还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第5课时直线、平面垂直的判定及性质1.2018·广东清远一中月考已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题
①α⊥β⇒l∥m;
②α∥β⇒l⊥m;
③l⊥m⇒α∥β;
④l∥m⇒α⊥β,其中正确命题的序号是 A.
①②③ B.
②③④C.
①③D.
②④答案 D解析
①中l与m可能相交、平行或异面;
②中结论正确;
③中两平面α,β可能平行,也可能相交;
④中结论正确.2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分不必要条件是 A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α答案 C解析 对于C,在平面α内存在c∥b,因为a⊥α,所以a⊥c,故a⊥b;A,B中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D中一定推出a∥b.3.2018·江西南昌模拟如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在 A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案 A解析 由AB⊥AC,BD⊥AC,又AB∩BD=B,则AC⊥平面ABD,而AC⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD,因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上,故选A.4.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊂α,b⊂β,且α⊥β”的平面α,β A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对答案 D解析 过直线a的平面α有无数个,当平面α与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面β与α垂直,当平面α与b相交时,过交点作平面α的垂线,此垂线与b确定的平面β与α垂直.故选D.5.2018·保定模拟如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是 A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC答案 D解析 因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.
6.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系中不正确的是 A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC答案 C解析 AB为直径,C为圆上异于A,B的一点,所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,从而PC⊥BC.故选C.7.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是 A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE答案 C解析 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.8.2017·沧州七校联考如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是 A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD答案 D解析 A中,∵CD∥AF,AF⊂面PAF,CD⊄面PAF,∴CD∥平面PAF成立;B中,∵ABCDEF为正六边形,∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF,∴DF⊥平面PAF成立;C中,CF∥AB,AB⊂平面PAB,CF⊄平面PAB,∴CF∥平面PAB;而D中CF与AD不垂直,故选D.9.2018·重庆秀山高级中学期中如图,点E为矩形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,则下列说法中正确的有
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC;
②平面SBC内存在直线与SA平行;
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行;
④存在点E使得SE⊥BA.A.1个B.2个C.3个D.4个答案 A解析
①若直线SA⊥平面SBC,则SA⊥SC,又SA⊥SE,SE∩SC=S,∴SA⊥平面SEC,又平面SEC∩平面SBC=SC,∴点S,E,B,C共面,与已知矛盾,故
①错误;
②∵平面SBC∩直线SA=S,故平面SBC内的直线与SA相交或异面,故
②错误;
③在平面ABCD内作CF∥AE,交AB于点F,由线面平行的判定定理,可得CF∥平面SAE,故
③正确;
④若SE⊥BA,过点S作SF⊥AE于点F,∵平面SAE⊥平面ABCE,平面SAE∩平面ABCE=AE,∴SF⊥平面ABCE,∴SF⊥AB,又SF∩SE=S,∴AB⊥平面SEC,∴AB⊥AE,与∠BAE是锐角矛盾,故
④错误.10.2016·课标全国Ⅱα,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.填写所有正确命题的编号.答案
②③④解析 对于命题
①,可运用长方体举反例证明其错误如图,不妨设AA′为直线m,CD为直线n,ABCD所在的平面为α,ABC′D′所在的平面为β,显然这些直线和平面满足题目条件,但α⊥β不成立.命题
②正确,证明如下设过直线n的某平面与平面α相交于直线l,则l∥n,由m⊥α知m⊥l,从而m⊥n,结论正确.由平面与平面平行的定义知命题
③正确.由平行的传递性及线面角的定义知命题
④正确.
