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章末检测试卷二时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1．已知双曲线－y2＝1a＞0的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是 A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案 D解析 ∵y2＝8x的焦点是20，∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a＞0，∴a＝＝，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是 A．k＞3B．2＜k＜3C．k＝2D．0＜k＜2答案 C解析 由9－k2＝k＋3，即k2＋k－6＝0，解得k＝2或－
3.又由题意知k29且k0，所以0k3，所以k＝
2.3．若双曲线的顶点为椭圆x2＋＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程为 A．x2－y2＝1B．y2－x2＝1C．x2－y2＝2D．y2－x2＝2答案 D解析 椭圆x2＋＝1的离心率为，则双曲线的离心率为，且双曲线的顶点为0，±，故选D.4．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于 A.或B.或2C.或2D.或考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题答案 A解析 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k2c＝3k，∴e＝＝＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k2c＝3k，∴e＝＝＝.5．双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，且双曲线的实轴长与虚轴长相等，则双曲线C的实轴长为 A.B．2C．4D．8答案 C解析 设双曲线的方程为－＝1a0，抛物线的准线为x＝－4，且|AB|＝4，故可得A－42，B－4，－2，将点A坐标代入双曲线方程，得a2＝4，故a＝2，故实轴长为
4.6．已知抛物线y2＝2pxp0，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2答案 B解析 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋.代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2y1，y2分别为点A，B的纵坐标，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－
1.
7.如图，F1，F2是双曲线C1x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是 A.B.C.D.答案 B解析 由题意知，|F1F2|＝|F1A|＝4，∵|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝2，∴|F1A|＋|F2A|＝6，∵|F1F2|＝4，∴C2的离心率是＝，故选B.8．设F1，F2分别为双曲线－＝1a0，b0的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|－|PF2|2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为 A.B.C．4D.答案 D解析 根据双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a，由|PF1|－|PF2|2＝b2－3ab可得4a2＝b2－3ab，即b2－3ab－4a2＝0，所以2－3－4＝0，解得＝4负值舍去．所以e＝＝＝＝＝.9．已知点A02，B20．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 A．4B．3C．2D．1答案 A解析 由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设Cx，x2，而lAB x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．因此满足条件的C点有4个，故选A.10．已知椭圆＋＝1a＞b＞0与双曲线－＝1m＞0，n＞0有相同的焦点－c0和c0，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是 A.B.C.D.答案 D解析 由题意可得解得＝，∴e＝＝.11．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，定点A的坐标为，则|PA|＋|PM|的最小值是 A.B．4C.D．5答案 C解析 如图|PM|＝|PF|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，当P，A，F三点共线时，|PM|＋|PA|的值最小，∴|PM|＋|PA|的最小值为|AF|－＝.12．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2其中O为坐标原点，则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是 A．2B．3C.D.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 如图，可设Am2，m，Bn2，n，其中m0，n0，则＝m2，m，＝n2，n，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1舍或mn＝－
2.∴lAB m2－n2y－n＝m－n·x－n2，即m＋ny－n＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C20，点C为直线AB与x轴的交点．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×－n＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为
3.
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13．椭圆3x2＋2y2＝1的短轴长为________．答案 14．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的标准方程为________________．答案 y2＝3x或y2＝－3x解析 设所求抛物线的方程为y2＝2mxm≠0，设交点Ax1，y1，Bx2，y2y10，y20，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1，将点1，，－1，分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m或3＝－2m，解得m＝或－，所以抛物线的标准方程为y2＝3x或y2＝－3x.15．已知双曲线－＝1a0，b0的一条渐近线过点2，，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为____________．答案 －＝1解析 由题意，得＝，∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，∴c＝，∴a2＋b2＝c2＝7，∴a＝2，b＝，∴双曲线的方程为－＝
1.16．已知抛物线y2＝4x，过点P40的直线与抛物线相交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，则y＋y的最小值是________．答案 32解析 若k不存在，则y＋y＝
32.若k存在，设直线AB的斜率为k，当k＝0时，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠
0.由题意，设直线AB的方程为y＝kx－4k≠0．由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－
16.∴y＋y＝y1＋y22－2y1y2＝2＋32＞
32.∴y＋y的最小值为
32.
