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2.3幂函数(第二课时)本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用:幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法后研究幂函数的图象和性质.而且在研究幂函数的过程中对第二章函数的单调性、奇偶性和反函数的知识进行再现.
1.教学重点从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质
2.教学难点从幂函数的图象中概括其性质
一、复习引入
(1)幂函数的定义及性质总结填写下表定义域值域奇偶性单调性定点
二、讲授新课问题1我们知道,分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式,再指出它的定义域和奇偶性.利用计算机画出它们的图象,观察它们的图象,看有什么共同点?
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=.问题2仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性,观察它们的图象看有什么共同点?
(1)y=x-1;
(2)y=x-2;
(3)y=;
(4)y=.思路先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式,函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合;
(1)
(2)
(4)的定义域都是{x|x≠0},
(3)的定义域是(0,+);
(1)
(4)是奇函数,
(2)是偶函数,
(3)既不是奇函数也不是偶函数.它们的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减,并且以两坐标轴为渐近线.总结研究幂函数时,通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式);根据得到的分式或根式研究幂函数的性质.函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合;奇偶性和单调性直接利用定义进行判断.问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势,有利于我们进行类比.[例1]讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.[例2]比较下列各组中两个数的大小
(1)
1.5,
1.7;
(2)
0.
71.5,
0.
61.5;
(3)(-
1.2),(-
1.25).解析
(1)考查幂函数y=的单调性,在第一象限内函数单调递增,∵
1.5<
1.7∴
1.5<
1.7
(2)考查幂函数y=的单调性,同理
0.
71.5>
0.
61.5.
(3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,∵(-
1.2)=
1.2,(-
1.25)=
1.25,又
1.2>
1.25∴(-
1.2)>(-
1.25)点评比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是
(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;
(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.[例3]求函数y=+2x+4(x≥-32)值域.点评这是复合函数求值域的问题,应用换元法.
三、课时小结通过本节学习,大家能熟悉并掌握幂函数的图象,提高数学应用的能力.。