11.2017·泉州模拟点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题
①三棱锥A-D1PC的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③DB⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD
1.其中正确的命题序号是________.答案
①②④解析 对于
①,VA-D1PC=VP-AD1C点P到面AD1C的距离,即为线BC1与面AD1C的距离,为定值故
①正确,对于
②,因为面A1C1B∥面AD1C,所以线A1P∥面AD1C,故
②正确,对于
③,DB与BC1就成60°角,故
③错.对于
④,由于B1D⊥面ACD1,所以面B1DP⊥面ACD1,故
④正确.12.2018·山西太原一模已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三棱锥D-ABC的体积取最大值时,其外接球的体积为________.答案 π解析 当平面DAC⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积取最大值.此时易知BC⊥平面DAC,∴BC⊥AD,又AD⊥DC,∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BD,取AB的中点O,易得OA=OB=OC=OD=1,故O为所求外接球的球心,故半径r=1,体积V=πr3=π.13.2018·辽宁大连双基测试如图所示,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE⊥DB交DB于E,AF⊥DC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为________.答案 解析 因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC,又BC⊥AC,DA∩AC=A,所以BC⊥平面ADC,所以BC⊥AF,又AF⊥CD,BC∩CD=C,所以AF⊥平面DCB,所以AF⊥EF,AF⊥DB,又DB⊥AE,AE∩AF=A,所以DB⊥平面AEF,所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高,所以AE=,设AF=a,FE=b,则△AEF的面积S=ab≤·=×=,所以三棱锥D-AEF的体积V≤××=当且仅当a=b=1时等号成立.14.2018·湖北宜昌模拟在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,E,F,M分别为A1C1,AB1,BC的中点.1求证EF∥平面BB1C1C;2求证EF⊥平面AB1M.答案 1略 2略证明 1连接A1B,BC
1.因为E,F分别为A1C1,AB1的中点,所以F为A1B的中点.所以EF∥BC
1.因为BC1⊂平面BB1C1C,EF⊄平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.2在矩形BCC1B1,BC=BB1,所以tan∠CBC1=,tan∠B1MB=.所以tan∠CBC1·tan∠B1MB=
1.所以∠CBC1+∠B1MB=.所以BC1⊥B1M.因为EF∥BC1,所以EF⊥B1M.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥平面BB1C1C.因为M为BC的中点,AB=AC,所以AM⊥BC.因为平面ABC∩平面BB1C1C=BC,所以AM⊥平面BB1C1C.因为BC1⊂平面BB1C1C,所以AM⊥BC1因为EF∥BC1,所以EF⊥AM.又因为AM∩B1M=M,AM⊂平面AB1M,B1M⊂平面AB1M,所以EF⊥平面AB1M.15.2018·广东惠州模拟如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2,N为线段PB的中点.1证明NE⊥PD;2求三棱锥E-PBC的体积.答案 1略 2解析 1证明连接AC,与BD交于点F,连接NF,则F为BD的中点.∴NF∥PD,且NF=PD.又EC∥PD且EC=PD,∴NF∥EC且NF=EC.∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC,即NE∥AC.又∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD.∵NE∥AC,∴NE⊥PD.2解∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDCE,∴平面PDCE⊥平面ABCD.∵BC⊥CD,平面PDCE∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面PDCE.∴三棱锥E-PBC的体积VE-PBC=VB-PEC=S△PEC·BC=××1×2×2=.16.2018·安徽马鞍山一模如图
①,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,BC∥AD,AD=2AB=4,BC=3,E为AD的中点,EF⊥BC,垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起,连接AD,AC,BC,得到如图
②所示的六面体ABCDEF.若折起后AB的中点M到点D的距离为
3.1求证平面ABFE⊥平面CDEF;2求六面体ABCDEF的体积.答案 1略 2解析 1如图,取EF的中点N,连接MN,DN,MD.根据题意可知,四边形ABFE是边长为2的正方形,∴MN⊥EF.由题意,得DN==,MD=3,∴MN2+DN2=22+2=9=MD2,∴MN⊥DN,∵EF∩DN=N,∴MN⊥平面CDEF.又MN⊂平面ABFE,∴平面ABFE⊥平面CDEF.2连接CE,则V六面体ABCDEF=V四棱锥C-ABFE+V三棱锥A-CDE.由1的结论及CF⊥EF,AE⊥EF得,CF⊥平面ABFE,AE⊥平面CDEF,∴V四棱锥C-ABFE=·S正方形ABFE·CF=,V三棱锥A-CDE=·S△CDE·AE=,∴V六面体ABCDEF=+=.17.2018·潍坊质检直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=
2.1求证AC⊥平面BB1C1C;2在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行?证明你的结论.答案 1略2P为A1B1的中点时,DP与平面BCB1和平面ACB1都平行.解析 1∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,∴AC=,∠CAB=45°.∴BC=.∵BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC.又BB1∩BC=B,BB1⊂平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.2存在点P,P为A1B1的中点.由P为A1B1的中点,有PB1∥AB,且PB1=AB.又∵DC∥AB,DC=AB,∴DC∥PB1,且DC=PB
