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第11课时直线与圆锥曲线的位置关系1.若过原点的直线l与双曲线-=1有两个不同交点,则直线l的斜率的取值范围是 A. B.-,C.D.∪答案 B解析 ∵-=1,其两条渐近线的斜率分别为k1=-,k2=,要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点,画图可知,直线l的斜率的取值范围应是∪.2.已知椭圆x2+2y2=4,则以1,1为中点的弦的长度为 A.3 B.2C.D.答案 C解析 设y-1=kx-1,∴y=kx+1-k.代入椭圆方程,得x2+2kx+1-k2=
4.∴2k2+1x2+4k1-kx+21-k2-4=
0.由x1+x2==2,得k=-,x1x2=.∴x1-x22=x1+x22-4x1x2=4-=.∴|AB|=·=.3.2018·辽宁师大附中期中过点M-2,0的直线n与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1k1≠0,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为 A.2B.-2C.D.-答案 D解析 设P1x1,y1,P2x2,y2,Px,y,则两式相减,得+y1+y2y1-y2=
0.即+2yy1-y2=
0.∴k1=-,又∵k2=.∴k1·k2=-.4.2017·山东师大附中模拟已知两定点A0,-2,B0,2,点P在椭圆+=1上,且满足||-||=2,则·为 A.-12B.12C.-9D.9答案 D解析 易知A0,-2,B0,2为椭圆+=1的两焦点,∴||+||=2×4=8,又||-||=2,∴||=5,||=
3.∵||=4,∴△ABP为直角三角形,∴·=||2=
9.5.2018·福建厦门中学期中设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 A.B.C.2D.3答案 B解析 不妨设双曲线C-=1a0,b0,焦点Fc,0,对称轴为直线y=
0.由题意知-=1,y=±,∴=4a,b2=2a2,c2-a2=2a2,c2=3a2,∴e==.故选B.6.2018·德州一中期末已知抛物线C y2=4x的焦点为F,准线为l.若射线y=2x-1x≤1与C,l分别交于P,Q两点,则= A.B.2C.D.5答案 C解析 抛物线C y2=4x的焦点为F1,0,设准线l x=-1与x轴的交点为F1,过点P作直线l的垂线,垂足为P1,由得点Q的坐标为-1,-4,所以|FQ|=
2.根据抛物线的定义可得,|PF|=|PP1|,所以====,故选C.7.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+1交于P、Q两点,若|PQ|=,则抛物线的方程为 A.y2=-4xB.y2=12xC.y2=-4x或y2=12xD.以上都不对答案 C解析 由题意设抛物线的方程为y2=2px,联立方程得消去y,得4x2-2p-4x+1=0,设Px1,y1,Qx2,y2,则x1+x2=,x1x2=.|PQ|=|x1-x2|=·=·=,所以=,p2-4p-12=0,p=-2或6,所以y2=-4x或y2=12x.8.2018·衡水中学调研过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,则+= A.2B.4C.D.答案 D解析 根据题意,抛物线的焦点为0,1,设直线AB的方程为y=kx+1k≠0,直线CD的方程为y=-x+1,由得y2-2+4k2y+1=0,由根与系数的关系得yA+yB=2+4k2,所以|AB|=yA+yB+2=4+4k2,同理|CD|=yC+yD+2=4+,所以+=+=,故选D.9.2018·福州外国语学校适应性考试已知双曲线C-=1a0,b0的焦距为2,抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.x2-=1D.-y2=1答案 D解析 由题意可得c=,即a2+b2=5,双曲线的渐近线方程为y=±x.将渐近线方程和抛物线方程y=x2+联立,可得x2±x+=0,由渐近线和抛物线相切可得Δ=-4××=0,即有a2=4b2,又a2+b2=5,解得a=2,b=1,可得双曲线的方程为-y2=
1.故选D.10.2018·天津红桥区期末已知双曲线-=1a0,b0的两条渐近线与抛物线y2=2pxp0的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= A.1B.C.2D.3答案 C解析 因为双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线方程是y=±x.又抛物线y2=2pxp0的准线方程是x=-,故A,B两点的纵坐标分别是y=±.因为双曲线的离心率为2,所以=2,所以=3,则=,A,B两点的纵坐标分别是y=±=±.又△AOB的面积为,x轴是∠AOB的平分线,所以×p×=,解得p=
2.故选C.11.设F为抛物线C y2=2pxp0的焦点,过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点B在第一象限,A在第四象限,O为坐标原点,过A作C的准线的垂线,垂足为M,则|OB|与|OM|的比值为 A.B.2C.3D.4答案 C解析 抛物线C y2=2pxp0的焦点F,0,准线x=-,直线AB y=x-,与抛物线方程联立,消去x得,y2-2py-p2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1=-p,y2=p,故M-,-p,则|OM|==p,将y2=p代入直线AB的方程得x2=p,故Bp,p,则|OB|==p,所以|OB|=3|OM|.故选C.12.2018·河南郑州二测过点P-1,0作直线与抛物线y2=8x相交于A,B两点,且2|PA|=|AB|,则点B到该抛物线焦点的距离为________.答案 5解析 设AxA,yA,BxB,yB,由相似三角形知识可知=.
