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第5课时合情推理与演绎推理1.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一呈现出来的图形是 答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现出来的图形是A.2.如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴,……,则第2016个图形用的火柴根数为 A.2014×2017 B.2015×2016C.2015×2017D.3024×2017答案 D解析 由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×1;第2个图形需要火柴的根数为3×1+2;第3个图形需要火柴的根数为3×1+2+3;……由此,可以推出,第n个图形需要火柴的根数为3×1+2+3+…+n.所以第2016个图形所需火柴的根数为3×1+2+3+…+2016=3×=3024×2017,故选D.3.2018·深圳一摸已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2019= A.3B.-3C.6D.-6答案 A解析 ∵a1=3,a2=6,∴a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,…,∴{an}是以6为周期的周期数列.又2019=6×336+3,∴a2019=a3=
3.选A.4.定义一种运算“*”对于自然数n满足以下运算性质
①1*1=1,
②n+1*1=n*1+1,则n*1等于 A.nB.n+1C.n-1D.n2答案 A解析 由n+1*1=n*1+1,得n*1=n-1*1+1=n-2*1+2=…=1*1+n-1.又∵1*1=1,∴n*1=n.5.2017·邯郸一中月考两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是 窗口12过道345窗口6789101112131415……………A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知,被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号知,只有D项符合条件.6.2017·珠海二模观察x2′=2x,x4′=4x3,cosx′=-sinx,由归纳推理可得若定义在R上的函数fx满足f-x=fx,记gx为fx的导函数,则g-x= A.fxB.-fxC.gxD.-gx答案 D解析 由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当fx是偶函数时,其导函数应为奇函数,故g-x=-gx.7.已知=2,=3,=4,…,=6a,b均为实数,则可推测a,b的值分别为 A.6,35B.6,17C.5,24D.5,35答案 A解析 观察发现规律即可得出a=6,b=35,故选A.8.2018·安徽合肥二模有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测4号或5号选手得第一名;观众乙猜测3号选手不可能得第一名;观众丙猜测1,2,6号选手中的一位得第一名;观众丁猜测4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是 A.甲B.乙C.丙D.丁答案 D解析 根据题意,6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表1号2号3号4号5号6号甲不可能不可能不可能可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知,若甲猜对,则4号或5号选手得第一名,那么乙也猜对了,不符合题意,所以甲没有猜对,得第一名的是1,2,3或6号.若乙猜对,则1,2或6号得第一名,那么丙也猜对了,所以乙没有猜对,所以得第一名的是3号,所以丙也没有猜对,只有丁猜对了比赛结果,故选D.9.2018·广东江门月考已知an=2n-1n∈N*,把数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵,记Sm,n表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数,则S8,6= 13 57 9 1113 15 17 19… …A.67B.69C.73D.75答案 A解析 由数阵可知,S8,6是数阵中第1+2+3+…7+6=34个数,也是数列{an}中的第34项,而a34=2×34-1=67,所以S8,6=
67.故选A.10.已知a,b,c是△ABC的内角A,B,C对应的三边,若满足a2+b2=c2,即2+2=1,则△ABC为直角三角形,类比此结论可知,若满足an+bn=cnn∈N,n≥3,则△ABC的形状为 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能答案 A解析 由题意知角C最大,an+bn=cnn∈N,n≥3即n+n=1n∈N,n≥3,又ca,cb,所以2+2n+n=1,即a2+b2c2,所以cosC=0,所以0C,故△ABC为锐角三角形.11.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子.甲由“若三角形周长为l,面积为S,则其内切圆半径r=”,类比可得“若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径r=”;乙由“若直角三角形两直角边长分别为a,b,则其外接圆半径r=”,类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为a,b,c,则其外接球半径r=”.这两位同学类比得出的结论是 A.两人都对B.甲错、乙对C.甲对、乙错D.两人都错答案 C解析 利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的;把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体,则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径,可求得其半径r=,因此乙同学类比推理的结论是错误的,故选C.12.2017·西安八校联考观察一列算式1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…,则式子3⊗5是第 A.22项B.23项C.24项D.25项答案 C解析 两数和为2的有1个,和为3的有2个,和为4的有3个,和为5的有4个,和为6的有5个,和为7的有6个,前面共有21个,3⊗5是和为8的第3项,所以是第24项.故选C.13.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解x,y的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解x,y的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解x,y的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解x,y的个数为 A.76B.80C.86D.92答案 B解析 由|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|y|=n的不同整数解的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解的个数为
80.故选B.14.2017·青岛一质检中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是,则8335用算筹可表示为 答案 B解析 由题意得千位和十位用横式表示,百位和个数用纵式表示,所以千位的8表示为,百位的3表示为,十位的3表示为,个位的5表示为,故选B.15.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设确定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}i=0,1,2,传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为111,则传输信息为
