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专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题1.2017·绵阳二诊若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P在椭圆上的任意一点,则·的最大值为 A. B.6C.8D.12答案 B解析 由题意得F-1,0,设Px,y,则·=x,y·x+1,y=x2+x+y2,又点P在椭圆上,故+=1,所以x2+x+3-x2=x2+x+3=x+22+2,又-2≤x≤2,所以当x=2时,x+22+2取得最大值6,即·的最大值为
6.2.2018·四川成都七中模拟若直线l过抛物线C y2=4x的焦点F交抛物线C于A,B两点,则+的取值范围为 A.{1}B.0,1]C.[1,+∞D.[,1]答案 A解析 由题意知抛物线C y2=4x的焦点F的坐标为1,0,准线方程为x=-
1.设过点F的直线l的斜率k存在,则直线的方程为y=kx-1.代入抛物线方程,得k2x-12=4x,化简得k2x2-2k2+4x+k2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1x2=
1.根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴+=+==
1.当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x=1,把x=1代入y2=4x得y=±2,∴+=
1.故选A.3.2018·云南曲靖一中月考已知点P为圆C x2+y2-2x-4y+1=0上的动点,点P到某直线l的最大距离为
6.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB,切点为B,则|AB|的最小值是________.答案 2解析 由C x2+y2-2x-4y+1=0,得x-12+y-22=4,由圆上动点P到某直线l的最大距离为6,可知圆心C1,2到直线l的距离为
4.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB,切点为B,则要使|AB|最小,需AC⊥l,∴|AB|的最小值是=
2.4.2018·河南百校联盟质检已知椭圆C+=1ab0的四个顶点组成的四边形的面积为2,且经过点1,.1求椭圆C的方程;2椭圆C的下顶点为P,如图所示,点M为直线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM,且与C交于A,B两点,与OM交于点N,四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1,S
2.求S1S2的最大值.答案 1+y2=1 2解析 1∵1,在椭圆C上,∴+=1,又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2,∴×2a×2b=2,ab=,解得a2=2,b2=1,∴椭圆C的方程为+y2=
1.2由1可知F1,0,设M2,t,Ax1,y1,Bx2,y2.则当t≠0时,直线OM的方程为y=x.所以kAB=-,直线AB的方程为y=-x-1,即2x+ty-2=0t≠0,由得8+t2x2-16x+8-2t2=
0.则Δ=-162-48+t28-2t2=8t4+4t20,x1+x2=,x1x2=.|AB|=·=·=.又|OM|=,∴S1=|OM|·|AB|=·=.由得xN=,∴S2=×1×=.∴S1S2=·==.当t=0时,直线l x=1,|AB|=,S1=××2=,S2=×1×1=,S1S2=.综上,S1S2的最大值为.5.2018·山东潍坊期末已知点F1为圆x+12+y2=16的圆心,N为圆F1上一动点,F21,0,点M,P分别是线段F1N,F2N上的点,且满足·=0,=
2.1求动点M的轨迹E的方程;2过点F2的直线l与x轴不重合与轨迹E交于A,C两点,线段AC的中点为G,连接OG并延长交轨迹E于B点O为坐标原点,求四边形OABC的面积S的最小值.答案 1+=1 23解析 1由题意,MP垂直平分F2N,∴|MF1|+|MF2|=4,∴动点M的轨迹是以F1-1,0,F21,0为焦点的椭圆,且长轴长为2a=4,焦距2c=2,所以a=2,c=1,b2=
3.轨迹E的方程为+=
1.2设Ax1,y1,Cx2,y2,Gx0,y0,直线AC的方程为x=my+1,与椭圆方程联立,可得4+3m2y2+6my-9=0,∴y1+y2=-,y1y2=-.由弦长公式可得|AC|=|y1-y2|=,又y0=-,∴G,-.直线OG的方程为y=-x,代入椭圆方程得x2=,∴B,-,B到直线AC的距离d1=,O到直线AC的距离d2=,∴SOABC=|AC|d1+d2=6≥3,当m=0时取得最小值
3.∴四边形OABC的面积的最小值为
