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第10课时函数与方程1.函数fx=x-的零点个数是 A.0 B.1C.2D.无数个答案 C解析 令fx=0,解x-=0,即x2-4=0,且x≠0,则x=±
2.2.2017·郑州质检函数fx=lnx-的零点的个数是 A.0B.1C.2D.3答案 C解析 y=与y=lnx的图像有两个交点.3.函数fx=1-xlog2x的零点所在的区间是 A.,B.,1C.1,2D.2,3答案 C解析 因为y=与y=log2x的图像只有一个交点,所以fx只有一个零点.又因为f1=1,f2=-1,所以函数fx=1-xlog2x的零点所在的区间是1,2.故选C.4.2018·湖南株洲质检一设数列{an}是等比数列,函数y=x2-x-2的两个零点是a2,a3,则a1a4= A.2B.1C.-1D.-2答案 D解析 因为函数y=x2-x-2的两个零点是a2,a3,所以a2a3=-2,由等比数列性质可知a1a4=a2a3=-
2.故选D.5.若函数fx=2x--a的一个零点在区间1,2内,则实数a的取值范围是 A.1,3B.1,2C.0,3D.0,2答案 C解析 由条件可知f1f20,即2-2-a4-1-a0,即aa-30,解之得0a
3.6.若函数fx=xlnx-a有两个零点,则实数a的取值范围为 A.[0,B.0,C.0,]D.-,0答案 D解析 令gx=xlnx,hx=a,则问题可转化成函数gx与hx的图像有两个交点.g′x=lnx+1,令g′x0,即lnx-1,可解得0x;令g′x0,即lnx-1,可解得x,所以,当0x时,函数gx单调递减;当x时,函数gx单调递增,由此可知当x=时,gxmin=-.在同一坐标系中作出函数gx和hx的简图如图所示,据图可得-a
0.7.2018·衡水中学调研卷方程|x2-2x|=a2+1a0的解的个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B解析 数形结合法∵a0,∴a2+
11.而y=|x2-2x|的图像如图,∴y=|x2-2x|的图像与y=a2+1的图像总有两个交点.8.2017·东城区期末已知x0是函数fx=2x+的一个零点.若x1∈1,x0,x2∈x0,+∞,则 A.fx10,fx20B.fx10,fx20C.fx10,fx20D.fx10,fx20答案 B解析 设gx=,由于函数gx==-在1,+∞上单调递增,函数hx=2x在1,+∞上单调递增,故函数fx=hx+gx在1,+∞上单调递增,所以函数fx在1,+∞上只有唯一的零点x0,且在1,x0上fx10,在x0,+∞上fx20,故选B.9.设方程10x=|lg-x|的两个根分别为x1,x2,则 A.x1x20B.x1x2=1C.x1x21D.0x1x21答案 D解析 作出函数y=10x与y=|lg-x|的图像,如图所示.因为x1,x2是10x=|lg-x|的两个根,则两个函数图像交点的横坐标分别为x1,x2,不妨设x2-1,-1x10,则10x1=-lg-x1,10x2=lg-x2,因此10x2-10x10,所以lgx1x20,即0x1x21,故选D.10.2018·湖北襄阳一中期中已知a是函数fx=2x-logx的零点,若0x0a,则fx0的值满足 A.fx00B.fx0=0C.fx00D.fx0的符号不确定答案 A解析 因为函数fx=2x-logx在0,+∞上是增函数,a是函数fx=2x-logx的零点,即fa=0,所以当0x0a时,fx0fa=
0.故选A.11.已知函数fx=ex+x,gx=lnx+x,hx=lnx-1的零点依次为a,b,c,则 A.abcB.cbaC.cabD.bac答案 A解析 ∵ea=-a,∴a
0.∵lnb=-b,且b0,∴0b
1.∵lnc=1,∴c=e1,故选A.12.若函数y=fxx∈R满足fx+2=fx且x∈[-1,1]时,fx=1-x2,函数gx=则函数hx=fx-gx在区间[-5,5]内的零点的个数为 A.7B.8C.9D.10答案 B解析 当x∈[-1,1]时,y=fx的图像是一段开口向下的抛物线,y=fx的最大值为
1.∵fx+2=fx,∴fx是以2为周期的周期函数.fx和gx在[-5,5]内的图像如图所示,有8个交点,所以函数hx有8个零点.13.函数y=的图像与函数y=2sinπx-2≤x≤4的图像所有交点的横坐标之和等于 A.2B.4C.6D.8答案 D解析 如图,两个函数图像都关于点1,0成中心对称,两个图像在[-2,4]上共8个公共点,每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为
8.14.2018·沧州七校联考给定方程x+sinx-1=0,有下列四个命题p1该方程没有小于0的实数解;p2该方程有有限个实数解;p3该方程在-∞,0内有且只有一个实数解;p4若x0是该方程的实数解,则x0-
1.其中的真命题是 A.p1,p3B.p2,p3C.p1,p4D.p3,p4答案 D解析 由x+sinx-1=0,得sinx=1-x,令fx=sinx,gx=1-x,在同一坐标系中画出两函数的图像如图,由图像知p1错,p3,p4对,而由于gx=1-x递增,小于1,且以直线y=1为渐近线,fx=sinx在-1到1之间振荡,故在区间0,+∞上,两者的图像有无穷多个交点,所以p2错,故选D.15.若函数fx=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.答案 0,1]解析 当x0时,由fx=lnx=0,得x=
