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专题研究1三角函数的值域与最值1.函数y=cosx+,x∈[0,]的值域是 A.-,] B.[-,]C.[,]D.[-,-]答案 B解析 x∈[0,],x+∈[,π],∴y∈[-,].2.如果|x|≤,那么函数fx=cos2x+sinx的最小值是 A.B.-C.-1D.答案 D解析 fx=-sin2x+sinx+1=-sinx-2+,当sinx=-时,有最小值,ymin=-=.3.2018·湖南衡阳月考定义运算a*b=例如1*2=1,则函数fx=sinx*cosx的值域为 A.[-,]B.[-1,1]C.[,1]D.[-1,]答案 D解析 根据三角函数的周期性,我们只看在一个最小正周期内的情况即可.设x∈[0,2π],当≤x≤时,sinx≥cosx,fx=cosx,fx∈[-1,],当0≤x或x≤2π时,cosxsinx,fx=sinx,fx∈[0,∪[-1,0].综上知fx的值域为[-1,].4.2018·河北石家庄一检若函数fx=sin2x+θ+cos2x+θ0θπ的图像关于点,0对称,则函数fx在[-,]上的最小值是 A.-1B.-C.-D.-答案 B解析 因为fx=sin2x+θ+cos2x+θ=2sin2x+θ+,则由题意,知f=2sinπ+θ+=
0.又0θπ,所以θ=,所以fx=-2sin2x,则fx在[-,]上是减函数,所以函数fx在[-,]上的最小值为f=-2sin=-.故选B.5.2018·黄冈中学适应性考试将函数fx=cos2x-sin2x的图像向左平移个单位后得到函数Fx的图像,则下列说法中正确的是 A.函数Fx是奇函数,最小值是-2B.函数Fx是偶函数,最小值是-2C.函数Fx是奇函数,最小值是-D.函数Fx是偶函数,最小值是-答案 C解析 fx=cos2x-sin2x=cos2x+,将fx的图像向左平移个单位后得到Fx=cos[2x++]=cos2x+=-sin2x的图像,易知Fx为奇函数,最小值为-,故选C.6.当0<x<时,函数fx=的最小值是 A.B.C.2D.4答案 D解析 fx==,当tanx=时,fx的最小值为4,故选D.7.已知fx=,x∈0,π.下列结论正确的是 A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值答案 B解析 令t=sinx,t∈0,1],则y=1+,t∈0,1]是一个减函数,则fx只有最小值而无最大值.另外还可通过y=1+,得出sinx=,由sinx∈0,1]也可求出,故选B.8.当函数y=sinx-cosx0≤x2π取得最大值时,x=________.答案 π解析 y=sinx-cosx=2sinx-,∵x∈[0,2π,∴x-∈[-,,∴当x-=,即x=π时,函数取得最大值
2.9.2018·北京西城模拟已知函数fx=sin2x+,其中x∈[-,α].当α=时,fx的值域是________;若fx的值域是[-,1],则α的取值范围是________.答案 [-,1] [,]解析 若-≤x≤,则-≤2x≤,-≤2x+≤,此时-≤sin2x+≤1,即fx的值域是[-,1].若-≤x≤α,则-≤2x≤2α,-≤2x+≤2α+.∵当2x+=-或2x+=时,sin2x+=-,∴要使fx的值域是[-,1],则有≤2α+≤,即≤2α≤π,∴≤α≤,即α的取值范围是[,].10.若函数y=sin2x+2cosx在区间[-π,α]上最小值为-,则α的取值范围是________.答案 -,]解析 y=2-cosx-12,当x=-π时,y=-,根据函数的对称性α∈-,].11.2014·课标全国Ⅱ,理函数fx=sinx+2φ-2sinφcosx+φ的最大值为________.答案 1解析 fx=sin[x+φ+φ]-2sinφcosx+φ=sinx+φcosφ-cosx+φsinφ=sinx+φ-φ=sinx,因为x∈R,所以fx的最大值为
1.12.2017·湖北武汉调研已知函数fx=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为3,则1m=________;2对任意a∈R,fx在[a,a+20π]上的零点个数为________.答案 10 240或41解析 1fx=sin2x+2cos2x+m=sin2x+1+cos2x+m=2sin2x++m+1,因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以-≤sin2x+≤1,fxmax=2+m+1=3+m=3,所以m=
