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第1讲直线与圆锥曲线的位置关系A组 小题提速练
一、选择题1.若直线l1a-1x+y-1=0和直线l23x+ay+2=0垂直,则实数a的值为 A. B.C.D.解析由已知得3a-1+a=0,解得a=,故选D.答案D2.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的 A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为两条直线平行,所以斜率相等,即-=-,可得ab=4,又当a=1,b=4时,满足ab=4,但是两直线重合,故选C.答案C3.当a为任意实数时,直线a-1x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为 A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0解析由a-1x-y+a+1=0得x+1a-x+y-1=0,由x+1=0且x+y-1=0,解得x=-1,y=2,即该直线恒过点-12,∴所求圆的方程为x+12+y-22=5,即x2+y2+2x-4y=
0.答案C4.2018·北京西城区模拟与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 A.x+22+y-22=2B.x-22+y+22=2C.x+22+y+22=2D.x-22+y-22=2解析由题意知,曲线为x-62+y-62=18,过圆心66作直线x+y-2=0的垂线,垂线方程为y=x,则所求的最小圆的圆心必在直线y=x上,又66到直线x+y-2=0的距离d==5,故最小圆的半径为,圆心坐标为22,所以标准方程为x-22+y-22=
2.答案D5.一束光线从圆C的圆心C-11出发,经x轴反射到圆C1x-22+y-32=1上的最短路程刚好是圆C的直径,则圆C的方程为 A.x+12+y-12=4B.x+12+y-12=5C.x+12+y-12=16D.x+12+y-12=25解析圆C1的圆心C1的坐标为23,半径为r1=
1.点C-11关于x轴的对称点C′的坐标为-1,-1.因为C′在反射线上,所以最短路程为|C′C1|-r1,即-1=
4.故圆C的半径为r=×4=2,所以圆C的方程为x+12+y-12=4,故选A.答案A6.圆x+22+y2=4与圆x-22+y-12=9的位置关系为 A.内切B.相交C.外切D.相离解析两圆的圆心距离为,两圆的半径之差为
1、半径之和为5,而15,所以两圆相交.答案B7.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 A.30B.18C.6D.5解析由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为22,半径为3,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为+3=8,最小距离为-3=2,故最大距离与最小距离的差为
6.答案C8.在平面直角坐标系xOy中,设直线y=-x+2与圆x2+y2=r2r>0交于A,B两点,O为坐标原点.若圆上一点C满足=+,则r= A.2B.C.2D.解析已知=+,两边平方化简得·=-r2,所以cos∠AOB=-,所以cos=,圆心O00到直线的距离为=,所以=,解得r=.答案B9.已知直线l过圆x2+y-32=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程为 A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析由已知得,圆心为03,所求直线的斜率为1,由直线方程的斜截式得y=x+3,即x-y+3=0,故选D.答案D10.已知直线x+y-k=0k0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B.O是坐标原点,且有|+|≥||,那么k的取值范围是 A.,+∞B.[,+∞C.[,2D.[,2解析当|+|=||时,O,A,B三点为等腰三角形的三个顶点,其中OA=OB,∠AOB=120°,从而圆心O到直线x+y-k=0k0的距离为1,此时k=;当k时,|+|||,又直线与圆x2+y2=4有两个不同的交点,故k
2.综上,k的取值范围为[,2.答案C11.2018·唐山一中调研点P4,-2与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.x-22+y+12=1B.x-22+y+12=4C.x+42+y-22=4D.x+22+y-12=1解析设圆上任意一点为x1,y1,中点为x,y,则,即,代入x2+y2=4,得2x-42+2y+22=4,化简得x-22+y+12=
1.答案A12.已知圆x2+y2-4ax+2by+b2=0a0,b0关于直线x-y-1=0对称,则ab的最大值是 A.B.C.D.解析由圆x2+y2-4ax+2by+b2=0a0,b0关于直线x-y-1=0对称,可得圆心2a,-b在直线x-y-1=0上,故有2a+b-1=0,即2a+b=1≥2,解得ab≤,故ab的最大值为,故选B.答案B
二、填空题13.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M0,在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.解析设圆心为a0a0,则圆心到直线2x-y=0的距离d==,得a=2,半径r==3,所以圆C的方程为x-22+y2=
9.答案x-22+y2=914.点P12和圆C x2+y2+2kx+2y+k2=0上的点的距离的最小值是________.解析圆的方程化为标准式为x+k2+y+12=
1.∴圆心C-k,-1,半径r=
1.易知点P12在圆外.∴点P到圆心C的距离为|PC|==≥
3.∴|PC|min=
3.∴点P和圆C上点的最小距离dmin=|PC|min-r=3-1=
2.答案215.过点M12的直线l与圆C x-32+y-42=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是________.解析验证得M12在圆内,当∠ACB最小时,直线l与CM垂直,又圆心为34,则kCM==1,则kl=-1,故直线l的方程为y-2=-x-1,整理得x+y-3=
0.答案x+y-3=0B组 大题规范练
1.若椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F