01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是 A.11010B.01100C.10111D.00011答案 C解析 对于选项C,传输信息是10111,对应的原信息是011,由题目中运算规则知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是
10110.16.2018·河北冀州中学期末如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}n∈N*的前12项,如下表所示a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去,则a2017= A.502B.503C.504D.505答案 D解析 由a1,a3,a5,a7,…组成的数列恰好对应数列{xn},即xn=a2n-1,当n为奇数时,xn=.所以a2017=x1009=
505.17.2018·太原模拟有一个游戏将标有数字
1、
2、
3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人,每人一张,并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测甲说乙或丙拿到标有3的卡片;乙说甲或丙拿到标有2的卡片;丙说标有1的卡片在甲手中;丁说甲拿到标有3的卡片.结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确,那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______.答案
4、
2、
1、3解析 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片,由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片,由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片,故丙拿到标有1的卡片,即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为
4、
2、
1、
3.18.顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交给顾客.两件原料每道工序所需时间单位工作日如下 工序时间原料 粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________个工作日.答案 42解析 最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.19.名师原创将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种,其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3×4为12的最佳分解.当p×qp≤q且p,q∈N*是正整数n的最佳分解时,我们规定函数fn=,例如f12=.关于函数fn有下列叙述
①f7=;
②f24=;
③f28=;
④f144=,其中所有正确的序号为________.答案
①③解析 利用题干中提供的新定义信息可得,对于
①∵7=1×7,∴f7=,
①正确;对于
②,∵24=1×24=2×12=3×8=4×6,∴f24==,
②不正确;对于
③,∵28=1×28=2×14=4×7,∴f28=,
③正确;对于
④,∵144=1×144=2×72=3×48=4×36=6×24=8×18=9×16=12×12,∴f144==1,
④不正确.1.观察下列各式a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10= A.28B.76C.123D.199答案 C解析 记an+bn=fn,则f3=f1+f2=1+3=4;f4=f2+f3=3+4=7;f5=f3+f4=
11.通过观察不难发现fn=fn-1+fn-2n∈N*,n≥3,则f6=f4+f5=18;f7=f5+f6=29;f8=f6+f7=47;f9=f7+f8=76;f10=f8+f9=
123.所以a10+b10=
123.2.观察图中各正方形图案,每条边上有nn≥2个圆点,第n个图案中圆点的个数是an,按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为 A.Sn=2n2-2nB.Sn=2n2C.Sn=4n2-3nD.Sn=2n2+2n答案 A解析 事实上由合情推理的本质由特殊到一般,当n=2时,有S2=4,分别代入即可排除B、C、D三项,从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4,公差为4的等差数列,因此所有圆点总和即为等差数列前n-1项和,即Sn=n-1×4+×4=2n2-2n.3.观察下列各式55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为 A.3125B.5625C.0625D.8125答案 D解析 ∵55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,…,∴5nn∈Z,且n≥5的末四位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记5nn∈Z,且n≥5的末四位数字为fn,则f2011=f501×4+7=f7,∴52011与57的末四位数字相同,均为
8125.故选D.4.2018·辽宁丹东联考已知“整数对”按如下规律排列1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,…,则第70个“整数对”为 A.3,9B.4,8C.3,10D.4,9答案 D解析 因为1+2+…+11=66,所以第67个“整数对”是1,12,第68个“整数对”是2,11,第69个“整数对”是3,10,第70个“整数对”是4,9.故选D.5.观察下图中图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为 答案 A解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列,规律是每一行中只有一个图形是空心的,其他两个都是填充颜色的,第三行中已经有正三角形是空心的了,因此另外一个应该是阴影矩形.6.2015·山东观察下列各式C10=40;C30+C31=41;C50+C51+C52=42;C70+C71+C72+C73=43;……照此规律,当n∈N*时,C2n-10+C2n-11+C2n-12+…+C2n-1n-1=________.答案 4n-1解析 由题知C2n-10+C2n-11+C2n-12+…+C2n-1n-1=4n-
1.7.已知数列{an}为等差数列,则有等式a1-2a2+a3=0,a1-3a2+3a3-a4=0,a1-4a2+6a3-4a4+a5=
0.1若数列{an}为等比数列,通过类比,则有等式______;2通过归纳,试写出等差数列{an}的前n+1项a1,a2,…,an,an+1之间的关系为________.答案 1a1a2-2a3=1,a1a2-3a33a4-1=1,a1a2-4a36a4-4a5=12Cn0a1-Cn1a2+Cn2a3-…+-1nCnnan+1=0解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算,后者是乘法运算,所以类比规律是由低一级运算转化到高一级运算,从而解出第1问;通过观察发现,已知等式的系数与二项式系数相同,解出第2问.8.对∀a,b∈R,定义运算a⊕b=a⊗b=则下列判断正确的是________.
