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第一章常用逻辑用语章末复习学习目标
1.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.
2.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.
3.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.
4.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.1.全称量词与存在量词1常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“所有的”等.2常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3全称量词用符号“∀”表示;存在量词用符号“∃”表示.2.简单的逻辑联结词1命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.2简单复合命题的真值表
3.全称命题与存在性命题1含有全称量词的命题叫全称命题.2含有存在量词的命题叫存在性命题.4.命题的否定1全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定是全称命题.2p或q的否定为非p且非q;p且q的否定为非p或非q.5.充分条件、必要条件与充要条件1如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;2如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.6.四种命题及其关系1四种命题
①原命题如果p,则q;
②逆命题如果q,则p;
③否命题如果綈p,则綈q;
④逆否命题如果綈q,则綈p.2四种命题间的关系3四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.1.命题“若x0且y0,则x+y0”的否命题是假命题. √ 2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题. √ 3.命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致. × 4.已知命题p∃x∈R,x-20,命题q∀x∈R,x2x,则命题p∨綈q是假命题. × 题型一 命题及其关系例1 1有下列命题
①“若x+y0,则x0且y0”的否命题;
②“矩形的对角线相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”.其中是真命题的是 A.
①②③B.
②③④C.
①③④D.
①③考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假答案 D2设a,b,c是非零向量,已知命题p若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是 A.p∨qB.p∧qC.綈p∧綈qD.p∨綈q考点 四种命题的概念题点 四种命题定义的应用答案 A解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.反思感悟 1互为逆否命题的两命题真假性相同.2“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.跟踪训练1 1命题“若x21,则x-1或x1”的逆否命题是 A.若x21,则-1≤x≤1B.若-1≤x≤1,则x2≤1C.若-1x1,则x21D.若x-1或x1,则x21考点 四种命题的概念题点 四种命题定义的应用答案 B2已知命题p4+2=5,命题q32,则下列判断中错误的是 A.p或q为真,非q为假B.p或q为真,非p为真C.p且q为假,非p为假D.p且q为假,p或q为真考点 “或”“且”“非”的综合问题题点 判断复合命题的真假答案 C解析 由p4+2=5,可得p是假命题,由q32,可得命题q是真命题,所以p或q为真,p且q为假,非p为真,非q为假,故选C.题型二 充分条件与必要条件、充要条件的探究例2 “m=”是“直线m+2x+3my+1=0与直线m-2x+m+2y-3=0相互垂直”的 A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 当m=时,两条直线的斜率分别为-,,-×=-1,所以两条直线相互垂直;反之,若两条直线相互垂直,需分三种情况
①当m=-2时,两条直线的方程分别为-6y+1=0,-4x-3=0,显然两直线相互垂直;
②当m≠-2且m≠0时,由-×=-1,解得m=;
③当m=0时,两条直线的方程分别为2x+1=0,-2x+2y-3=0,两直线不垂直.所以m=-2或.故“m=”是“直线m+2x+3my+1=0与直线m-2x+m+2y-3=0相互垂直”的充分不必要条件.反思感悟 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件,即q的充分条件是p,p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果”,则可认为p的必然结果是q,q是p的必然结果.则p⇏q易表述为以下几种说法p是q的不充分条件,q的不充分条件是p;q是p的不必要条件,p的不必要条件是q.跟踪训练2 1已知命题p对任意x∈R,总有2x0;q“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 A.p∧qB.綈p∧綈qC.綈p∧qD.p∧綈q答案 D解析 p∀x∈R2x0为真命题;q∵x1⇏x2,∴“x1”不是“x2”的充分条件,又x2⇒x1,∴“x1”是“x2”的必要条件,∴q是假命题,∴綈q是真命题.∴p∧綈q为真命题.2“a=-1”是“函数fx=ax2+2x-1只有一个零点”的 A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析
①∵a=-1⇒Δ=22-4a×-1=0⇒fx=ax2+2x-1只有一个零点,∴“a=-1”是“函数fx=ax2+2x-1只有一个零点”的充分条件.
