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第5课时古典概型1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是 A. B.C.D．0答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有正，正，正，反，反，正，反，反共4个，而只有1次出现正面的包括正，反，反，正2个，故其概率为＝.2．有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为 A.B.C.D.答案 A解析 两数和为偶数，则两数同奇或同偶，故两数和为偶数的概率为P＝＝.3．2017·云南统一检测在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 分析题意可知，共有0，1，2，0，2，5，1，2，5，0，1，54种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.4．2018·广东惠州模拟齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的慨率为 A.B.C.D.答案 A解析 设齐王上，中，下三个等次的马分别记为a1，a2，a3，田忌的上，中，下三个等次的马分别记为b1，b2，b3，从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛的所有可能为a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种．由题设知田忌获胜有3种情况a2b1，a3b1，a3b2，故田忌获胜的概率为＝，故选A.5．2018·广西南宁一模某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4×100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 从6名短跑运动员中任选4人参加4×100m接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A64－2A53＋A42＝252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C41·A42＝48种，因此所求的概率为＝，选C.6．2018·郑州市质检某公司安排6位员工在“元旦1月1日至1月3日”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为 A.B.C.D.答案 B解析 该公司安排6位员工在“元旦1月1日至1月3日”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件总数n＝C62C42C22，6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m＝C52C42C22，∴6位员工中甲不在1日值班的概率P＝＝＝.故选B.7．2017·山东，理从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A.B.C.D.答案 C解析 方法一从9张卡片中依次抽取1张，共取2次有C91C81种不同方法，其中2次抽得卡片的奇偶性不同的方法有2C51C41种．由古典慨型概率公式得P＝＝＝.方法二由题意知两次取卡片，彼此相互独立，则两次取得卡片奇偶性不同的概率为×＋×＝.8．2018·北京朝阳区期末甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下，甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，则甲的成绩比乙的成绩高的概率为 A.B.C.D.答案 A解析 记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对x，y表示基本事件，有82，95，82，75，82，80，82，90，82，85，82，95，82，75，82，80，82，90，82，85，79，95，79，75，79，80，79，90，79，85，95，95，95，75，95，80，95，90，95，85，87，95，87，75，87，80，87，90，87，85，基本事件总数n＝
25.设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，事件A包含的基本事件有82，75，82，80，82，75，82，80，79，75，95，75，95，80，95，90，95，85，87，75，87，80，87，85，事件A包含的基本事件数m＝
12.所以PA＝＝.故选A.9．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 A.B.C.D.答案 D解析 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为
15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点例如AB与DE，共有3种，∴所求概率为＝.10．2018·长沙雅礼中学质检现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－2为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 A.B.C.D.答案 D解析 数列的通项公式为an＝－2n－1，数列中的偶数项都为负数，小于8，共有5项，奇数项的第1，3项小于8，故小于8的数有7个，因此概率为P＝.11．从1，2，…，9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 A.B.C.D.答案 C解析 基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件包括两类抽取3个数全是偶数，或抽取3个数中2个奇数1个偶数，前者有C43种，后者有C41C52种，所以A中基本事件数为C43＋C41C52，所以符合要求的概率为＝.故选C.12．2017·甘肃模拟投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数m＋ni2为纯虚数的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 投掷两颗骰子共有36种结果，因为m＋ni2＝m2－n2＋2mni，所以要使复数m＋ni2为纯虚数，则有m2－n2＝0，即m＝n，共有6种结果，所以复数为纯虚数的概率为＝，故选C.13．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为 A.B.C.D.答案 D解析 基本事件为1，1，1，2，…，1，8，2，1，2，2，…，8，8，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为7，8，8，7，8，8，∴所求概率为.14．2017·惠州调研设A，B两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生B选择英语教师的概率为 A.B.C.D.答案 A解析 设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A先选，B后选不重复，则他们所有的选择结果如下1，2，1，3，1，4，2，1，2，3，2，4，3，1，3，2，3，4，4，1，4，2，4，3，共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师数学在前，英语在后的结果有1，3，1，4，2，3，2，4，共4种情况，所以所求概率P＝.
15.如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a3≤a≤8且a∈N表示被污损的数字．则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为 A.B.C.D.答案 D解析 甲同学的历史平均成绩为＝92分，若甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩，≤92，得a≤
6.因为3≤a≤8，所以3≤a≤6且a∈N，记甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩为事件A，则事件A包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，所以事件A的概率PA＝＝.16．2014·课标全国Ⅱ文甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．答案 解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为红，白，白，红，红，蓝，蓝，红，白，蓝，蓝，白，红，红，白，白，蓝，蓝，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为红，红，白，白，蓝，蓝，共3种．故所求概率为P＝＝.17．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 解析 对立事件为两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－＝.18．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．1若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；2若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．答案 1 2解析 1由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个．则所求事件的概率为P＝＝.2从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P＝.19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65，[65，75，[75，85]内的频率之比为4∶2∶
1.1求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；2用分层抽样的方法在区间[45，75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65内的概率．答案
10.05 2解析 1设质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则质量指标值落在区间[55，65，[65，75内的频率分别为4x，2x.依题意得
0.004＋
0.012＋
0.019＋
0.030×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝
0.
