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第6课时直接证明与间接证明1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证a”“索”的“因”应是 A.a-b0 B.a-c0C.a-ba-c0D.a-ba-c0答案 C解析 a⇔b2-ac3a2⇔a+c2-ac3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a20⇔-2a2+ac+c20⇔2a2-ac-c20⇔a-c2a+c0⇔a-ca-b
0.2.要证a2+b2-1-a2b2≤0只要证明 A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0D.a2-1b2-1≥0答案 D3.下列不等式不成立的是 A.ln2B.+12C.233322D.sin1cos1答案 B4.若实数a,b满足a+b0,则 A.a,b都小于0B.a,b都大于0C.a,b中至少有一个大于0D.a,b中至少有一个小于0答案 D解析 假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于
0.5.若P=+,Q=+a≥0,则P,Q的大小关系是 A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定答案 C解析 要比较P,Q的大小关系,只要比较P2,Q2的大小关系,只要比较2a+7+2与2a+7+2的大小,只要比较与的大小,即比较a2+7a与a2+7a+12的大小,只要比较0与12的大小,∵012,∴PQ.6.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是 A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 B解析 注意到“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.7.若a0,b0,a+b=1,则下列不等式不成立的是 A.a2+b2≥B.ab≤C.+≥4D.+≤1答案 D解析 a2+b2=a+b2-2ab=1-2ab≥1-2·2=,∴A成立;ab≤2=,∴B成立;+==≥=4,∴C成立;+2=a+b+2=1+21,∴+1,故D不成立.8.2018·广东模拟设x,y,z∈R+,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数 A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2答案 C解析 假设a,b,c三个数都小于
2.则6a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,即66,矛盾.所以a,b,c三个数中至少有一个不小于
2.9.设a0,b0,求证lg1+≤[lg1+a+lg1+b].答案 略证明 要证lg1+≤[lg1+a+lg1+b],只需证1+≤,即证1+2≤1+a1+b,即证2≤a+b,而2≤a+b成立,∴lg1+≤[lg1+a+lg1+b].10.2017·江苏盐城一模已知x1,x2,x3为正实数,若x1+x2+x3=1,求证++≥
1.答案 略解析 ∵+x1++x2++x3≥2+2+2=2x1+x2+x3=2,∴++≥
1.11.1设x是正实数,求证x+1x2+1x3+1≥8x
3.2若x∈R,不等式x+1x2+1x3+1≥8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.答案 1略 2成立,证明略解析 1证明x是正实数,由均值不等式,得x+1≥2,x2+1≥2x,x3+1≥
2.故x+1x2+1x3+1≥2·2x·2=8x3当且仅当x=1时等号成立.2解若x∈R,不等式x+1x2+1x3+1≥8x3仍然成立.由1知,当x0时,不等式成立;当x≤0时,8x3≤0,而x+1x2+1x3+1=x+12x2+1x2-x+1=x+12x2+1[x-2+]≥0,此时不等式仍然成立.12.2017·湖北武汉调研已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,S8=
64.1求数列{an}的通项公式;2求证+n≥2,n∈N*.答案 1an=2n-1 2略解析 1设等差数列{an}的公差为d,则解得a1=1,d=
2.故所求的通项公式为an=2n-
1.2证明由1可知Sn=n2,要证原不等式成立,只需证+,只需证[n+12+n-12]n22n2-
12.只需证n2+1n2n2-
12.只需证3n
21.而3n21在n≥1时恒成立,从而不等式+n≥2,n∈N*恒成立.13.2015·湖南,理设a0,b0,且a+b=+.证明1a+b≥2;2a2+a2与b2+b2不可能同时成立.答案 1略 2略解析 由a+b=+=,a0,b0,得ab=
1.1由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥
2.2假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a2及a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.14.已知函数fx=+,曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为x+2y-3=
0.1求a,b的值;2证明当x0,且x≠1时,fx.答案 1a=1,b=1 2略解析 1f′x=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点1,1,故即解得a=1,b=
1.2由1知fx=+,所以fx-=2lnx-.考虑函数hx=2lnx-x0,则h′x=-=-.所以当x≠1时,h′x
0.而h1=0,故当x∈0,1时,hx0,可得hx0;当x∈1,+∞时,hx0,可得hx
0.从而当x0,且x≠1时,fx-0,即fx.1.2017·安徽毛坦厂中学月考若a,b,c是不全相等的实数,求证a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2a2+b2+c22ab+bc+ac,所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是 A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法答案 B解析 由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.故选B.2.已知M=-1,1,求证当a,b∈M时,|a+b||1+ab|.答案 略证明 ∵a,b∈M,即-1a1,-1b
1.∴要证|a+b||1+ab|,只需证|a+b|2|1+ab|2即证a2+b21+a2b2,只需证1-a2-b2+a2b20即证1-a21-b20,∵-1a1,-1b1,∴a21,b21即1-a20,1-b20,∴1-a2·1-b20∴原不等式成立.3.设数列{an}满足a1=0且-=
1.1求{an}的通项公式;2设bn=,记Sn=k,证明Sn
1.答案 1an=1- 2略解析 1由题设-=1,得{}是公差为1的等差数列.又=1,故=n.所以an=1-.2由1得bn===-,。