为220,202,022;由2,1,1组成有3个数,分别为211,121,112,共3+6+3+3=15个.14.直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A,B的值,则可表示________条不同的直线.答案 22解析 分成三类A=0,B≠0;A≠0,B=0和A≠0,B≠0,前两类各表示1条直线;第三类先取A有5种取法,再取B有4种取法,故5×4=20种.所以可以表示22条不同的直线.15.由1到200的自然数中,各数位上都不含8的有________个.答案 162解析 一位数8个,两位数8×9=72个.3位数1××有9×9=81个,另外2××1个即200,共有8+72+81+1=162个.16.某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元钱买杂志每种至多买一本,10元钱刚好用完,则不同买法的种数是________种用数字作答.答案 266解析 分两类第一类,买5本2元的有C85种;第二类,买4本2元的和2本1元的有C84×C32种.故共有C85+C84×C32=266种不同的买法种数.17.2017·东北三校联考在平面直角坐标系内,点Pa,b的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为______.答案 20解析 依题意可知当a=1时,b=5,6,两种情况;当a=2时,b=5,6,两种情况;当a=3时,b=4,5,6,三种情况;当a=4时,b=3,5,6,三种情况;当a=5或6时,b各有五种情况.所以共有2+2+3+3+5+5=20种情况.18.标号为A,B,C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C袋中有3个不同的黄色小球,现从中取出2个小球.1若取出的两个球颜色不同,有多少种取法?2若取出的两个球颜色相同,有多少种取法?答案 111 24解析 1若两个球颜色不同,则应在A,B袋中各取一个或A,C袋中各取一个,或B,C袋中各取一个.∴应有1×2+1×3+2×3=11种.2若两个球颜色相同,则应在B或C袋中取出2个.∴应有1+3=4种.19.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是多少?答案 36个解析 设较小的两边长为x、y且x≤y,则当x=1时,y=11;当x=2时,y=10,11;当x=3时,y=9,10,11;当x=4时,y=8,9,10,11;当x=5时,y=7,8,9,10,11;当x=6时,y=6,7,8,9,10,11;当x=7时,y=7,8,9,10,11;……当x=11时,y=
11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36个.1.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2,则称这样的三位数为凸数120,343,275,那么所有凸数的个数为 A.240B.204C.729D.920答案 A解析 当中间数为2时,有1×2=2个;当中间数为3时,有2×3=6个;当中间数为4时,有3×4=12个;当中间数为5时,有4×5=20个;当中间数为6时,有5×6=30个;当中间数为7时,有6×7=42个;当中间数为8时,有7×8=56个;当中间数为9时,有8×9=72个.故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240个凸数.2.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为 A.56B.54C.53D.52答案 D解析 在8个数中任取2个不同的数共有8×7=56个对数值;但在这56个数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即满足条件的对数值共有56-4=52个.3.2017·山东济宁模拟6人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人,则不同的乘车方案数为 A.70B.60C.50D.40答案 C解析 C62+C63+C64=50,故选C.4.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成该集合的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有 A.32个B.34个C.36个D.38个答案 A解析 先把数字分成5组{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成2×2×2×2×2=32个这样的子集.5.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒答案 C解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少,只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍.而所有的闪烁共有A55=120个;因为在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,即每个闪烁的时长为5秒,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒,所以要实现所有不同的闪烁,需要的时间至少是120×5+5-5=1195秒.6.若从集合P到集合Q={a,b,c}所有的不同映射共有81个,则从集合Q到集合P所有的不同映射共有 A.32个B.27个C.81个D.64个答案 D解析 可设P集合中元素的个数为x,由映射的定义以及分步乘法计数原理,可得P→Q的映射种数为3x=81,可得x=
4.反过来,可得Q→P的映射种数为43=
64.
7.2018·山东日照模拟将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为 A.6种B.12种C.18种D.24种答案 A解析 因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后之相邻的空格可填6,7,8任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果,故选A.8.2018·郑州市市高三第二次质量预测将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为 A.72B.120C.192D.240答案 D解析 将“数字124467”重新排列后所得数字为偶数,则末位数应为偶数,1若末位数字为2,因为含有2个4,所以有=60种情况;2若末位数字为6,同理有=60种情况;3若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以共有5×4×3×2×1=120种情况.综上,共有60+60+120=240种情况.
9.如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种.答案 180解析 按区域分四步第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,C区域有3种颜色可选;第四步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,可得共有5×4×3×3=180种不同的涂色方法.
10.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案共有________种.答案 30解析 由题意知每种颜色涂两个圆,共有5类,每类A33种涂法,所以总数为5A33=
30.注将六圆依次编号
①②③④⑤⑥,可分如下5类
①③,
②⑤,
④⑥,
①④,
②⑤,
③⑥,
①④,
②⑥,
③⑤,
①⑤,
②④,
③⑥,
①⑥,
②④,
③⑤.11.现安排一份5天的工作值班表,每天有一个人值日,共有5个人,每个人都可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,则此值日表共有________种不同的排法.答案 1280解析 完成一件事是安排值日表,因而需一天一天地排,用分步计数原理,分步进行第一天有5种不同排法,第二天不能与第一天已排人的相同,所以有4种不同排法,依次类推,第
三、
四、五天都有4种不同排法,所以共有5×4×4×4×4=1280种不同的排法.。