1.因为函数fx有两个不同的零点,则当x≤0时,函数fx=2x-a有一个零点.令fx=0,得a=2x.因为02x≤20=1,所以0a≤1,所以实数a的取值范围是0a≤
1.16.已知函数fx=则函数y=ffx+1的所有零点所构成的集合为________.答案 {-3,-,,}解析 由题意知ffx=-1,所以fx=-2或fx=,则函数y=ffx+1的零点就是使fx=-2或fx=的x值.解fx=-2,得x=-3或x=;解fx=,得x=-或x=.从而函数y=ffx+1的零点构成的集合为{-3,-,,}.17.判断函数fx=4x+x2-x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.答案 有一个零点解析 ∵f-1=-4+1+=-0,f1=4+1-=0,∴fx在区间[-1,1]上有零点.又f′x=4+2x-2x2=-2x-2,当-1≤x≤1时,0≤f′x≤,∴fx在[-1,1]上是单调递增函数.∴fx在[-1,1]上有且只有一个零点.18.已知函数fx=4x+m·2x+1仅有一个零点,求m的取值范围,并求出零点.答案 m=-2,零点是x=0解析 方法一令2x=t,则t0,则gt=t2+mt+1=0仅有一正根或两个相等的正根,而g0=10,故∴m=-
2.方法二令2x=t,则t
0.原函数的零点,即方程t2+mt+1=0的根.∴t2+1=-mt.∴-m==t+t0.有一个零点,即方程只有一根.∵t+≥2当且仅当t=即t=1时取等号,又y=t+在0,1上递减,在1,+∞上递增.∴-m=2即m=-2时,只有一根.注方法一侧重二次函数,方法二侧重于分离参数.1.2018·郑州质检[x]表示不超过x的最大整数,例如[
2.9]=2,[-
4.1]=-5,已知fx=x-[x]x∈R,gx=log4x-1,则函数hx=fx-gx的零点个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B解析 作出函数fx与gx的图像如图所示,发现有两个不同的交点,故选B.2.函数fx=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为 A.2B.3C.4D.5答案 D解析 借助余弦函数的图像求解.fx=xcos2x=0⇒x=0或cos2x=0,又cos2x=0在[0,2π]上有,,,,共4个根,故原函数有5个零点.3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为 A.2B.3C.1D.4答案 A解析 构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图像,可知有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数为
2.故选A.4.函数fx=ex+3x的零点个数是 A.0B.1C.2D.3答案 B解析 由已知得f′x=ex+30,所以fx在R上单调递增,又f-1=e-1-30,f1=e+30,因此fx的零点个数是1,故选B.5.设函数fx=x-lnx,则函数y=fx A.在区间,1,1,e内均有零点B.在区间,1,1,e内均无零点C.在区间,1内有零点,在区间1,e内无零点D.在区间,1内无零点,在区间1,e内有零点答案 D解析 方法一令fx=0得x=lnx.作出函数y=x和y=lnx的图像,如图,显然y=fx在,1内无零点,在1,e内有零点,故选D.方法二当x∈,e时,函数图像是连续的,且f′x=-=0,所以函数fx在,e上单调递减.又f=+10,f1=0,fe=e-10,所以函数有唯一的零点在区间1,e内.故选D.6.2014·北京已知函数fx=-log2x.在下列区间中,包含fx零点的区间是 A.0,1B.1,2C.2,4D.4,+∞答案 C解析 因为f1=6-log21=60,f2=3-log22=20,f4=-log24=-0,所以函数fx的零点所在区间为2,4,故选C.7.函数fx=的零点个数为 A.0B.1C.2D.3答案 D解析 依题意,在考虑x0时可以画出y=lnx与y=x2-2x的图像,可知两个函数的图像有两个交点,当x≤0时,函数fx=2x+1与x轴只有一个交点,所以函数fx有3个零点.故选D.8.如果函数fx=ax+ba≠0有一个零点是2,那么函数gx=bx2-ax的零点是________.答案 0,-解析 由已知条件2a+b=0,即b=-2a.gx=-2ax2-ax=-2axx+,则gx的零点是x=0,x=-.9.2018·东营模拟已知[x]表示不超过实数x的最大整数,如[
1.8]=1,[-
1.2]=-
2.x0是函数fx=lnx-的零点,则[x0]等于________.答案 210.2016·山东已知函数fx=其中m
0.若存在实数b,使得关于x的方程fx=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.答案 3,+∞解析 fx=当xm时,fx=x2-2mx+4m=x-m2+4m-m2,其顶点为m,4m-m2;当x≤m时,函数fx的图像与直线x=m的交点为Qm,m.
①当即0m≤3时,函数fx的图像如图1所示,易得直线y=b与函数fx的图像有一个或两个不同的交点,不符合题意;
②当即m3时,函数fx的图像如图2所示,则存在实数b满足4m-m2b≤m,使得直线y=b与函数fx的图像有三个不同的交点,符合题意.综上,m的取值范围为3,+∞.。