3.6.2018·河南新乡一调设O为坐标原点,已知椭圆C1+=1ab0的离心率为,抛物线C2x2=-ay的准线方程为y=.1求椭圆C1和抛物线C2的方程;2设过定点M0,2的直线l与椭圆C1交于不同的两点P,Q,若O在以PQ为直径的圆的外部,求直线l的斜率k的取值范围.答案 1+y2=1 2k∈-2,-∪,2解析 1由题意得=,∴a=2,故抛物线C2的方程为x2=-2y.又e=,∴c=,∴b=1,从而椭圆C1的方程为+y2=
1.2显然直线x=0不满足条件,故可设直线l y=kx+2,Px1,y1,Qx2,y2.由得1+4k2x2+16kx+12=
0.∵Δ=16k2-4×121+4k20,∴k∈-∞,-∪,+∞,x1+x2=,x1x2=,根据题意,得0∠POQ⇔·0,∴·=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+2kx2+2=1+k2x1x2+2kx1+x2+4=+2k×+4=0,∴-2k2,综上得k∈-2,-∪,2.7.2018·陕西咸阳模拟已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A在椭圆C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点.1求椭圆C的方程;2若P,Q的中点为N,在线段OF2上是否存在点Mm,0,使得MN⊥PQ?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.答案 1+=1 2存在 理由略解析 1由e=得a=2c.由|AF1|=2得|AF2|=2a-
2.由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=|F1F2|2,即a2-3a+3=c2,解得c=1,a=2,b2=a2-c2=
3.所以椭圆C的方程为+=
1.2存在这样的点M符合题意.设Px1,y1,Qx2,y2,Nx0,y0.由F21,0,设直线PQ的方程为y=kx-1,由得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0,得x1+x2=,故x0==.又点N在直线PQ上,所以y0=,所以N,.因为MN⊥PQ,所以kMN==-,整理得m==∈0,.所以在线段OF2上存在点Mm,0,使得MN⊥PQ,m的取值范围为0,.1.2018·山西五校联考设点F为椭圆C+=1m0的左焦点,直线y=x被椭圆C截得的弦长为.1求椭圆C的方程;2圆P x+2+y-2=r2r0与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB上任意一点,直线FM交椭圆C于P,Q两点,AB为圆P的直径,且直线FM的斜率大于1,求|PF|·|QF|的取值范围.答案 1+=1 2,]解析 1由得x2=y2=,故2=2=,解得m=1,故椭圆C的方程为+=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,则又所以+=0,则x1-x2-y1-y2=0,故kAB==
1.所以直线AB的方程为y-=x+,即y=x+,代入椭圆C的方程并整理得7x2+8x=0,则x1=0,x2=-.又F-1,0,直线FM的斜率大于1,则直线FM的斜率k∈[,+∞.设FM y=kx+1,由得3+4k2x2+8k2x+4k2-12=0,设Px3,y3,Qx4,y4,则有x3+x4=,x3x4=.又|PF|=|x3+1|,|QF|=|x4+1|,所以|PF|·|QF|=1+k2|x3x4+x3+x4+1|=1+k2|-+1|=1+k2·=1+.因为k≥,所以1+≤.即|PF|·|QF|的取值范围是,].
2.2017·湖南师大附中月考如图所示,已知F10,-,F20,,动点M到点F2的距离是4,线段MF1的中垂线交MF2于点P.1当点M变化时,求动点P的轨迹G的方程;2若斜率为的动直线l与轨迹G相交于A,B两点,Q1,为定点,求△QAB面积的最大值.答案 1+=1 2解析 1如图,连接PF1,∵|MF2|=4,∴|PM|+|PF2|=
4.又∵|PM|=|PF1|,∴|PF1|+|PF2|=4|F1F2|=2,由椭圆的定义可知,动点P的轨迹G是以F1,F2为焦点的椭圆,其方程为+=
1.2设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程得x+m2+2x2=4,即4x2+2mx+m2-4=
0.由Δ=8m2-16m2-4=88-m20,得m
28.又点Q不在直线l上,所以m≠0,所以0m
28.设点Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=-,x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|==·=×.又点Q到直线l的距离d=,则S△QAB=|AB|d=×××=.因为≤=4,则S△QAB≤,当且仅当m2=4,即m=±2时取等号.故△QAB面积的最大值为.
