还剩13页未读，继续阅读
本资源只提供10页预览，全部文档请下载后查看！喜欢就下载吧，查找使用更方便
文本内容:
§2 导数的概念及其几何意义学习目标
1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.
2.会计算函数在某点处的导数.
3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一 导数的概念函数y＝fx在x0点的瞬时变化率是函数y＝fx在x0点的导数．用符号f′x0表示，记作f′x0＝＝.知识点二 导数的几何意义1切线的概念如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．2导数的几何意义函数fx在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′x0．3切线方程曲线y＝fx在点x0，fx0处的切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0．特别提醒曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关． √ 2．函数fx在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率． × 3．若函数y＝fx在x＝x0处有导数，则函数y＝fx在x＝x0处有唯一的一条切线． √ 4．函数y＝fx在x＝x0处的切线与函数y＝fx的公共点不一定是一个． √ 题型一 利用定义求导数例1 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝fx＝＋＋
0.3，求f′100，并解释它的实际意义．解 ∵当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为＝，＝＋，∴f′100＝，＝＝
0.105，f′100＝
0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元．反思感悟 求一个函数y＝fx在x＝x0处的导数的步骤1求函数值的变化量Δy＝fx0＋Δx－fx0．2求平均变化率＝.3取极限，得导数f′x0＝.跟踪训练1 利用导数的定义求函数fx＝－x2＋3x在x＝2处的导数．考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′2＝，而f2＋Δx－f2＝－2＋Δx2＋32＋Δx－－22＋3×2＝－Δx2－Δx，于是f′2＝＝－Δx－1＝－
1.题型二 求切线方程例2 已知曲线y＝2x2上一点A12，求1点A处的切线的斜率；2点A处的切线方程．考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点的切线方程解 1＝＝＝4＋2Δx＝4，∴点A处的切线的斜率为
4.2点A处的切线方程是y－2＝4x－1，即4x－y－2＝
0.反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P25处的切线与y轴交点的纵坐标是________．考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点处的切线方程答案 －3解析 ＝＝4＋Δx＝4，曲线y＝x2＋1在点25处的切线方程为y－5＝4x－2，即y＝4x－
3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－
3.题型三 求切点坐标例3 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．1切线的倾斜角为45°；2切线平行于直线4x－y－2＝0；3切线垂直于直线x＋8y－3＝
0.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设切点坐标为x0，y0，则Δy＝2x0＋Δx2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2Δx2，∴＝4x0＋2Δx，当Δx趋于0时，趋于4x0，即f′x0＝4x
0.1∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝
1.即f′x0＝4x0＝1，得x0＝，∴切点坐标为.2∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′x0＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为13．3∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8，故f′x0＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为29．反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤1设切点坐标x0，y0．2求导函数f′x．3求切线的斜率f′x0．4由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x
0.5点x0，y0在曲线fx上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3 已知直线l y＝4x＋a与曲线C y＝fx＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设直线l与曲线C相切于点Px0，y0．∵f′x＝＝＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点坐标为或23．当切点为时，有＝4×＋a，a＝.当切点为23时，有3＝4×2＋a，a＝－
5.∴当a＝时，切点为；当a＝－5时，切点为23．题型四 导数几何意义的应用例4 1函数gx的图像如图所示，下列数值排序正确的是 A．0g′2g′3g3－g2B．0g′3g3－g2g′2C．0g′2g3－g2g′3D．0g3－g2g′2g′3考点 题点 答案 C解析 由函数gx的图像知，当x≥0时，g′x0且曲线的切线的斜率逐渐增大，∴g′x是增加的，∴g′2g′3，∵gx上升的越来越快，∴g′2g3－g2g′3，∴0g′2g3－g2g′3，故选C.2已知曲线fx＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 －7解析 设点Px02x＋a．由导数的几何意义可得f′x0＝＝＝4x0＝8，∴x0＝2，∴P28＋a．将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，得a＝－
7.反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小．跟踪训练4 1已知函数fx在R上可导，其部分图像如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是 A．f′1f′2aB．f′1af′2C．f′2f′1aD．af′1f′2考点 题点 答案 B解析 由图像可知，在0，＋∞上，函数fx为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵＝a，∴易知f′1af′2．2曲线y＝x3在点a，a3a≠0处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.答案 ±1解析 由题意知切线的斜率为3a2，由点斜式得切线方程为y－a3＝3a2x－a．令y＝0，得x＝a，则·|a3|＝，解得a＝±
1.1．设函数fx在点x0附近有定义，且有fx0＋Δx－fx0＝aΔx＋bΔx2a，b为常数，则 A．f′x＝aB．f′x＝bC．f′x0＝aD．f′x0＝b考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 C解析 f′x0＝＝a＋b·Δx＝a.2．曲线fx＝在点33处的切线的倾斜角等于 A．45°B．60°C．135°D．120°考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 C解析 ∵f′x＝＝9＝－9＝－，∴f′3＝－＝－1，又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°，∴倾斜角为135°.