1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3∶1的两段.1求椭圆的离心率;2如图,过点C-10的直线l交椭圆于不同两点A,B,且=2,当△AOB的面积最大时,求直线l和椭圆的方程.解析1由题意知c+=3,∴b=c,a2=2b2,e===.2设直线l x=ky-1,Ax1,y1,Bx2,y2,∵=2,∴-1-x1,-y1=2x2+1,y2,即2y2+y1=0,
①由1知a2=2b2,∴椭圆方程为x2+2y2=2b
2.由消去x得k2+2y2-2ky+1-2b2=0,∴y1+y2=,
②y1y2=,
③由
①②知y2=-,y1=.∵S△AOB=|y1|+|y2|=|y1-y2|,∴S=3·=3·≤3·=,当且仅当|k|2=2,即k=±时取等号,此时直线的方程为x=y-1或x=-y-
1.又当|k|2=2时,y1y2=·=-=-1,∴由y1y2=得b2=,∴椭圆方程为+=
1.2.2017·贵州兴义八中月考已知点M,在椭圆C+=1ab0上,且椭圆的离心率为.1求椭圆C的方程;2若斜率为1的直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P-32,求△PAB的面积.解析1由已知得解得故椭圆C的方程为+=
1.2设直线l的方程为y=x+m,Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点为Dx0,y0.由消去y,整理得4x2+6mx+3m2-12=0,则x0==-m,y0=x0+m=m,即D.因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PD⊥AB,即PD的斜率k==-1,解得m=
2.此时x1+x2=-3,x1x2=0,则|AB|=|x1-x2|=·=3,又点P到直线l x-y+2=0的距离为d=,所以△PAB的面积为S=|AB|·d=.3.已知P是圆C x2+y2=4上的动点,P在x轴上的射影为P′,点M满足=′,当P在圆C上运动时,点M形成的轨迹为曲线E.1求曲线E的方程;2经过点A02的直线l与曲线E相交于点C,D,并且=,求直线l的方程.解析1如图,设Mx,y,则Px2y在圆C x2+y2=4上.所以x2+4y2=4,即曲线E的方程为+y2=
1.2经检验,当直线l⊥x轴时,题目条件不成立,所以直线l的斜率存在如图.设直线l y=kx+2,Cx1,y1,Dx2,y2,则联立⇒1+4k2x2+16kx+12=
0.Δ=16k2-41+4k2·120,得k
2.x1+x2=-,
①x1x2=.
②又由=,得x1=x2,将它代入
①,
②得k2=1,k=±1满足k2.所以直线l的斜率为k=±
1.所以直线l的方程为y=±x+
2.4.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F10,其准线与x轴的交点为K,过点K的直线l与C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.1证明点F在直线BD上;2设·=,求△BDK内切圆M的方程.解析1证明由题设可知K-10,抛物线的方程为y2=4x,则可设直线l的方程为x=my-1,Ax1,y1,Bx2,y2,Dx1,-y1,故整理得y2-4my+4=0,故则直线BD的方程为y-y2=x-x2,即y-y2=,令y=0,得x==1,所以F10在直线BD上.2由1可知所以x1+x2=my1-1+my2-1=4m2-2,x1x2=my1-1my2-1=1,又=x1-1,y1,=x2-1,y2,故·=x1-1x2-1+y1y2=x1x2-x1+x2+5=8-4m2,则8-4m2=,∴m=±,故直线l的方程为3x+4y+3=0或3x-4y+3=0,y2-y1=±=±=±,故直线BD的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0,又KF为∠BKD的平分线,故可设圆心Mt0-1t1,Mt0到直线l及BD的距离分别为,,由=,得t=或t=9舍去.故圆M的半径为r==,所以圆M的方程为2+y2=.单独成册对应学生用书第137页二A组 小题提速练
一、选择题1.椭圆+=1的离心率是 A. B.C.D.解析∵椭圆方程为+=1,∴a=3,b=2,c===.∴e==.故选B.答案B2.已知F为双曲线C x2-my2=3mm0的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为 A.B.3C.mD.3m解析双曲线方程为-=1,焦点F到一条渐近线的距离为b=.选A.答案A3.已知双曲线-=1a0的离心率为2,则a= A.2B.C.D.1解析因为双曲线的方程为-=1,所以e2=1+=4,因此a2=1,a=
1.选D.答案D4.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为 A.B.2C.4D.8解析抛物线y2=16x的准线方程是x=-4,所以点A-42在等轴双曲线C x2-y2=a2a0上,将点A的坐标代入得a=2,所以C的实轴长为
4.答案C5.已知圆x+22+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N20,线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|,由椭圆定义知,点P的轨迹是椭圆.答案B6.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是 A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1解析A、B选项中双曲线的焦点在x轴上,C、D选项中双曲线的焦点在y轴上,又令-x2=0,得y=±2x,令y2-=0,得y=±x,故选C.答案C7.已知双曲线-=1a0,b0的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析由题意得c=,=,则a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=
1.答案A8.已知双曲线C-=1a0,b0的焦距为10,点P21在C的一条渐近线上,则C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析依题意,解得,∴双曲线C的方程为-=
1.答案A9.已知双曲线C-=1的离心率e=,且其右焦点为F250,则双曲线C的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析由题意得e==,又右焦点为F250,a2+b2=c2,所以a2=16,b2=9,故双曲线C的方程为-=