三、解答题本大题共6小题，共70分17．10分已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为
2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程．解
①若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1ab0，c＝.设双曲线方程为－＝1，m＝a－
4.∵＝，易得a＝7，m＝
3.∴b2＝36，n2＝
4.∴椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝
1.
②若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为－＝
1.18．12分已知过抛物线y2＝2pxp0的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A，B两点，且|AB|＝
5.1求此抛物线方程；2若M12是抛物线上一点，求·的值．解 1∵焦点F，∴直线l的方程为y＝
2.由消去y，得4x2－6px＋p2＝
0.
①设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.2方程
①化为x2－3x＋1＝0，∴x1＋x2＝3，x1x2＝1，直线l的方程为y＝2x－2，∴·＝x1－1，y1－2x2－1，y2－2＝x1－1x2－1＋y1－2y2－2＝x1－1x2－1＋2x1－42x2－4＝5x1x2－9x1＋x2＋17＝5－27＋17＝－
5.19．12分如图，F1，F2分别是椭圆C＋＝1ab0的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.1求椭圆C的离心率；2已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．解 1∠F1AF2＝60°等价于a＝2c等价于e＝＝.2设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a－m，在△BF1F2中，|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2||F1F2|cos120°，即2a－m2＝m2＋a2＋am，得m＝a.△AF1B的面积S＝|F1A||BA|sin60°，即×a××＝40，得a＝10，所以c＝5，b＝
5.综上a＝10，b＝
5.20．12分已知双曲线C1x2－＝
1.1求与双曲线C1有相同焦点，且过点P4，的双曲线C2的标准方程；2直线l y＝x＋m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点．当·＝3时，求实数m的值．解 1∵双曲线C1x2－＝1，∴焦点坐标为，0，－，0．设双曲线C2的标准方程为－＝1a0，b0，∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P4，，∴解得∴双曲线C2的标准方程为－y2＝
1.2双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝－2x.由可得x＝m，y＝2m，∴Am2m．由可得x＝－m，y＝m，∴B.∴·＝－m2＋m2＝m
2.∵·＝3，∴m2＝3，∴m＝±.21．12分已知抛物线C1x2＝4y的焦点F也是椭圆C2＋＝1ab0的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．1求C2的方程；2若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．解 1由C1方程可知F01，∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2－b2＝
1.又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为，∴＋＝
1.又∵a2－b2＝1，∴a2＝9，b2＝8，∴C2的方程为＋＝
1.2设Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4．∵与同向，且|AC|＝|BD|，∴＝，∴x1－x2＝x3－x4，∴x1＋x22－4x1x2＝x3＋x42－4x3x
4.设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，由消去y，得x2－4kx－4＝0，由根与系数的关系，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－
4.由消去y，得9＋8k2x2＋16kx－64＝0，由根与系数的关系，可得x3＋x4＝－，x3x4＝－，又∵x1＋x22－4x1x2＝x3＋x42－4x3x4，∴16k2＋1＝＋，化简得16k2＋1＝，∴9＋8k22＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
22.12分如图，抛物线C1y2＝4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F
2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C
2.1求椭圆的标准方程；2直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长．考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题解 1设椭圆的标准方程为＋＝1ab0，依据题意得c＝1，＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝
1.2当直线l与x轴垂直时，B1，B2，又F1－10，此时·≠0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件．当直线l不与x轴垂直时，设l y＝kx－1，由消去y，得3＋4k2x2－8k2x＋4k2－12＝
0.因为焦点在椭圆内部，所以直线l与椭圆恒有两个交点．设B1x1，y1，B2x2，y2，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以·＝0，又F1－10，所以－1－x1－1－x2＋y1y2＝0，即1＋k2x1x2＋1－k2x1＋x2＋1＋k2＝0，解得k2＝.由得k2x2－2k2＋4x＋k2＝
0.设A1x3，y3，A2x4，y4，则x3＋x4＝＝2＋，所以|A1A2|＝x3＋x4＋2＝2＋＋2＝.。
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