①2015⊕2014⊗2015=2014;
②a⊕a⊗a=0;
③a⊕b⊗a=a⊕b⊗a.答案
②解析 对于
①,由定义的运算可知,2014⊗2015=2015-2014=1,故2015⊕2014⊗2015=2015⊕1=2015,故
①错误.对于
②,因为a⊕a=a,故a⊕a⊗a=a⊗a=a-a=0,故
②正确.由于
③,当a≥b时,a⊕b=a,故a⊕b⊗a=a⊗a=0,而b⊗a=a-b,故a⊕b⊗a=a⊕a-b.显然,若b≥0,则a≥a-b,所以a⊕a-b=a,若b0,则aa-b,所以a⊕a-b=a-b.故a⊕b⊗a≠a⊕b⊗a.故
③错误.9.2015·福建一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xnn∈N*,其中xkk=1,2,…,n称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误即码元由0变为1,或者由1变为0.已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组其中运算⊕定义为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=
0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于________.答案 5解析 由题意得相同的数字运算后结果为0,不同的数字运算后结果为
1.若后四位码元为1101,根据定义的运算,则有x4⊕x5=1⊕1=0,x4⊕x5⊕x6=0⊕0=0,x4⊕x5⊕x6⊕x7=0⊕1=1,显然不符合方程x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,所以后四位码元出错.同理,第2,3,6,7位码元依次为
1001.假设这四位都正确,则x2⊕x3=1⊕0=1,所以x2⊕x3⊕x6=1⊕0=1,所以x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕1=0,显然满足校验方程组,所以这四位码元正确.故最后两位码元正确,出错的码元只能是第四位或第五位.同理,第1,3,5,7位的码元依次为1011,所以x1⊕x3=1⊕0=1,x1⊕x3⊕x5=1⊕1=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0⊕1=1,显然不满足校验方程组.所以出错的码元是第5位,即k=
5.10.2014·陕西理观察分析下表中的数据多面体面数F顶点数V棱数E三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是________.答案 F+V-E=2解析 三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=
2.11.分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图.易知第三行有白圈5个,黑圈4个,我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数.比如第一行记为1,0,第二行记为2,1,第三行记为5,4.1第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________;2照此规律,第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为________.答案 114,13 2,n∈N*解析 1从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈,一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈,因此第4行的白圈个数为5×2+4×1=14,黑圈个数为5×1+4×2=13,所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为14,13.2第n行中的白圈和黑圈总数为3n-1个,设“坐标”为an,3n-1-an,则第n+1行中的白圈和黑圈总数为3n个,设“坐标”为an+1,3n-an+1=an+3n-1,2×3n-1-an,即a1=1,an+1=an+3n-1⇒an=,从而得到第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为,n∈N*.12.2017·北京,文某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件1男学生人数多于女学生人数;2女学生人数多于教师人数;3教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________.
②该小组人数的最小值为________.答案
①6
②12解析 令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且xyz,
①若教师人数为4,则4yx8,当x=7时,y取得最大值
6.
②当z=1时,1=zyx2,不满足条件;当z=2时,2=zyx4,不满足条件;当z=3时,3=zyx6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=
12.13.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.答案 1 2sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=解析 方法一1选择
②式,计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.方法二1同解法一.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=+-sinα·cos30°cosα+sin30°sinα=-cos2α++cos60°cos2α+sin60°sin2α-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+·sin2α-sin2α-1-cos2α=1-cos2α-+cos2α=.。