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章末检测试卷二时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.已知双曲线-y2=1a>0的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是 A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 D解析 ∵y2=8x的焦点是20,∴双曲线-y2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a>0,∴a==,∴双曲线的渐近线方程是y=±x.2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是 A.k>3B.2<k<3C.k=2D.0<k<2答案 C解析 由9-k2=k+3,即k2+k-6=0,解得k=2或-
3.又由题意知k29且k0,所以0k3,所以k=
2.3.若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为 A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2答案 D解析 椭圆x2+=1的离心率为,则双曲线的离心率为,且双曲线的顶点为0,±,故选D.4.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于 A.或B.或2C.或2D.或考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题答案 A解析 设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k.若曲线C为椭圆,则2a=6k2c=3k,∴e===;若曲线C为双曲线,则2a=2k2c=3k,∴e===.5.双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,且双曲线的实轴长与虚轴长相等,则双曲线C的实轴长为 A.B.2C.4D.8答案 C解析 设双曲线的方程为-=1a0,抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,故可得A-42,B-4,-2,将点A坐标代入双曲线方程,得a2=4,故a=2,故实轴长为
4.6.已知抛物线y2=2pxp0,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案 B解析 抛物线的焦点为F,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+.代入y2=2px,得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得=p=2y1,y2分别为点A,B的纵坐标,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-
1.
7.如图,F1,F2是双曲线C1x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是 A.B.C.D.答案 B解析 由题意知,|F1F2|=|F1A|=4,∵|F1A|-|F2A|=2,∴|F2A|=2,∴|F1A|+|F2A|=6,∵|F1F2|=4,∴C2的离心率是=,故选B.8.设F1,F2分别为双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|-|PF2|2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 A.B.C.4D.答案 D解析 根据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=2a,由|PF1|-|PF2|2=b2-3ab可得4a2=b2-3ab,即b2-3ab-4a2=0,所以2-3-4=0,解得=4负值舍去.所以e=====.9.已知点A02,B20.若点C在抛物线x2=y的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 A.4B.3C.2D.1答案 A解析 由已知可得|AB|=2,要使S△ABC=2,则点C到直线AB的距离必须为,设Cx,x2,而lAB x+y-2=0,所以有=,所以x2+x-2=±2,当x2+x-2=2时,有两个不同的C点;当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的C点.因此满足条件的C点有4个,故选A.10.已知椭圆+=1a>b>0与双曲线-=1m>0,n>0有相同的焦点-c0和c0,若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是 A.B.C.D.答案 D解析 由题意可得解得=,∴e==.11.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,定点A的坐标为,则|PA|+|PM|的最小值是 A.B.4C.D.5答案 C解析 如图|PM|=|PF|-,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-,当P,A,F三点共线时,|PM|+|PA|的值最小,∴|PM|+|PA|的最小值为|AF|-=.12.已知抛物线y2=x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2其中O为坐标原点,则△ABO与△AFO的面积之和的最小值是 A.2B.3C.D.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 如图,可设Am2,m,Bn2,n,其中m0,n0,则=m2,m,=n2,n,·=m2n2+mn=2,解得mn=1舍或mn=-
2.∴lAB m2-n2y-n=m-n·x-n2,即m+ny-n=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C20,点C为直线AB与x轴的交点.S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×-n=m-n,S△AOF=××m=m,则S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故△ABO与△AFO的面积之和的最小值为
3.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.椭圆3x2+2y2=1的短轴长为________.答案 14.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2,则抛物线的标准方程为________________.答案 y2=3x或y2=-3x解析 设所求抛物线的方程为y2=2mxm≠0,设交点Ax1,y1,Bx2,y2y10,y20,则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2,由对称性知y2=-y1,∴y1=.将y1=代入x2+y2=4,得x=±1,将点1,,-1,分别代入方程y2=2mx中,得3=2m或3=-2m,解得m=或-,所以抛物线的标准方程为y2=3x或y2=-3x.15.已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线过点2,,且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为____________.答案 -=1解析 由题意,得=,∵抛物线y2=4x的准线方程为x=-,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,∴c=,∴a2+b2=c2=7,∴a=2,b=,∴双曲线的方程为-=
1.16.已知抛物线y2=4x,过点P40的直线与抛物线相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,则y+y的最小值是________.答案 32解析 若k不存在,则y+y=
32.若k存在,设直线AB的斜率为k,当k=0时,直线AB的方程为y=0,不合题意,故k≠
0.由题意,设直线AB的方程为y=kx-4k≠0.由得ky2-4y-16k=0,∴y1+y2=,y1y2=-
16.∴y+y=y1+y22-2y1y2=2+32>
32.∴y+y的最小值为
32.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知一个椭圆中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为
2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的标准方程.解
①若焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1ab0,c=.设双曲线方程为-=1,m=a-
4.∵=,易得a=7,m=
3.∴b2=36,n2=
4.∴椭圆的标准方程为+=1,双曲线的标准方程为-=
1.
