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第6课时空间向量及运算1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是 A. B.C.D.或答案 C解析 根据题意得=a-b,∴,a,b共面.2.有4个命题
①若p=xa+yb,则p与a,b共面;
②若p与a,b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y,则P,M,A,B共面;
④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B解析
①正确,
②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.
③正确.
④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.3.从点A2,-1,7沿向量a=8,9,-12的方向取线段长|AB|=34,则B点坐标为 A.18,17,-17B.-14,-19,17C.6,,1D.-2,-,13答案 A解析 设B点坐标为x,y,z,则=λaλ0,即x-2,y+1,z-7=λ8,9,-12.由||=34,即=34,得λ=
2.∴x=18,y=17,z=-
17.4.2018·吉林一中模拟如图,空间四边形ABCD中,若向量=-3,5,2,=-7,-1,-4,点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为 A.2,3,3B.-2,-3,-3C.5,-2,1D.-5,2,-1答案 B解析 取AC中点M,连接ME,MF,==-,,1,==-,-,-2,而=-=-2,-3,-3,故选B.5.2017·上海奉贤二模已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是 A.·B.·C.·D.·答案 D解析 当侧面BCC1B1是正方形时可得·=0,所以排除A.当底面ABCD是正方形时AC垂直于对角面BD1,所以排除B,显然也排除C.由题图可得BD1与BC所成的角小于90°.故选D.6.已知两个非零向量a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3,它们平行的充要条件是 A.=B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1·b1+a2·b2+a3·b3=0D.存在非零实数k,使a=kb答案 D解析 应选D,首先排除B,C项表示a⊥b,A项表示与a,b分别平行的单位向量,但两向量方向相反也叫平行.7.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且=,N为B1B的中点,则||为 A.aB.aC.aD.a答案 A解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则Aa,0,0,C10,a,a,Na,a,,设Mx,y,z.∵点M在AC1上且=,∴x-a,y,z=-x,a-y,a-z.∴x=a,y=,z=.∴||==a.
8.2018·湖南师大附中一模如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,则异面直线AB1和A1C所成角的余弦值为 A.B.-C.D.-答案 A解析 如图所示,以A为坐标原点,在平面ABC内过点A作AC的垂线,以此为x轴,以AC所在直线为y轴,以AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长为2,则A0,0,0,B1,1,2,A10,0,2,C0,2,0,=,1,2,=0,2,-2.设异面直线AB1和A1C所成的角为θ,则cosθ===.∴异面直线AB1和A1C所成角的余弦值为.故选A.9.2018·东营质检已知A1,0,0,B0,-1,1,+λ与的夹角为120°,则λ的值为 A.±B.C.-D.±答案 C解析 +λ=1,-λ,λ,cos120°==-,得λ=±.经检验λ=不合题意,舍去,∴λ=-.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为 A.B.C.D.答案 B解析 ∵==++,=+,∴·=++·+=·+·+2+·+·+2=2+4=
3.而||==,||=,∴cos〈,〉==.故选B.
11.2017·云南昆明一模一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形,若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,则第五个顶点的坐标为 A.1,1,1B.1,1,C.1,1,D.2,2,答案 C12.易错题已知A1,1,-1,B2,3,1,则与平行且模为1的向量是________.答案 ,,或-,-,-解析 =1,2,2,||=3,所以与平行且模为1的向量是=,,,或-=-,-,-.13.已知a=2,4,x,b=2,y,2,且|a|=6,a⊥b,则x+y的值为________.答案 1或-3解析 依题意得解得或14.设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则x,y,z为________.答案 ,,解析 如图所示,取BC的中点E,连接AE.==+=+=++=+-+-=++,∴x=y=z=.15.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.答案 解析 如图,设=a,=b,=c,设棱长为1,则=a+b,=a+=a+c-b,因为底面边长和侧棱长都相等,且∠BAA1=∠CAA1=60°,所以a·b=a·c=b·c=,所以||==,||==,·=a+b·a+c-b=1,设异面直线的夹角为θ,所以cosθ===.16.已知空间三点A0,2,3,B-2,1,6,C1,-1,5.1求以,为邻边的平行四边形的面积;2若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.答案 17 21,1,1或-1,-1,-1解析 1由题意,可得=-2,-1,3,=1,-3,2.∴cos〈,〉====.∴sin〈,〉=.∴以,为邻边的平行四边形的面积为S=2×||||sin〈,〉=14×=
7.2设a=x,y,z,由题意得解得或∴向量a的坐标为1,1,1或-1,-1,-1.17.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.1写出点E,F的坐标;2求证A1F⊥C1E;3若A1,E,F,C1四点共面,求证=+.答案 1Ea,x,0,Fa-x,a,0 2略 3略解析 1解Ea,x,0,Fa-x,a,0.2证明∵A1a,0,a,C10,a,a,∴=-x,a,-a,=a,x-a,-a,∴·=-ax+ax-a+a2=0,∴⊥,∴A1F⊥C1E.3证明∵A1,E,F,C1四点共面,∴,,共面.选与为平面A1C1E的一组基向量,则存在唯一实数对λ1,λ2,使=λ1+λ2,即-x,a,-a=λ1-a,a,0+λ20,x,-a=-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2,∴解得λ1=,λ2=
1.于是=+.。