1.∴DCB1P为平行四边形,从而CB1∥DP.又CB1⊂平面ACB1,DP⊄平面ACB1,∴DP∥平面ACB
1.同理,DP∥平面BCB
1.1.2017·温州模拟正方体ABCD-A′B′C′D′中,E为A′C′的中点,则直线CE垂直于 A.A′C′B.BDC.A′D′D.AA′答案 B解析 连接B′D′,∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E,∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.2.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是 A.A′C⊥BDB.∠BA′C=90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′-BCD的体积为答案 B解析 取BD的中点O,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,∴A′O⊥平面BCD.∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD,假设A′C⊥BD,∵OC为A′C在平面BCD内的射影,∴OC⊥BD,矛盾,∴A′C不垂直于BD.A错误;∵CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,∴CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD内的射影为A′D,∵A′B=A′D=1,BD=,∴A′B⊥A′D,∴A′B⊥A′C,B正确;∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,C错误;VA′-BCD=S△A′BD·CD=,D错误,故选B.3.2018·四川成都检测如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC上端点除外一动点,现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是 A.,2B.,1C.,2D.,1答案 B解析 当点F与点E无限接近时,不妨令二者重合,可得t=1,当点C与点F无限接近时,不妨令二者重合,此时有CD=2,∵CB⊥AB,CB⊥DK,∴CB⊥平面ADB,即有CB⊥BD,对于CD=2,BC=1,在直角三角形CBD中,得BD=,又AD=1,AB=2,由勾股定理可得∠BDA是直角,∴AD⊥BD.由DK⊥AB,可得△ADB∽△AKD,可得t=,∴t的取值范围是,1,故选B.4.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.1求证MN⊥CD;2若∠PDA=45°,求证MN⊥平面PCD.答案 1略 2略证明 1连接AC,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,在Rt△PAC中,N为PC中点.∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形.又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又AB∥CD,∴MN⊥CD.2∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵ABCD为矩形,∴AD=BC,∴PA=BC.又∵M为AB的中点,∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM,又N为PC的中点,∴MN⊥PC.由1知MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.5.2018·四川成都一诊如图
①,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,点G,R分别在线段DH,HB上,且=.将△AED,△CFD,△BEF分别沿DE,DF,EF折起,使点A,B,C重合于点P,如图
②所示.1求证GR⊥平面PEF;2若正方形ABCD的边长为4,求三棱锥P-DEF的内切球的半径.答案 1略 2解析 1依题意,得在三棱锥P-DEF中,PE,PF,PD两两垂直.∴PD⊥平面PEF.∵=,即=,∴在△PDH中,GR∥PD.∴GR⊥平面PEF.2由题意知,PE=PF=2,PD=4,EF=2,DF=
2.∴S△PEF=2,S△DPF=S△DPE=4,S△DEF=×2×=
6.设三棱锥P-DEF的内切球的半径为r,则三棱锥的体积VP-DEF=VD-PEF=××2×2×4=S△PEF+2S△DPF+S△DEF·r,解得r=.∴三棱锥P-DEF的内切球的半径为.6.2018·河南郑州一中月考如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.1求证B1D1∥平面A1BD;2求证MD⊥AC;3试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.答案 1略 2略 3略解析 1由ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,得BB1∥DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD.又BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.2因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.因为BD⊥AC,且BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D,所以MD⊥AC.2当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于点O,连接BN,OM,如图.因为N是DC的中点,BD=BC,所以BN⊥DC.因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1,所以BN⊥平面DCC1D
1.易得O是NN1的中点,所以BM∥ON且BM=ON,所以四边形BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM⊂平面DMC1,所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.。