②若焦点在y轴上,同理可得椭圆的标准方程为+=1,双曲线的标准方程为-=
1.18.12分已知过抛物线y2=2pxp0的焦点,斜率为2的直线l交抛物线于A,B两点,且|AB|=
5.1求此抛物线方程;2若M12是抛物线上一点,求·的值.解 1∵焦点F,∴直线l的方程为y=
2.由消去y,得4x2-6px+p2=
0.
①设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=,∴|AB|=x1+x2+p==5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.2方程
①化为x2-3x+1=0,∴x1+x2=3,x1x2=1,直线l的方程为y=2x-2,∴·=x1-1,y1-2x2-1,y2-2=x1-1x2-1+y1-2y2-2=x1-1x2-1+2x1-42x2-4=5x1x2-9x1+x2+17=5-27+17=-
5.19.12分如图,F1,F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.1求椭圆C的离心率;2已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.解 1∠F1AF2=60°等价于a=2c等价于e==.2设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m,在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos120°,即2a-m2=m2+a2+am,得m=a.△AF1B的面积S=|F1A||BA|sin60°,即×a××=40,得a=10,所以c=5,b=
5.综上a=10,b=
5.20.12分已知双曲线C1x2-=
1.1求与双曲线C1有相同焦点,且过点P4,的双曲线C2的标准方程;2直线l y=x+m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A,B两点.当·=3时,求实数m的值.解 1∵双曲线C1x2-=1,∴焦点坐标为,0,-,0.设双曲线C2的标准方程为-=1a0,b0,∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P4,,∴解得∴双曲线C2的标准方程为-y2=
1.2双曲线C1的两条渐近线为y=2x,y=-2x.由可得x=m,y=2m,∴Am2m.由可得x=-m,y=m,∴B.∴·=-m2+m2=m
2.∵·=3,∴m2=3,∴m=±.21.12分已知抛物线C1x2=4y的焦点F也是椭圆C2+=1ab0的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.1求C2的方程;2若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.解 1由C1方程可知F01,∵F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2-b2=
1.又∵C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2的图象都关于y轴对称,∴易得C1与C2的公共点的坐标为,∴+=
1.又∵a2-b2=1,∴a2=9,b2=8,∴C2的方程为+=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4.∵与同向,且|AC|=|BD|,∴=,∴x1-x2=x3-x4,∴x1+x22-4x1x2=x3+x42-4x3x
4.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由消去y,得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,可得x1+x2=4k,x1x2=-
4.由消去y,得9+8k2x2+16kx-64=0,由根与系数的关系,可得x3+x4=-,x3x4=-,又∵x1+x22-4x1x2=x3+x42-4x3x4,∴16k2+1=+,化简得16k2+1=,∴9+8k22=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.
22.12分如图,抛物线C1y2=4x的准线与x轴交于点F1,焦点为F
2.以F1,F2为焦点,离心率为的椭圆记作C
2.1求椭圆的标准方程;2直线l经过椭圆C2的右焦点F2,与抛物线C1交于A1,A2两点,与椭圆C2交于B1,B2两点,当以B1B2为直径的圆经过F1时,求|A1A2|的长.考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题解 1设椭圆的标准方程为+=1ab0,依据题意得c=1,=,则a=2,b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为+=
1.2当直线l与x轴垂直时,B1,B2,又F1-10,此时·≠0,所以以B1B2为直径的圆不经过F1,不满足条件.当直线l不与x轴垂直时,设l y=kx-1,由消去y,得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=
0.因为焦点在椭圆内部,所以直线l与椭圆恒有两个交点.设B1x1,y1,B2x2,y2,则x1+x2=,x1x2=.因为以B1B2为直径的圆经过F1,所以·=0,又F1-10,所以-1-x1-1-x2+y1y2=0,即1+k2x1x2+1-k2x1+x2+1+k2=0,解得k2=.由得k2x2-2k2+4x+k2=
0.设A1x3,y3,A2x4,y4,则x3+x4==2+,所以|A1A2|=x3+x4+2=2++2=.。