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第2讲解三角形A组 小题提速练
一、选择题1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b= A. B.C.2D.3解析由余弦定理,得4+b2-2×2bcosA=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-舍去,故选D.答案D2.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= A.10B.9C.8D.5解析化简23cos2A+cos2A=0,得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cosA=.由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA,代入数据,解方程,得b=
5.答案D3.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC= A.5B.C.2D.1解析由题意可得AB·BC·sinB=,又AB=1,BC=,所以sinB=,所以B=45°或B=135°.当B=45°时,由余弦定理可得AC==1,此时AC=AB=1,BC=,易得A=90°,与已知条件“钝角三角形”矛盾,舍去.所以B=135°.由余弦定理可得AC==.答案B4.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=2,S△ABC=,则b的值为 A.B.C.2D.2解析由S△ABC=bcsinA=bc×=,解得bc=
3.因为A为锐角,sinA=,所以cosA=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,代入数据解得b2+c2=6,则b+c2=12,b+c=2,所以b=c=,故选A.答案A5.2017·高考全国卷Ⅲ函数fx=sin+cos的最大值为 A.B.1C.D.解析法一∵fx=sin+cos=+cosx+sinx=sinx+cosx+cosx+sinx=sinx+cosx=sin,∴当x=+2kπk∈Z时,fx取得最大值.故选A.法二∵+=,∴fx=sin+cos=sinx++cos-x=sin+sin=sin≤.∴fxmax=.故选A.答案A6.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b21-sinA,则A= A.B.C.D.解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA,所以2b21-sinA=2b21-cosA,所以sinA=cosA,即tanA=1,又0Aπ,所以A=.答案C7.2018·兰州诊断考试在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB,则B= A.B.C.D.解析根据题意结合正弦定理,得sinBsinA=sinAcosB.因为sinA≠0,所以sinB=cosB,即=tanB=,所以B=,故选C.答案C8.2018·南昌调研在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=,则角C= A.B.C.或D.或解析在△ABC中,由余弦定理得cosA=,即=,所以b2+c2-a2=bc.又b2=a2+bc,所以c2+bc=bc,即c=-1bb,则a=b,所以cosC==,解得C=.故选B.答案B9.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形的形状是 A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析因为=,由正弦定理得=,所以sin2A=sin2B.由=,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈0,π,所以2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,于是△ABC是直角三角形.故选A.答案A10.已知△ABC中,内角A、B、C成等差数列,其对边为a、b、c,若a、b、c成等比数列,则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析∵内角A、B、C成等差数列,∴A+C=2B.又A+B+C=π.∴B=,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac.又b2=ac,∴a2+c2-ac=ac,即a-c2=0,∴a=c,又B=,∴△ABC为等边三角形;选B.答案B11.在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC面积的最大值为 A.B.C.D.3解析设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∵·=|-|=3,∴bccosA=a=
3.又cosA=≥1-=1-,∴cosA≥,∴0<sinA≤,∴△ABC的面积S=bcsinA=tanA≤×=,故△ABC面积的最大值为.答案B12.2017·高考全国卷Ⅰ△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinAsinC-cosC=0,a=2,c=,则C= A.B.C.D.解析因为a=2,c=,所以由正弦定理可知,=,故sinA=sinC.又B=π-A+C,故sinB+sinAsinC-cosC=sinA+C+sinAsinC-sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=sinA+cosAsinC=
0.又C为△ABC的内角,故sinC≠0,则sinA+cosA=0,即tanA=-
1.又A∈0,π,所以A=.从而sinC=sinA=×=.由A=知C为锐角,故C=.故选B.答案B
二、填空题13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bsinA=acosB,则角B的大小为________.解析∵bsinA=acosB,由正弦定理,得sinBsinA=sinAcosB.∵sinA≠0,∴sinB=cosB,∵B为△ABC内角,∴B=.答案14.2017·高考北京卷在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cosα-β=________.解析由题意知α+β=π+2kπk∈Z,∴β=π+2kπ-αk∈Z,sinβ=sinα,cosβ=-cosα.又sinα=,∴cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-.答案-15.在△ABC中,若C=60°,AB=2,则AC+BC的取值范围为________.解析设角A,B,C的对边分别为a,b,c.由题意,得c=
2.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,即4=a2+b2-ab=a+b2-3ab≥a+b2,得a+b≤
4.又由三角形的性质可得a+b2,综上可得2a+b≤
4.答案24]16.2018·吉林三校联考在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=2a2,则cosA的最小值为________.解析因为b2+c2=2a2,则由余弦定理可知a2=2bccosA,所以cosA==×≥×=当且仅当b=c时等号成立,即cosA的最小值为.答案B组 大题规范练
1.如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=
4.1求∠ACP;2若△APB的面积是,求sin∠BAP.解析1在△APC中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2·AP·AC·cos∠PAC.所以22=AP2+4-AP2-2·AP·4-AP·cos60°,整理得AP2-4AP+4=
0.解得AP=
2.所以AC=2,所以△APC是等边三角形,所以∠ACP=60°.2由于∠APB是△APC的外角,所以∠APB=120°.因为△APB的面积是,所以·AP·PB·sin∠APB=,所以PB=
3.在△APB中,AB2=AP2+PB2-2·AP·PB·cos∠APB=22+32-2×2×3×cos120°=19,所以AB=.在△APB中,由正弦定理得=,所以sin∠BAP==.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=
2.1求c;2设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解析1因为sinA+cosA=0,所以sinA=-cosA,所以tanA=-.因为A∈0,π,所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,代入a=2,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6舍去或c=4,所以c=
4.2由1知c=
4.因为c2=a2+b2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC,所以cosC=,所以sinC=,所以tanC=.在Rt△CAD中,tanC=,所以=,即AD=.则S△ADC=×2×=,由1知S△ABC=·bc·sinA=×2×4×=2,所以S△ABD=S△ABC-S△ADC=2-=.
3.如图,我国海监船在D岛海域例行维权巡航,某时刻航行至A处,此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只,且D岛位于海监船正东14海里处.1求此时该外国船只与D岛的距离;2观测中发现,此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.为了将该船拦截在离D岛12海里处,不让其进入D岛12海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值.参考数据sin36°52′≈
0.6,sin53°08′≈
0.8解析1依题意,在△ABD中,∠DAB=45°,由余弦定理得DB2=AD2+AB2-2AD·AB·cos45°=142+162-2×14×16×=200,所以DB=10,即此时该外国船只与D岛的距离为10海里.2过点B作BC⊥AD于点C,在Rt△ABC中,AC=BC=8,所以CD=AD-AC=6,以D为圆心,12为半径的圆交BC于点E,连接AE,DE,在Rt△DEC中,CE==6,所以BE=2,又AE==10,所以sin∠EAC==⇒∠EAC≈36°52′,外国船只到达点E的时间t==小时,所以海监船的速度v≥=20海里/小时,故海监船的航向为北偏东90°-36°52′=53°08′,速度的最小值为20海里/小时.4.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且4bsinA=a.1求sinB的值;2若a,b,c成等差数列,且公差大于0,求cosA-cosC的值.解析1由4bsinA=a,根据正弦定理得4sinBsinA=sinA,所以sinB=.2由已知和正弦定理以及1得sinA+sinC=
①,设cosA-cosC=x
②,
①2+
②2,得2-2cosA+C=+x2
③,又abc,ABC,所以0B,cosAcosC,故cosA+C=-cosB=-,代入
③式得x2=,因此cosA-cosC=.。