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专题研究4圆锥曲线中的探索性问题1.2018·重庆一中期中当曲线y=-与直线kx-y+2k-4=0有两个不同的交点时,实数k的取值范围是 A.0, B.,]C.,1]D.,+∞答案 C解析 曲线y=-表示圆x2+y2=4的下半部分,直线kx-y+2k-4=0过定点-2,-4.由=2,解得k=,所以过点-2,-4且斜率k=的直线y=x-与曲线y=-相切,如图所示.过点-2,-4与点2,0的直线的斜率为=
1.所以曲线y=-与直线kx-y+2k=0有两个不同的交点时,实数k的取值范围是,1].故选C.2.设抛物线x2=2pyp0,M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B,记A,B,M的横坐标分别为xA,xB,xM,则 A.xA+xB=2xMB.xA·xB=xM2C.+=D.以上都不对答案 A解析 由x2=2py得y=,所以y′=,所以直线MA的方程为y+2p=x-xM,直线MB的方程为y+2p=x-xM,所以+2p=xA-xM
①,+2p=xB-xM
②,由
①②可得xA+xB=2xM,故选A.3.2016·浙江,文设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F
2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.答案 2,8解析 由题意不妨设点P在双曲线的右支上,现考虑两种极限情况当PF2⊥x轴时,|PF1|+|PF2|有最大值8;当∠P为直角时,|PF1|+|PF2|有最小值
2.因为△F1PF2为锐角三角形,所以|PF1|+|PF2|的取值范围为2,8.4.已知圆C的半径为2,圆心在直线y=-x+2上,E1,1,F1,-3,若圆上存在点Q,使|QF|2-|QE|2=32,则圆心的横坐标a的取值范围为________.答案 [-3,1]解析 根据题意,可设圆C的方程为x-a2+y+a-22=4,设Qx,y,由|QF|2-|QE|2=32,得到x-12+y+32-x-12-y-12=32,得y=3,故点Q在直线y=3上,又点Q在圆x-a2+y+a-22=4上,所以圆C与直线y=3必须有公共点.因为圆心的纵坐标为-a+2,半径为2,所以圆C与直线y=3有公共点的充分条件是1≤-a+2≤5,即-3≤a≤
1.所以圆心的横坐标a的取值范围是[-3,1].5.2018·江西红色七校二模已知椭圆的焦点坐标为F1-1,0,F21,0,过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=
3.1求椭圆的方程;2过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案 1+=1 2存在,最大值为解析 1设椭圆方程为+=1ab0,由焦点坐标可得c=1,由|PQ|=3,可得=
3.又a2-b2=1,解得a=2,b=,故椭圆方程为+=
1.2设Mx1,y1,Nx2,y2,不妨设y10,y
20.设△F1MN的内切圆的半径为R.则△F1MN的周长为4a=8,S△F1MN=|MN|+|F1M|+|F1N|R=4R.因此,S△F1MN最大,R就最大,△F1MN的内切圆的面积就最大.由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+
1.由得3m2+4y2+6my-9=0,则y1=,y2=,则S△F1MN=|F1F2|y1-y2=y1-y2=.令t=,t≥1,则S△F1MN===.令ft=3t+,则f′t=3-,当t≥1时,f′t≥0,ft在[1,+∞上单调递增,则ft≥f1=4,S△F1MN≤3,且当t=1,即m=0时,S△F1MNmax=
3.∵S△F1MN=4R,∴Rmax=,这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l的方程为x=1时,△F1MN内切圆的面积取得最大值π.6.2018·安徽六安二模设点P是圆x2+y2=4上的任意一点,点D是点P在x轴上的投影,动点M满足=2,过定点Q0,2的直线l与动点M的轨迹交于A,B两点.1求动点M的轨迹方程;2在y轴上是否存在点E0,t,使|EA|=|EB|?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.答案 1+=1 2存在,t∈-,0]解析 1设点M的坐标为x,y,点P的坐标为xp,yp,则点D的坐标为xp,0,由=2,得∵点P在圆上,∴x2+y2=4,即+=1,∴点M的轨迹方程为+=
1.2当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,当E与原点重合,即t=0时,满足|EA|=|EB|.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,代入+=1,消去y,得3+4k2x2+16kx+4=0,则由Δ=16k2-163+4k20,得|k|.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=-,x1x2=.∵|EA|=|EB|,∴+·=
0.又+=x1+x2,kx1+x2+4-2t,=x2-x1,kx2-x1,∴x2-x1,kx2-x1·x1+x2,kx1+x2+4-2t=0,展开化简,得1+k2·x1+x2+4k-2kt=0,将x1+x2=-代入化简,得t=-,又|k|,∴t=-∈-,0.综上,存在符合题意的点E,且实数t的取值范围为-,0].7.2018·贵州贵阳考试已知抛物线E y2=4x的焦点为F,准线为l,准线l与x轴的交点为P,过点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A,B.1若|AF|+|BF|=8,求线段AB的中点Q到准线的距离;2E上是否存在一点M,满足+=?若存在,求出直线m的斜率;若不存在,请说明理由.答案 14 2不存在解析 1由抛物线E的方程为y2=4x,可得F1,0,准线l x=-1,P-1,0.过点A作AA′⊥l,过点B作BB′⊥l,垂足分别为A′,B′.由抛物线的定义得|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,∴由|AF|+|BF|=8得|AA′|+|BB′|=
8.过AB的中点Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,故QQ′是直角梯形AA′B′B的中位线,∴|QQ′|===4,即线段AB的中点Q到准线的距离为
4.2设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx,y,则+=x1+1,y1+x2+1,y2=x1+x2+2,y1+y2=x+1,y=,故即设直线m的方程为y=kx+1,联立得k2x2+2k2-4x+k2=0,∴Δ=2k2-42-4k4=16-16k20,x1+x2=.∴=x-1,∴x=.∴y1+y2=kx1+x2+2k=k·+2k=.∴y=.∴M,.∵点M在抛物线上,∴2=4·,即=-4,此方程无解.∴不存在满足条件的点M.8.2018·吉林普通中学第一次调研如图,已知椭圆E+=10b2,点P0,1在短轴CD上,且·=-
