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第一讲空间几何体
一、选择题1.2018·广州模拟如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图等腰直角三角形和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是 解析由题意可得该几何体可能为四棱锥,如图所示,其高为2,底面为正方形,面积为2×2=4,因为该几何体的体积为×4×2=,满足条件,所以俯视图可以为一个直角三角形.故选D.答案D2.2018·高考全国卷Ⅰ已知圆柱的上、下底面的中心分别为O
1、O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A.12π B.12πC.8πD.10π解析设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=2,∴S圆柱表=2S底+S侧=2×π×2+2π××2=12π.故选B.答案B3.2018·合肥模拟如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A.5π+18B.6π+18C.8π+6D.10π+6解析由三视图可知,该几何体由一个半圆柱与两个半球构成,故其表面积为4π×12+×2×π×1×3+2××π×12+3×2=8π+
6.故选C.答案C4.2018·沈阳模拟某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是 A.4+4B.4+2C.8+4D.解析由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥PABCD,如图所示,其中PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2,AB=2,PB=2,所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和,即S=2××2×2+×2×2=4+4,故选A.答案A5.2018·聊城模拟在三棱锥PABC中,已知PA⊥底面ABC,∠BAC=120˚,PA=AB=AC=2,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 A.10πB.18πC.20πD.9π解析该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥PABC,PA=AB=AC=2,所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球,所以外接球的直径2R==2⇒R=,所以该球的表面积为4πR2=20π.答案C6.2018·高考全国卷Ⅰ某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 A.2B.2C.3D.2解析先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图
①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置N为OP的四等分点如图
②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,∴|MN|===
2.故选B.答案B7.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=3,点M是BB1的中点,则三棱锥C1AMC的体积为 A.B.C.2D.2解析取BC的中点D,连接AD.在正三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC为正三角形,所以AD⊥BC,又BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD,又BB1∩BC=B,所以AD⊥平面BCC1B1,即AD⊥平面MCC1,所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中,AB=2,所以AD=,又AA1=3,点M是BB1的中点,所以S△MCC1=S矩形BCC1B1=×2×3=3,所以VC1-AMC=VAMCC1=×3×=.答案A8.如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形,NB=2PN,则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为 A.1∶2B.1∶8C.1∶6D.1∶3解析由NB=2PN可得=.设三棱锥NPAC的高为h1,三棱锥BPAC的高为h,则==.又四边形ABCD为平行四边形,所以点B到平面PAC的距离与点D到平面PAC的距离相等,所以三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为==.答案D9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,∠ASC=∠BSC=30˚,则棱锥SABC的体积最大为 A.2B.C.D.2解析如图,因为球的直径为SC,且SC=4,∠ASC=∠BSC=30˚,所以∠SAC=∠SBC=90˚,AC=BC=2,SA=SB=2,所以S△SBC=×2×2=2,则当点A到平面SBC的距离最大时,棱锥ASBC即SABC的体积最大,此时平面SAC⊥平面SBC,点A到平面SBC的距离为2sin30˚=,所以棱锥SABC的体积最大为×2×=2,故选A.答案A
二、填空题10.2018·洛阳统考已知点A,B,C,D均在球O上,AB=BC=,AC=
2.若三棱锥DABC体积的最大值为3,则球O的表面积为________.解析由题意可得,∠ABC=,△ABC的外接圆半径r=,当三棱锥的体积最大时,VDABC=S△ABC·hh为D到底面ABC的距离,即3=×××h⇒h=3,即R+=3R为外接球半径,解得R=2,∴球O的表面积为4π×22=16π.答案16π11.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为4,则该几何体的体积为________.解析由三视图可知该几何体为一个长方体挖掉半个圆柱,所以其体积为2×4×8-×π×22×2=64-4π.答案64-4π12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为________.解析由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥ABCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△ABC=S△ABE=×1×=,S△ADE=,S△ACD=×1×=,故面积最大的侧面的面积为.答案13.2018·福州四校联考已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上,AB为球O的直径,若该三棱锥的体积为,BC=3,BD=,∠CBD=90˚,则球O的体积为________.解析设A到平面BCD的距离为h,∵三棱锥的体积为,BC=3,BD=,∠CBD=90˚,∴××3××h=,∴h=2,∴球心O到平面BCD的距离为
1.设CD的中点为E,连接OE,则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD,∵△BCD外接圆的直径CD=2,∴球O的半径OD=2,∴球O的体积为.答案。