05.所以质量指标值落在区间[75，85]内的频率为
0.
05.2由1得，质量指标值落在区间[45，55，[55，65，[65，75内的频率分别为
0.3，
0.2，
0.
1.用分层抽样的方法在区间[45，75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45，55内应抽取6×＝3件，记为A1，A2，A3；在区间[55，65内应抽取6×＝2件，记为B1，B2；在区间[65，75内应抽取6×＝1件，记为C.设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45，65内”为事件M，因为所有的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，C，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，C，A3，B1，A3，B2，A3，C，B1，B2，B1，C，B2，C，共15种，事件M包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共10种，所以PM＝＝，所以这2件产品都在区间[45，65内的概率为.1．2018·广东五校协作体联考从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C97＝＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以从1，9，2，8，3，7，4，6中任选3组，则有C43＝4种，再加上5，故这7个数的平均数是5的概率为＝，故选C.2．2018·衡水中学调研卷3位大学生乘坐同一列“子弹头”CRH1A－A动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 3位大学生的乘车方式共有83种，其中均不在同一节车厢的乘车方式有A83种，所以3位大学生均不在同一节车厢的概率为＝＝，故至少有2位大学生在同一节车厢的概率为1－＝，故选C.3．已知直线l1x－2y－1＝0，直线l2ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则直线l1与l2的交点位于第三象限的概率为 A.B.C.D.答案 A解析 当l2的斜率大于l1的斜率时，直线l1与l2的交点位于第三象限，此时共有六种情况b＝1，a∈{1，2，3，4，5，6}；b＝2，a∈{2，3，4，5，6}；b＝3，a∈{2，3，4，5，6}；b＝4，a∈{3，4，5，6}；b＝5，a∈{3，4，5，6}；b＝6，a∈{4，5，6}．所以所求概率为＝，选A.4．2015·广东文已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为 A．
0.4B．
0.6C．
0.8D．1答案 B解析 设5件产品中合格品分别为A1，A2，A3，2件次品分别为B1，B2，则从5件产品中任取2件的所有基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个，其中恰有一件次品的所有基本事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个．故所求概率为P＝＝
0.
6.5．2015·课标全国Ⅰ，文如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 基本事件的总数为10，其中能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为，选C.6．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 A．
0.852B．
0.8192C．
0.8D．
0.75答案 D解析 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－＝
0.75，故选D.7．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则ba的概率是 A.B.C.D.答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足ba的有3种，所以ba的概率为＝.8．2017·浙江金丽衢十二校二联4张卡上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为 A.B.C.D.答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为1，3，2，4共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.B.C.D.答案 A解析 由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种．又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为＝.10．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为 A.B.C.D.答案 B解析 设3个白球分别为a1，a2，a3，2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，b1，b2，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a1，a3，a2，b1，a2，b2，a2，b1，a3，b2，a3，b2，b1，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，共6种，故所求概率为＝.11．将一个骰子向上抛两次，所得点数分别为m和n，则n≤2m的概率是________．答案 解析 基本事件的总数为6×6＝36，满足n2m的数对n，m为6，2，6，1，5，2，5，1，4，1，3，1，共6个，所以所求概率为1－＝.12．2018·江苏南京调研某单位要在四名员工含甲乙两人中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是________．答案 解析 在四名员工含甲乙两人中随机选两名，共有6种可能，其中甲乙两人都未被选中只有1种可能，∴甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是1－＝.13．2013·江苏现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，nm≤7，n≤9可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．答案 解析 从正整数m，nm≤7，n≤9中任取两数的所有可能结果有C71C91＝63个，其中m，n都取奇数的结果有C41C51＝20个，故所求概率为.14．如图所示是某市2017年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数AQI小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．1求此人到达当日空气质量优良的概率；2求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．答案 1 2解析 1在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P＝＝.2根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为＝.“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P＝＋＝.15．2017·广东深圳已知复数z＝x＋yix，y∈R在复平面上对应的点为M.设集合P＝{－4，－3，－2，0}，Q＝{0，1，2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率．答案 解析 记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i，0，i，2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个i，2i，∴所求事件的概率为PA＝＝.16．2018·安徽省安师大附中高三阶段测试某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表分数段分[50，70[70，90[90，110[110，130[130，150]总计频数b频率a
0.251求表中a，b的值及成绩在[90，110范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率成绩在[90，150]内为及格；2若从茎叶图中成绩在[100，130范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．答案
10.65 2解析 1由茎叶图知成绩在[50，70范围内的有2人，在[110，130范围内的有3人，∴a＝
0.1，b＝
3.∵成绩在[90，110范围内的频率为1－
0.1－
0.25－
0.25＝
0.
4.∴成绩在[90，110范围内的样本数为20×
0.4＝8，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P＝1－
0.1－
0.25＝
0.
65.2一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{100，102，100，106，100，106，100，116，100，118，100，128，102，106，102，106，102，116，102，118，102，128，106，106，106，116，106，118，106，128，106，116，106，118，106，128，116，118，116，128，118，128}，共21个基本事件，设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于等于10”，则A＝{100，102，100，106，100，106．102，106，102，106，106，106，106，116，106，116，116，118，118，128}，共10个基本事件，∴PA＝.。
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