3.如图，函数y＝fx的图像在点P2，y处的切线是l，则f2＋f′2等于 A．－4B．3C．－2D．1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 D解析 由题干中的图像可得函数y＝fx的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点40，与y轴交于点04，则可知l x＋y＝4，∴f2＝2，f′2＝－1，∴代入可得f2＋f′2＝1，故选D.4．已知函数fx＝，则f′1＝________.答案 －解析 f′1＝＝＝＝－.5．已知点P在曲线y＝x3－x＋上，直线l为曲线在P点处的切线，求直线l的倾斜角的取值范围．考点 题点 解 设Px0，y0，函数在点P处的导数为y′＝＝3x－1≥－1，设直线l的倾斜角为α0≤απ，∴tanα≥－1，画出y＝tanx在∪的图像如图．通过观察图像，α的取值范围为∪.1．导数f′x0的几何意义是曲线y＝fx在点x0，fx0处的切线的斜率，即k＝＝f′x0．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－fx0＝f′x0x－x0；若已知点不在切线上，则设出切点x0，fx0，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题1．曲线y＝在点11处的切线的倾斜角为 A.B.C.D.考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 D解析 函数y＝在x＝1处的导数为＝－1，由tanα＝－1及0≤απ，得α＝，故选D.2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是 A．00B．24C.D.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 D解析 ∵＝2x，又切线的倾斜角为，∴直线斜率为tan＝1，则2x＝1，∴x＝，y＝，则切点为.3．设fx＝ax＋4，若f′1＝2，则a等于 A．2B．－2C．3D．－3答案 A解析 因为f′1＝＝＝a，所以f′1＝a＝
2.4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点0，b处的切线方程是x－y＋1＝0，则 A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 A解析 由题意，知k＝＝1，∴a＝
1.又0，b在切线上，∴b＝1，故选A.5．设fx为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝fx在点1，f1处的切线的斜率是 A．1B．－1C.D．－2考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 B解析 ∵＝－1，∴＝－1，∴f′1＝－
1.6．设P0为曲线fx＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为 A．10B．28C．10或－1，－4D．28或－1，－4考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 C解析 根据导数的定义可求得f′x＝3x2＋1，由于曲线fx＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以fx在P0处的导数值等于4，设P0x0，y0，故f′x0＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为10或－1，－4，故选C.
7.函数y＝fx的图像如图所示，下列数值排序正确的是 A．0f′2f′3f3－f2B．0f′3f3－f2f′2C．0f′3f′2f3－f2D．0f3－f2f′2f′3考点 题点 答案 B解析 设x＝2，x＝3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f3－f2＝＝kAB，f′3＝kBQ，f′2＝kAT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，故kBQkABkAT.故选B.8．设P为曲线C fx＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为 A.B．[－10]C．
[01]D.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 D解析 设点P的横坐标为x0，则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为tanα＝f′x0＝＝2x0＋
2.∵α∈，∴tanα∈[1，＋∞，∴2x0＋2≥1，即x0≥－.∴x0的取值范围为.
二、填空题9．已知函数fx＝2x－3，则f′5＝________.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 2解析 f′5＝＝
2.10．曲线y＝x3在点11处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点处的切线方程答案 解析 ∵k＝＝3，∴曲线y＝x3在点11处的切线方程为y－1＝3x－1，即3x－y－2＝0，令x＝2，得y＝4，令y＝0，得x＝，则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.11．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 4解析 设抛物线在P点处切线的斜率为k，k＝＝－5，∴切线方程为y＝－5x，∴点P的纵坐标为y＝－5×－2＝10，将P－210代入y＝x2－x＋c，得c＝
4.
三、解答题12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P11，且在点Q2，－1处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1，
①又＝＝4a＋b，由题意知4a＋b＝1，
②又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1，
③由
①②③解得a＝3，b＝－11，c＝
9.13．设函数fx＝x3＋ax2－9x－1a0，若曲线y＝fx的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 f′x0＝＝[3x＋2ax0－9＋3x0＋aΔx＋Δx2]＝3x＋2ax0－
9.f′x0＝32－9－，当x0＝－时，f′x0取到最小值－9－.∵函数fx斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线的斜率为－
12.∴－9－＝－12，解得a＝±3，又a0，∴a＝－
3.14．过点M11且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程为 A．27x－4y－23＝0B．23x－3y－12＝0和y＝3C．5x－17y＋9＝0D．27x－4y－23＝0和y＝1考点 切线方程的求解及应用题点 求曲线的切线方程答案 D解析 ＝＝＝3x·Δx＋3x2＋Δx2，所以＝3x2，即y′＝3x
2.设过11点的切线与y＝x3＋1相切于点Px0，x＋1，根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x，
①过11点的切线的斜率k＝，
②由
①②得3x＝，解得x0＝0或x0＝，当x0＝0时，k＝0，切点坐标为01，切线方程为y＝1；当x0＝时，k＝，切点坐标为，切线方程为27x－4y－23＝
0.综上所述，直线方程为y＝1或27x－4y－23＝
0.15．已知函数fx＝ax2＋1a0，gx＝x3＋bx，若曲线y＝fx与曲线y＝gx在它们的交点1，c处具有公共切线，求a，b的值．考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵f′x＝＝＝2ax，∴f′1＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′x＝＝＝3x2＋b，∴g′1＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点1，c处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