3.已知椭圆+=1ab0的离心率为,且经过点P1,.过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l
2.1求椭圆的标准方程;2求四边形ACBD的面积S的取值范围.答案 1+=1 2[,6]解析 1由=⇒a=2c,所以a2=4c2,b2=3c2,将点P的坐标代入椭圆方程得c2=1,故所求椭圆方程为+=
1.2若l1与l2中有一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,此时四边形的面积S=
6.若l1与l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,则直线l1的方程为y=kx+1.设Ax1,y1,Bx2,y2,联立得方程组消去y并整理,得4k2+3x2+8k2x+4k2-12=
0.
①∴x1+x2=-,x1·x2=,∴|x1-x2|=,∴|AB|=|x1-x2|=.
②注意到方程
①的结构特征和图形的对称性,可以用-代替
②中的k,得|CD|=,∴S=|AB|·|CD|=,令k2=t∈0,+∞,∴S===6-≥6-=,∴S∈[,6].综上可知,四边形ABCD的面积S∈[,6].4.2017·衡水中学调研已知椭圆C+=1ab0过点A-,,离心率为,点F1,F2分别为其左、右焦点.1求椭圆C的标准方程;2若y2=4x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,Q满足M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且PQ⊥MN,求四边形PMQN面积的最小值.答案 1+y2=1 24解析 1由题意得=,得b=c.∵+=1ab0,∴c=1,∴a2=2,∴椭圆C的标准方程为+y2=
1.2
①当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,易得|MN|=4,|PQ|=2,S四边形PMQN=
4.
②当直线MN斜率存在时,设直线方程为y=kx-1k≠0,与y2=4x联立得k2x2-2k2+4x+k2=
0.令Mx1,y1,Nx2,y2,则x1+x2=+2,x1x2=1,|MN|=·=+
4.∵PQ⊥MN,∴直线PQ的方程为y=-x-1.将直线与椭圆联立,得k2+2x2-4x+2-2k2=
0.令Px3,y3,Qx4,y4,则x3+x4=,x3x4=,|PQ|=·=.∴四边形PMQN的面积S=,令1+k2=tt1,则S===41+4,∴S4,其最小值为
4.5.2015·浙江文已知抛物线C的顶点为O0,0,焦点为F0,1.1求抛物线C的方程;2过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.答案 1x2=4y 2解析 1由题意可设抛物线C的方程为x2=2pyp0,则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.2设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB的方程为y=kx+
1.由消去y,整理,得x2-4kx-4=
0.所以x1+x2=4k,x1x2=-
4.从而|x1-x2|=
4.由解得点M的横坐标为xM===.同理,点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|=|-|=8||=.令4k-3=t,t≠0,则k=.当t0时,|MN|=2·2;当t0时,|MN|=2·≥.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.6.2015·天津已知椭圆+=1ab0的左焦点为F-c,0,离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段长为c,|FM|=.1求直线FM的斜率;2求椭圆的方程;3设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OPO为原点的斜率的取值范围.解析 1由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c
2.设直线FM的斜率为kk0,则直线FM的方程为y=kx+c.由已知,有+=,解得k=.2由1得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=x+c,两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=
1.3设点P的坐标为x,y,直线FP的斜率为t,得t=,即y=tx+1x≠-1,与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2x+12=
6.又由已知,得t=,解得-x-1,或-1x
0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mxx≠0,与椭圆方程联立,整理可得m2=-.
①当x∈时,有y=tx+10,因此m
0.于是m=,得m∈.
②当x∈-1,0时,有y=tx+10,因此m
0.于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.。