①设直线的斜率为k,则其方程为y-0=kx+1,即y=kx+k,由可得ky2-8y+8k=0,则yA·yB=
8.
②由
①②可得yB2=24=8xB,所以xB=3,由抛物线的定义可知点B到焦点的距离为3+=
5.13.2018·湖北部分重点高中联考已知双曲线C2与椭圆C1+=1具有相同的焦点,则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________.答案 解析 设双曲线的方程为-=1a0,b0,由题意知a2+b2=4-3=1,由解得交点的坐标满足由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知,以它们的交点为顶点的四边形是长方形,其面积S=4|xy|=4·=8··≤8·=4,当且仅当a2=1-a2,即a2=时,取等号,此时双曲线的方程为-=1,离心率e=.14.2018·淮南一模过椭圆+=1ab0上的动点P作圆x2+y2=b2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,直线AB与x轴,y轴分别交于M,N,则△MONO为坐标原点面积的最小值为________.答案 解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,则直线PA x1x+y1y=b2,直线PB x2x+y2y=b
2.因为Px0,y0在直线PA,PB上,所以可得直线AB的方程为x0x+y0y=b2,得M,0,N0,,则△MON的面积S△MON==·≥·=,当且仅当||=||时等号成立.15.2018·湖南永州一模已知椭圆C+=1ab0的焦距为2,离心率为,y轴上一点Q的坐标为0,3.1求该椭圆的方程;2若对于直线l y=x+m,椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称,且3·32,求实数m的取值范围.答案 1+y2=1 2-,解析 1由题意知c=1,=,所以a=,b=
1.所以所求椭圆的方程为+y2=
1.2方法一由题意设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB方程为y=-x+n.联立消去y并整理可得3x2-4nx+2n2-2=0,由Δ=-4n2-122n2-2=24-8n20,解得-n.x1+x2=,x1x2=,设直线AB的中点为Px0,y0,则x0==,由点P在直线AB上得y0=-+n=,又点P在直线l上,=+m,所以m=-∈-,.
①又=x1,y1-3,=x2,y2-3,∴·-=x1,y1-3·x2,y2-3-=x1x2+y1-3y2-3-=n2-2n-3=9m2+6m-3=33m-1m+10,解得-1m,
②综合
①②式,得m的取值范围为-,.方法二由题意设Ax1,y1,Bx2,y2,直线AB的中点为Px,y,则2x=x1+x2,2y=y1+y2,将A,B两点分别代入椭圆方程,并联立两式相减得x12-x22+2y12-y22=0,即x1-x2x1+x2+2y1-y2y1+y2=
0.又AB⊥l,所以kAB==-1,所以,AB的中点P的轨迹方程为y=x.由得即P-2m,-m.又∵P在椭圆内,∴+-m21,即m2,即-m,
①另一方面,易知直线AB的方程为y=-x-3m.联立消去y并整理得3x2+12mx+18m2-2=0,∴x1+x2=-4m,x1x2=.又=x1,y1-3,=x2,y2-3,∴·-=x1,y1-3·x2,y2-3-=x1x2+y1-3y2-3-=2x1x2+3m+3x1+x2+9m2+18m+9-=9m2+6m-3=33m-1m+10,解得-1m.