2.1求椭圆E的方程及离心率;2设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点,是否存在常数λ,使得·+λ·为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.答案 1+=1 e=2λ=1时,定值为-3解析 1由已知,点C,D的坐标分别为0,-b,0,b.又点P的坐标为0,1,且·=-2,于是解得c=1,b=.所以椭圆E的方程为+=
1.因为c=1,a=2,所以离心率e=.2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,点A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2.联立得4k2+3x2+8kx-8=
0.其判别式Δ0,所以x1+x2=,x1x2=.从而·+λ·=x1x2+y1y2+λ[x1x2+y1-1y2-1]=1+λ1+k2x1x2+kx1+x2+1==-2λ-
3.所以当λ=2时,-2λ-3=-7,即·+λ·=-7为定值.当直线AB的斜率不存在时,直线AB即直线CD.此时·+λ·=·+2·=-3-4=-
7.故存在常数λ=2,使得·+λ·为定值-
7.1.已知抛物线y2=2pxp0,O是坐标原点,F是抛物线的焦点,P是抛物线上一点,则使得△POF是直角三角形的点P共有 A.0个B.2个C.4个D.6个答案 B解析 当∠OFP为直角时,作出图形如图所示,过焦点F作PF⊥x轴,交抛物线于点P,P′,则△OFP,△OFP′都是直角三角形.显然∠POF不可能为直角.若∠OPF=90°,易知F,0,设P,y,可得=,y,=-,y,∴·=-+y2=+.∵0,0,∴·0,∴cos∠OPF0,∴∠OPF为锐角,不可能为直角.综上,使得△POF是直角三角形的点P有且有2个.2.2018·江苏盐城中学摸底命题p已知椭圆+=1ab0,F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过F2作∠F1PF2外角的平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q已知双曲线-=1a0,b0,F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过F2作∠F1PF2的________的垂线,垂足为M,则OM的长为定值________.答案 内角平分线 a解析 ∵F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过F2作∠F1PF2外角的平分线的垂线,垂足为M,∴点F2关于∠F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上,|F1Q|=|PF1|+|PF2|=2a椭圆长轴长,又OM是△F2F1Q的中位线,故|OM|=a.不妨设点P在双曲线右支上,当过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线,垂足为M时,点F2关于∠F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF1上,|F1Q|=|PF1|-|PF2|=2a,又OM是△F2F1Q的中位线,故|OM|=a.3.2018·海南海口三模已知椭圆C+y2=1a1的左、右焦点分别为F1-c,0,F2c,0,P为椭圆C上任意一点,且·的最小值为
0.1求椭圆C的方程;2若动直线l1,l2均与椭圆C相切,且l1∥l2,试探究在x轴上是否存在定点B,使得点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.答案 1+y2=1 2略解析 1设Px,y,则有=x+c,y,=x-c,y,·=x2+y2-c2=+1-c2,x∈[-a,a],由·的最小值为0,得1-c2=0,∴c=1,a2=2,∴椭圆C的方程为+y2=
1.2
①当直线l1,l2斜率存在时,设其方程分别为y=kx+m,y=kx+n,把l1的方程代入椭圆方程得1+2k2x2+4mkx+2m2-2=
0.∵直线l1与椭圆C相切,Δ=16k2m2-41+2k22m2-2=0,化简得m2=1+2k2,同理,n2=1+2k2,∴m2=n
2.若m=n,则l1,l2重合,不合题意,∴m=-n.设在x轴上存在点Bt,0,点B到直线l1,l2的距离之积为1,则·=1,即|k2t2-m2|=k2+1,把1+2k2=m2代入并去绝对值,整理得k2t2-3=2或k2t2-1=0,前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k∈R恒成立,则t2-1=0,解得t=±
1.
②当直线l1,l2斜率不存在时,其方程为x=和x=-,定点-1,0或1,0到直线l1,l2的距离之积为+1·-1=1,综上所述,满足题意的定点B为-1,0和1,0.4.2018·吉林一中二模已知抛物线C y2=2pxp0与直线x-y+4=0相切.1求该抛物线的方程;2在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值?如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.答案 1y2=8x 2略解析 1联立方程,有消去x,得y2-2py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,解得p=
4.所以抛物线的方程为y2=8x.2假设存在满足条件的点Mm,0m0.直线l x=ty+m,由得y2-8ty-8m=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,有y1+y2=8t,y1y2=-8m.|AM|2=x1-m2+y12=t2+1y12,|BM|2=x2-m2+y22=t2+1y
22.+=+=·=·,当m=4时,+为定值,所以M4,0.5.2018·浙江温州第一次考试如图,动圆C过点F1,0,且与直线x=-1相切于点P.1求圆C的轨迹Γ的方程;2过点F任作一直线交轨迹Γ于A,B两点,设PA,PF,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.答案 1y2=4x 2定值为2解析 1由题意,圆心C到点F1,0的距离与到直线x=-1的距离相等.由抛物线的定义,可知圆心C的轨迹是以F1,0为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,其中=1,所以p=
2.故圆心C的轨迹Γ的方程是y2=4x.2设直线AB的方程为x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2.联立方程,得整理得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-
4.设P-1,t,则k1==,k3=,k2==-.k1+k3=====-t,则==2,故为定值,定值为
2.。