1.答案C10.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0ab0表示的曲线大致是 解析将方程a2x2+b2y2=1变形为+=1,∵ab0,∴,∴椭圆焦点在y轴上.将方程ax+by2=0变形为y2=-x,∵ab0,∴-0,∴抛物线焦点在x轴负半轴上,开口向左.故选D.答案D11.2017·高考天津卷已知双曲线-=1a>0,b>0的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形O为原点,则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1解析根据题意画出草图如图所示.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60°,c=|OF|=
2.又点A在双曲线的渐近线y=x上,∴=tan60°=.又a2+b2=4,∴a=1,b=,∴双曲线的方程为x2-=
1.故选D.答案D12.已知双曲线-=1b0,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线方程为-=1,选D.答案D
二、填空题13.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=________.解析由椭圆的焦距为4得c=2,当2a6时,椭圆的焦点在x轴上,则10-a-a-2=4,解得a=4;当6a10时,椭圆的焦点在y轴上,则a-2-10-a=4,解得a=
8.故a=4或a=
8.答案4或814.2018·山西四校联考过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,则弦长|AB|为________.解析设Ax1,y1,Bx2,y2,易得抛物线的焦点是F10,所以直线AB的方程是y=x-1,联立消去y得x2-6x+1=0,所以x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+2=
8.答案815.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1a0,b0的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为____________.解析由抛物线y2=8x可知准线方程为x=-2,所以双曲线的左焦点为-20,即c=2;又因为双曲线的离心率为2,所以e==2,故a=1,由a2+b2=c2知b2=3,所以该双曲线的方程为x2-=
1.答案x2-=116.已知双曲线E-=1a0,b0.矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以=6c2b2=3ac,=3e2e2-1=3e2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-舍去.答案2B组 大题规范练1.过双曲线-=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.1求|AB|;2求△AOB的面积.解析1由题意得a2=3,b2=6,∴c2=9,∴F230.直线方程为y=x-3,∴由得2x2-2=
6.即5x2+6x-27=0,∴x=-3或x=.∴则A,B-3,-2∴|AB|==.2由1得直线方程为x-3y-3=0,∴00到直线的距离d==,∴S△AOB=|AB|d=××=.2.已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2-2x=0的圆心重合,且椭圆过点,1.1求椭圆的标准方程;2过点P01的直线与该椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.解析1设椭圆的方程为+=1a>b>0,c为半焦距,由c=得a2-b2=2,
①∵椭圆过点,1,∴+=1,
②由
①②解得a2=4,b2=2,即所求椭圆的标准方程为+=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,由=2,有设直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理得2k2+1x2+4kx-2=0,解得x=,设x1=,x2=,则-=2·,解得k2=,所以△AOB的面积S=|OP|·|x1-x2|=·==.3.已知椭圆Γ+=1ab0经过点M,且离心率为.1求椭圆Γ的方程;2设点M在x轴上的射影为点N,过点N的直线l与椭圆Γ相交于A,B两点,且+3=0,求直线l的方程.解析1由已知可得+=1,=,解得a=2,b=1,所以椭圆Γ的方程为+y2=
1.2由已知N的坐标为,0,当直线l斜率为0时,直线l为x轴,易知+3=0不成立.当直线l斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+,代入+y2=1,整理得4+m2y2+2my-1=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=,
①y1y2=,
②由+3=0,得y2=-3y1,
③由
①②③解得m=±.所以直线l的方程为x=±y+,即y=±x-.
4.如图所示,抛物线y2=4x的焦点为F,动点T-1,m,过F作TF的垂线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的中点为N.1证明线段NT平行于x轴或在x轴上;2若m0且|NF|=|TF|,求m的值及点N的坐标.解析1证明易知抛物线的焦点为F10,准线方程为x=-1,动点T-1,m在准线上,则kTF=-.当m=0时,T为抛物线准线与x轴的交点,这时PQ为抛物线的通径,点N与焦点F重合,显然线段NT在x轴上.当m≠0时,由条件知kPQ=,所以直线PQ的方程为y=x-1,联立得x2-2+m2x+1=0,Δ=[-2+m2]2-4=m24+m20,设Px1,y1,Qx2,y2,可知x1+x2=2+m2,y1+y2=x1+x2-2=2m.所以弦PQ的中点N.又T-1,m,所以kNT=0,则NT平行于x轴.综上可知,线段NT平行于x轴或在x轴上.2已知|NF|=|TF|,在△TFN中,tan∠NTF==1⇒∠NTF=45°,设A是准线与x轴的交点,则△TFA是等腰直角三角形,所以|TA|=|AF|=2,又动点T-1,m,其中m0,则m=
2.因为∠NTF=45°,所以kPQ=tan45°=1,又焦点F10,可得直线PQ的方程为y=x-
1.由m=2,得T-12,由1知线段NT平行于x轴,设Nx0,y0,则y0=2,代入y=x-1,得x0=3,所以N32.。