②综合
①②式,得m的取值范围为-,.16.2016·课标全国Ⅱ,理已知椭圆E+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为kk0的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.1当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;2当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.答案 1 2,2解析 1设Mx1,y1,则由题意知y
10.当t=4时,E的方程为+=1,A-2,0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+
2.将x=y-2代入+=1,得7y2-12y=
0.解得y=0或y=,∵y10,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.2由题意知t3,k0,A-,0.将直线AM的方程y=kx+代入+=1,得3+tk2x2+2·tk2x+t2k2-3t=
0.由x1·-=,得x1=,故|AM|=|x1+|=.由题设知,直线AN的方程为y=-x+,故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|,得=,即k3-2t=3k2k-1.当k=时上式不成立,因此t=.t3等价于=0,即
0.由此得或解得k
2.因此k的取值范围是,2.1.2017·北京大兴一中月考已知双曲线C-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1⊥PF2,则C的离心率为 A.B.C.2D.答案 D解析 取双曲线C的渐近线为y=x.因为F1-c,0,F2c,0,所以过F2作平行于渐近线y=x的直线PF2的方程为y=x-c.因为PF1⊥PF2,所以直线PF1的方程为y=-x+c.联立方程组得点P的坐标为,-.因为点P在双曲线C上,所以-=1,即-=
1.因为c2=a2+b2,所以-=1,整理得c2=5a
2.因为e=1,所以e=.故选D.2.已知双曲线x2-=1,过点A1,1的直线l与双曲线只有一个公共点,则l的条数为 A.4B.3C.2D.1答案 A解析
①斜率不存在时,方程为x=1符合.
②设斜率为k,y-1=kx-1,kx-y-k+1=
0. 4-k2x2+2k2-2kx-k2+2k-5=
0.当4-k2=0,k=±2时符合;当4-k2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共4条.3.已知双曲线T-y2=1,过点B-2,0的直线交双曲线于A点A不是双曲线的顶点,若AB的中点Q在直线y=x上,点P为双曲线T上异于A,B的任意一点不是双曲线的顶点,直线AP,BP分别交直线y=x于M,N两点,O为坐标原点,则·= A.-B.-C.-D.-8答案 A解析 因为AB的中点Q在直线y=x上,B-2,0,所以A,.设Px0,y0,当直线AP的斜率不存在时,易知P,-,M,,N-,-,此时·=×-+×-=-.当直线AP的斜率存在时,则直线AP的方程是y-=x-,与直线y=x联立得xM=yM=.直线BP的方程为y=x+2,与直线y=x联立得xN=yN=.因为-y02=1,所以·=xMxN+yMyN=2××=-.4.2017·福建福州质检已知F1,F2是双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=x对称,则该双曲线的离心率为________.答案 解析 由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=对称,则PF1⊥PF
2.又=,联立|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|2+|PF1|2=2c2,可得b3+a2b=2c2a.所以b=2a,e=.5.2018·河北石家庄模拟已知F1,F2分别为双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,M为△PF1F2的内心,满足S△MPF1=S△MPF2+λS△MF1F
2.若该双曲线的离心率为3,则λ=________.注S△MPF1,S△MPF2,S△MF1F2分别为△MPF1,△MPF2,△MF1F2的面积答案 解析 设△PF1F2内切圆的半径为r,则由题意,得×|PF1|×r=×|PF2|×r+λ××|F1F2|×r,即|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|=λ·2c,又由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,所以2a=λ·2c,即λ===.6.已知抛物线C y2=2pxp0的焦点为F,抛物线C与直线l1y=-x的一个交点的横坐标为
8.1求抛物线C的方程;2不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线相交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.答案 1y2=8x 224解析 1易知直线与抛物线的交点坐标为8,-8,∴-82=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x.2直线l2与l1垂直,故可设直线l2x=y+m,Ax1,y1,Bx2,y2,直线l2与x轴的交点为M.由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m0,∴m-
2.y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m
2.由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,∴m=8或m=0舍,∴直线l2x=y+8,M8,0.故S△FAB=S△FMB+S△FMA=·|FM|·|y1-y2|=3=
24.7.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.1若=2,求直线AB的斜率;2设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.答案 1±2 24解析 1依题意知F1,0,设直线AB的方程为x=my+
1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x,得y2-4my-4=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,所以y1+y2=4m,y1y2=-
4.
①因为=2,所以y1=-2y
2.
②联立
①和
②,消去y1,y2,得m=±.所以直线AB的斜率是±
2.2由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点.从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2|==4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是
4.8.2018·河南洛阳第一次统考已知抛物线C x2=2pyy0,过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点.1若AB∥l,且△ABD的面积为1,求抛物线C的方程;2设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N,证明直线AN与抛物线相切.答案 1x2=2y 2略解析 1∵AB∥l,∴|FD|=p,|AB|=2p.∴S△ABD=p2=
1.∴p=
1.∴抛物线C的方程为x2=2y.2证明设直线AB的方程为y=kx+,联立得x2-2kpx-p2=
0.
①设方程
①的两根分别为x1,x2,则x1+x2=2kp,x1x2=-p
2.设Ax1,,Bx2,.设Mkp,k2p+,Nkp,-.∴kAN=====.又∵x2=2py,∴y′=.∴抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=.∴直线AN与抛物线相切.。