0.2由1fx=2sin2x++1,T==π,在区间[a,a+20π]上有20个周期,故零点个数为40或
41.13.2015·天津已知函数fx=sin2x-sin2x-,x∈R.1求fx的最小正周期;2求fx在区间[-,]上的最大值和最小值.答案 1T=π 2,-解析 1由已知,有fx=-=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin2x-.所以,fx的最小正周期T==π.2方法一因为fx在区间[-,-]上是减函数,在区间[-,]上是增函数,f-=-,f-=-,f=.所以,fx在区间[-,]上的最大值为,最小值为-.方法二∵x∈[,],∴2x-∈[-π,]∴sin2x-∈[-1,]∴sin2x-∈[-,],∴fx在区间[-,]内的最大值和最小值分别为,-.14.已知函数fx=cos+xcos-x,gx=sin2x-.1求函数fx的最小正周期;2求函数hx=fx-gx的最大值,并求使hx取得最大值的x的集合.答案 1π 2 {x|x=kπ-,k∈Z}解析 1fx=cos+xcos-x=cosx-sinxcosx+sinx=cos2x-sin2x=-=cos2x-,∴fx的最小正周期为=π.2hx=fx-gx=cos2x-sin2x=cos2x+,当2x+=2kπk∈Z时,hx取得最大值.hx取得最大值时,对应的x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}.15.2018·吉林长春朝阳实验中学二模设函数fx=sinxcosx+cos2x+a.1写出函数fx的最小正周期及单调递减区间;2当x∈[-,]时,函数fx的最大值与最小值的和为,求实数a的值.答案 1T=π [+kπ,+kπ]k∈Z2a=0解析 1fx=sin2x++a=sin2x++a+,∴T=π.由+2kπ≤2x+≤+2kπk∈Z,得+kπ≤x≤+kπk∈Z.故函数fx的单调递减区间是[+kπ,+kπ]k∈Z.2∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,∴-≤sin2x+≤
1.当x∈[-,]时,函数fx的最大值与最小值的和为1+a++-+a+=,解得a=
0.16.2018·沧州一中月考设fx=4cosωx-sinωx-cos2ωx+π,其中ω
0.1求函数y=fx的值域;2若fx在区间[-,]上为增函数,求ω的最大值.答案 1[1-,1+] 2解析 1fx=4cosωx+sinωxsinωx+cos2ωx=2sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx=sin2ωx+1,因为-1≤sin2ωx≤1,所以函数y=fx的值域为[1-,1+].2因y=sinx在每个闭区间[2kπ-,2kπ+]k∈Z上为增函数,故fx=sin2ωx+1ω0在每个闭区间[-,+]k∈Z上为增函数.依题意知[-,]⊆[-,+]对某个k∈Z成立,此时必有k=0,于是解得ω≤,故ω的最大值为.1.2018·湖北重点校联考已知函数fx=sin-2x-2sinx-cosx+.1求函数fx的最小正周期和单调递增区间;2若x∈[,],且Fx=-4λfx-cos4x-的最小值是-,求实数λ的值.答案 1T=π,[kπ-,kπ+]k∈Z 2解析 1∵fx=sin-2x-2sinx-cosx+=cos2x+sin2x+sinx-cosxsinx+cosx=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin2x-,∴T==π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z得kπ-≤x≤kπ+k∈Z,∴函数fx的单调递增区间为[kπ-,kπ+]k∈Z.2Fx=-4λfx-cos4x-=-4λsin2x--[1-2sin22x-]=2sin22x--4λsin2x--1=2[sin2x--λ]2-1-2λ
2.∵x∈[,],∴0≤2x-≤,∴0≤sin2x-≤
1.
①当λ0时,当且仅当sin2x-=0时,Fx取得最小值-1,这与已知不相符;
②当0≤λ≤1时,当且仅当sin2x-=λ时,Fx取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=,λ=-舍去;
③当λ1时,当且仅当sin2x-=1时,Fx取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ1相矛盾.综上所述,实数λ的值为.。