②fx=ax2+2x-1只有一个零点⇒a=-1或a=0⇏a=-1,∴“a=-1”不是“函数fx=ax2+2x-1只有一个零点”的必要条件.题型三 逻辑联结词与量词的综合应用例3 已知p∃x∈R,mx2+2≤
0.q∀x∈R,x2-2mx+10,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是 A.[1,+∞B.-∞,-1]C.-∞,-2]D.[-11]考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案 A解析 因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题.由p∃x∈R,mx2+2≤0为假,得∀x∈R,mx2+20,所以m≥
0.
①由q∀x∈R,x2-2mx+10为假,得∃x∈R,x2-2mx+1≤0,所以Δ=-2m2-4≥0⇒m2≥1⇒m≤-1或m≥
1.
②由
①和
②得m≥
1.反思感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如p真与綈p假等价,p假与綈p真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.跟踪训练3 已知m∈R,命题p对任意x∈
[01],不等式2x-2≥m2-3m恒成立;命题q存在x∈[-11],使得m≤ax成立.1若p为真命题,求m的取值范围;2当a=1时,p且q为假命题,p或q为真命题,求m的取值范围.考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围解 1对任意x∈
[01],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,令fx=2x-2x∈
[01],则fxmin≥m2-3m,当x∈
[01]时,fxmin=f0=-2,即m2-3m≤-2,解得1≤m≤
2.因此,当p为真命题时,m的取值范围是
[12].2当a=1时,若q为真命题,则存在x∈[-11],使得m≤x成立,所以m≤
1.因此,当命题q为真时,m≤
1.因为p且q为假命题,p或q为真命题,所以p,q中一个是真命题,一个是假命题.当p真q假时,由得1m≤2;当p假q真时,由得m
1.综上所述,m的取值范围为-∞,1∪12].1.设函数fx=x2+mxm∈R,则下列命题中的真命题是 A.对任意m∈R,y=fx都是奇函数B.存在m∈R,使y=fx是奇函数C.对任意m∈R,y=fx都是偶函数D.存在m∈R,使y=fx是偶函数答案 D解析 存在m=0∈R,使y=fx是偶函数,故选D.2.命题“如果α=,则tanα=1”的逆否命题是 A.如果α≠,则tanα≠1B.如果α=,则tanα≠1C.如果tanα≠1,则α≠D.如果tanα≠1,则α=答案 C解析 命题“如果α=,则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”,故选C.3.已知α,β是两个不同的平面,直线a⊂α,直线b⊂β,p a与b无公共点,qα∥β,则p是q的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若α与β相交,设交线为c,若a∥c,b∥c,则a∥b,此时a与b无公共点,所以p⇏q;若α∥β,则a与b的位置关系是平行或异面,a与b无公共点,所以q⇒p.由此可知p是q的必要不充分条件,故选B.4.已知命题p若xy,则-x-y;命题q若xy,则x2y
2.在命题
①p∧q;
②p∨q;
③p∧綈q;
④綈p∨q中,真命题是________.填序号答案
②③解析 当xy时,-x-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.当xy时,x2y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.由真值表知,
①p∧q为假命题;
②p∨q为真命题;
③p∧綈q为真命题;
④綈p∨q为假命题.5.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题,并判断它们的真假.1p平行四边形的对角线相等,q平行四边形的对角线互相平分;2p方程x2-16=0的两个根的符号不同,q方程x2-16=0的两个根的绝对值相等.考点 “或”“且”“非”的综合问题题点 判断复合命题的真假解 1p或q平行四边形的对角线相等或平行四边形的对角线互相平分.p且q平行四边形的对角线相等且平行四边形的对角线互相平分.綈p有的平行四边形的对角线不相等.因为p假q真,所以“p或q”为真,“p且q”为假,“綈p”为真.2p或q方程x2-16=0的两个根的符号不同或方程x2-16=0的两个根的绝对值相等.p且q方程x2-16=0的两个根的符号不同且方程x2-16=0的两个根的绝对值相等.綈p方程x2-16=0的两个根的符号相同.因为p真q真,所以“p或q”为真,“p且q”为真,“綈p”为假.1.判断复合命题真假的步骤⇒⇒2.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断,如下表
3.含有一个量词的命题的否定pqp∧qp∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假命题命题的否定∀x∈M,px∃x∈M,綈px∃x∈M,px∀x∈M,綈px。