2020版高中数学第一章常用逻辑用语章末复习学案（含解析）新人教B版选修2-1

第一章常用逻辑用语章末复习学习目标　

1.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.

2.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.

3.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.

4.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系．1．全称量词与存在量词1常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“所有的”等．2常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2．简单的逻辑联结词1命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．2简单复合命题的真值表

3.全称命题与存在性命题1含有全称量词的命题叫全称命题．2含有存在量词的命题叫存在性命题．4．命题的否定1全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．2p或q的否定为非p且非q；p且q的否定为非p或非q.5．充分条件、必要条件与充要条件1如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；2如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．6．四种命题及其关系1四种命题

①原命题如果p，则q；

②逆命题如果q，则p；

③否命题如果綈p，则綈q；

④逆否命题如果綈q，则綈p.2四种命题间的关系3四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．命题“若x0且y0，则x＋y0”的否命题是假命题．　√　2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．　√　3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．　×　4．已知命题p∃x∈R，x－20，命题q∀x∈R，x2x，则命题p∨綈q是假命题．　×　题型一　命题及其关系例1　1有下列命题

①“若x＋y0，则x0且y0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是　　A．

①②③B．

②③④C．

①③④D．

①③考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假答案　D2设a，b，c是非零向量，已知命题p若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是　　A．p∨qB．p∧qC．綈p∧綈qD．p∨綈q考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用答案　A解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．反思感悟　1互为逆否命题的两命题真假性相同．2“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．跟踪训练1　1命题“若x21，则x－1或x1”的逆否命题是　　A．若x21，则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1，则x2≤1C．若－1x1，则x21D．若x－1或x1，则x21考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用答案　B2已知命题p4＋2＝5，命题q32，则下列判断中错误的是　　A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真考点　“或”“且”“非”的综合问题题点　判断复合命题的真假答案　C解析　由p4＋2＝5，可得p是假命题，由q32，可得命题q是真命题，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假，故选C.题型二　充分条件与必要条件、充要条件的探究例2　“m＝”是“直线m＋2x＋3my＋1＝0与直线m－2x＋m＋2y－3＝0相互垂直”的　　A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当m＝时，两条直线的斜率分别为－，，－×＝－1，所以两条直线相互垂直；反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况

①当m＝－2时，两条直线的方程分别为－6y＋1＝0，－4x－3＝0，显然两直线相互垂直；

②当m≠－2且m≠0时，由－×＝－1，解得m＝；

③当m＝0时，两条直线的方程分别为2x＋1＝0，－2x＋2y－3＝0，两直线不垂直．所以m＝－2或.故“m＝”是“直线m＋2x＋3my＋1＝0与直线m－2x＋m＋2y－3＝0相互垂直”的充分不必要条件．反思感悟　若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果．则p⇏q易表述为以下几种说法p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.跟踪训练2　1已知命题p对任意x∈R，总有2x0；q“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是　　A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q答案　D解析　p∀x∈R2x0为真命题；q∵x1⇏x2，∴“x1”不是“x2”的充分条件，又x2⇒x1，∴“x1”是“x2”的必要条件，∴q是假命题，∴綈q是真命题．∴p∧綈q为真命题．2“a＝－1”是“函数fx＝ax2＋2x－1只有一个零点”的　　A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　

①∵a＝－1⇒Δ＝22－4a×－1＝0⇒fx＝ax2＋2x－1只有一个零点，∴“a＝－1”是“函数fx＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分条件．

②fx＝ax2＋2x－1只有一个零点⇒a＝－1或a＝0⇏a＝－1，∴“a＝－1”不是“函数fx＝ax2＋2x－1只有一个零点”的必要条件．题型三　逻辑联结词与量词的综合应用例3　已知p∃x∈R，mx2＋2≤

0.q∀x∈R，x2－2mx＋10，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是　　A．[1，＋∞B．－∞，－1]C．－∞，－2]D．[－11]考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案　A解析　因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．由p∃x∈R，mx2＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋20，所以m≥

0.

①由q∀x∈R，x2－2mx＋10为假，得∃x∈R，x2－2mx＋1≤0，所以Δ＝－2m2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥

1.

②由

①和

②得m≥

1.反思感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练3　已知m∈R，命题p对任意x∈

[01]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q存在x∈[－11]，使得m≤ax成立．1若p为真命题，求m的取值范围；2当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围解　1对任意x∈

[01]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，令fx＝2x－2x∈

[01]，则fxmin≥m2－3m，当x∈

[01]时，fxmin＝f0＝－2，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤

2.因此，当p为真命题时，m的取值范围是

[12]．2当a＝1时，若q为真命题，则存在x∈[－11]，使得m≤x成立，所以m≤

1.因此，当命题q为真时，m≤

1.因为p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，由得1m≤2；当p假q真时，由得m

1.综上所述，m的取值范围为－∞，1∪12]．1．设函数fx＝x2＋mxm∈R，则下列命题中的真命题是　　A．对任意m∈R，y＝fx都是奇函数B．存在m∈R，使y＝fx是奇函数C．对任意m∈R，y＝fx都是偶函数D．存在m∈R，使y＝fx是偶函数答案　D解析　存在m＝0∈R，使y＝fx是偶函数，故选D.2．命题“如果α＝，则tanα＝1”的逆否命题是　　A．如果α≠，则tanα≠1B．如果α＝，则tanα≠1C．如果tanα≠1，则α≠D．如果tanα≠1，则α＝答案　C解析　命题“如果α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”，故选C.3．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p a与b无公共点，qα∥β，则p是q的　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p⇏q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q⇒p.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.4．已知命题p若xy，则－x－y；命题q若xy，则x2y

2.在命题

①p∧q；

②p∨q；

③p∧綈q；

④綈p∨q中，真命题是________．填序号答案　

②③解析　当xy时，－x－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当xy时，x2y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，

①p∧q为假命题；

②p∨q为真命题；

③p∧綈q为真命题；

④綈p∨q为假命题．5．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．1p平行四边形的对角线相等，q平行四边形的对角线互相平分；2p方程x2－16＝0的两个根的符号不同，q方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．考点　“或”“且”“非”的综合问题题点　判断复合命题的真假解　1p或q平行四边形的对角线相等或平行四边形的对角线互相平分．p且q平行四边形的对角线相等且平行四边形的对角线互相平分．綈p有的平行四边形的对角线不相等．因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真．2p或q方程x2－16＝0的两个根的符号不同或方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．p且q方程x2－16＝0的两个根的符号不同且方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．綈p方程x2－16＝0的两个根的符号相同．因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假．1．判断复合命题真假的步骤⇒⇒2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表

3.含有一个量词的命题的否定pqp∧qp∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假命题命题的否定∀x∈M，px∃x∈M，綈px∃x∈M，px∀x∈M，綈px。