2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第6课时直接证明与间接证明练习理

第6课时直接证明与间接证明1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证a”“索”的“因”应是　　A．a－b0　　　　　　　B．a－c0C．a－ba－c0D．a－ba－c0答案　C解析　a⇔b2－ac3a2⇔a＋c2－ac3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a20⇔－2a2＋ac＋c20⇔2a2－ac－c20⇔a－c2a＋c0⇔a－ca－b

0.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明　　A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．a2－1b2－1≥0答案　D3．下列不等式不成立的是　　A.ln2B.＋12C．233322D．sin1cos1答案　B4．若实数a，b满足a＋b0，则　　A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于0答案　D解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于

0.5．若P＝＋，Q＝＋a≥0，则P，Q的大小关系是　　A．PQB．P＝QC．PQD．由a的取值确定答案　C解析　要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，只要比较与的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵012，∴PQ.6．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是　　A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案　B解析　注意到“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.7．若a0，b0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是　　A．a2＋b2≥B．ab≤C.＋≥4D.＋≤1答案　D解析　a2＋b2＝a＋b2－2ab＝1－2ab≥1－2·2＝，∴A成立；ab≤2＝，∴B成立；＋＝＝≥＝4，∴C成立；＋2＝a＋b＋2＝1＋21，∴＋1，故D不成立．8．2018·广东模拟设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数　　A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2答案　C解析　假设a，b，c三个数都小于

2.则6a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，即66，矛盾．所以a，b，c三个数中至少有一个不小于

2.9．设a0，b0，求证lg1＋≤[lg1＋a＋lg1＋b]．答案　略证明　要证lg1＋≤[lg1＋a＋lg1＋b]，只需证1＋≤，即证1＋2≤1＋a1＋b，即证2≤a＋b，而2≤a＋b成立，∴lg1＋≤[lg1＋a＋lg1＋b]．10．2017·江苏盐城一模已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证＋＋≥

1.答案　略解析　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2x1＋x2＋x3＝2，∴＋＋≥

1.11．1设x是正实数，求证x＋1x2＋1x3＋1≥8x

3.2若x∈R，不等式x＋1x2＋1x3＋1≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．答案　1略　2成立，证明略解析　1证明x是正实数，由均值不等式，得x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥

2.故x＋1x2＋1x3＋1≥2·2x·2＝8x3当且仅当x＝1时等号成立．2解若x∈R，不等式x＋1x2＋1x3＋1≥8x3仍然成立．由1知，当x0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0，而x＋1x2＋1x3＋1＝x＋12x2＋1x2－x＋1＝x＋12x2＋1[x－2＋]≥0，此时不等式仍然成立．12．2017·湖北武汉调研已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝

64.1求数列{an}的通项公式；2求证＋n≥2，n∈N*．答案　1an＝2n－1　2略解析　1设等差数列{an}的公差为d，则解得a1＝1，d＝

2.故所求的通项公式为an＝2n－

1.2证明由1可知Sn＝n2，要证原不等式成立，只需证＋，只需证[n＋12＋n－12]n22n2－

12.只需证n2＋1n2n2－

12.只需证3n

21.而3n21在n≥1时恒成立，从而不等式＋n≥2，n∈N*恒成立．13．2015·湖南，理设a0，b0，且a＋b＝＋.证明1a＋b≥2；2a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．答案　1略　2略解析　由a＋b＝＋＝，a0，b0，得ab＝

1.1由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥

2.2假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．14．已知函数fx＝＋，曲线y＝fx在点1，f1处的切线方程为x＋2y－3＝

0.1求a，b的值；2证明当x0，且x≠1时，fx.答案　1a＝1，b＝1　2略解析　1f′x＝－.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点1，1，故即解得a＝1，b＝

1.2由1知fx＝＋，所以fx－＝2lnx－．考虑函数hx＝2lnx－x0，则h′x＝－＝－.所以当x≠1时，h′x

0.而h1＝0，故当x∈0，1时，hx0，可得hx0；当x∈1，＋∞时，hx0，可得hx

0.从而当x0，且x≠1时，fx－0，即fx.1．2017·安徽毛坦厂中学月考若a，b，c是不全相等的实数，求证a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.证明过程如下因为a，b，c∈R，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又因为a，b，c不全相等，所以以上三式至少有一个等号不成立，所以将以上三式相加得2a2＋b2＋c22ab＋bc＋ac，所以a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.此证法是　　A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案　B解析　由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．故选B.2．已知M＝－1，1，求证当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.答案　略证明　∵a，b∈M，即－1a1，－1b

1.∴要证|a＋b||1＋ab|，只需证|a＋b|2|1＋ab|2即证a2＋b21＋a2b2，只需证1－a2－b2＋a2b20即证1－a21－b20，∵－1a1，－1b1，∴a21，b21即1－a20，1－b20，∴1－a2·1－b20∴原不等式成立．3．设数列{an}满足a1＝0且－＝

1.1求{an}的通项公式；2设bn＝，记Sn＝k，证明Sn

1.答案　1an＝1－　2略解析　1由题设－＝1，得{}是公差为1的等差数列．又＝1，故＝n.所以an＝1－.2由1得bn＝＝＝－，。