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§2 导数的概念及其几何意义学习目标
1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.
2.会计算函数在某点处的导数.
3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.知识点一 导数的概念函数y=fx在x0点的瞬时变化率是函数y=fx在x0点的导数.用符号f′x0表示,记作f′x0==.知识点二 导数的几何意义1切线的概念如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.2导数的几何意义函数fx在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k==f′x0.3切线方程曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程为y-fx0=f′x0x-x0.特别提醒曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可能有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.1.函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关. √ 2.函数fx在x=x0处的导数值是Δx=0时的平均变化率. × 3.若函数y=fx在x=x0处有导数,则函数y=fx在x=x0处有唯一的一条切线. √ 4.函数y=fx在x=x0处的切线与函数y=fx的公共点不一定是一个. √ 题型一 利用定义求导数例1 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=fx=++
0.3,求f′100,并解释它的实际意义.解 ∵当x从100变为100+Δx时,函数值y关于x的平均变化率为=,=+,∴f′100=,==
0.105,f′100=
0.105表示当建筑面积为100平方米时,成本增加的速度为1050元/平方米,也就是说当建筑面积为100平方米时,每增加1平方米的建筑面积,成本就要增加1050元.反思感悟 求一个函数y=fx在x=x0处的导数的步骤1求函数值的变化量Δy=fx0+Δx-fx0.2求平均变化率=.3取极限,得导数f′x0=.跟踪训练1 利用导数的定义求函数fx=-x2+3x在x=2处的导数.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数f′2=,而f2+Δx-f2=-2+Δx2+32+Δx--22+3×2=-Δx2-Δx,于是f′2==-Δx-1=-
1.题型二 求切线方程例2 已知曲线y=2x2上一点A12,求1点A处的切线的斜率;2点A处的切线方程.考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点的切线方程解 1===4+2Δx=4,∴点A处的切线的斜率为
4.2点A处的切线方程是y-2=4x-1,即4x-y-2=
0.反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y=x2+1在点P25处的切线与y轴交点的纵坐标是________.考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点处的切线方程答案 -3解析 ==4+Δx=4,曲线y=x2+1在点25处的切线方程为y-5=4x-2,即y=4x-
3.∴切线与y轴交点的纵坐标是-
3.题型三 求切点坐标例3 已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的坐标.1切线的倾斜角为45°;2切线平行于直线4x-y-2=0;3切线垂直于直线x+8y-3=
0.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设切点坐标为x0,y0,则Δy=2x0+Δx2+1-2x-1=4x0·Δx+2Δx2,∴=4x0+2Δx,当Δx趋于0时,趋于4x0,即f′x0=4x
0.1∵抛物线的切线的倾斜角为45°,∴斜率为tan45°=
1.即f′x0=4x0=1,得x0=,∴切点坐标为.2∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,∴k=4,即f′x0=4x0=4,得x0=1,∴切点坐标为13.3∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,则k·=-1,即k=8,故f′x0=4x0=8,得x0=2,∴切点坐标为29.反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤1设切点坐标x0,y0.2求导函数f′x.3求切线的斜率f′x0.4由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x
0.5点x0,y0在曲线fx上,将x0代入求y0,得切点坐标.跟踪训练3 已知直线l y=4x+a与曲线C y=fx=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 设直线l与曲线C相切于点Px0,y0.∵f′x===3x2-4x,由题意可知k=4,即3x-4x0=4,解得x0=-或x0=2,∴切点坐标为或23.当切点为时,有=4×+a,a=.当切点为23时,有3=4×2+a,a=-
5.∴当a=时,切点为;当a=-5时,切点为23.题型四 导数几何意义的应用例4 1函数gx的图像如图所示,下列数值排序正确的是 A.0g′2g′3g3-g2B.0g′3g3-g2g′2C.0g′2g3-g2g′3D.0g3-g2g′2g′3考点 题点 答案 C解析 由函数gx的图像知,当x≥0时,g′x0且曲线的切线的斜率逐渐增大,∴g′x是增加的,∴g′2g′3,∵gx上升的越来越快,∴g′2g3-g2g′3,∴0g′2g3-g2g′3,故选C.2已知曲线fx=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则实数a的值为________.考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 -7解析 设点Px02x+a.由导数的几何意义可得f′x0===4x0=8,∴x0=2,∴P28+a.将x=2,y=8+a代入到8x-y-15=0中,得a=-
7.反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来,根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小.跟踪训练4 1已知函数fx在R上可导,其部分图像如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 A.f′1f′2aB.f′1af′2C.f′2f′1aD.af′1f′2考点 题点 答案 B解析 由图像可知,在0,+∞上,函数fx为增函数,且曲线切线的斜率越来越大,∵=a,∴易知f′1af′2.2曲线y=x3在点a,a3a≠0处的切线与x轴及直线x=a围成的三角形的面积为,则a=________.答案 ±1解析 由题意知切线的斜率为3a2,由点斜式得切线方程为y-a3=3a2x-a.令y=0,得x=a,则·|a3|=,解得a=±
1.1.设函数fx在点x0附近有定义,且有fx0+Δx-fx0=aΔx+bΔx2a,b为常数,则 A.f′x=aB.f′x=bC.f′x0=aD.f′x0=b考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 C解析 f′x0==a+b·Δx=a.2.曲线fx=在点33处的切线的倾斜角等于 A.45°B.60°C.135°D.120°考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 C解析 ∵f′x==9=-9=-,∴f′3=-=-1,又∵直线的倾斜角范围为[0°,180°,∴倾斜角为135°.
3.如图,函数y=fx的图像在点P2,y处的切线是l,则f2+f′2等于 A.-4B.3C.-2D.1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 D解析 由题干中的图像可得函数y=fx的图像在点P处的切线是l,与x轴交于点40,与y轴交于点04,则可知l x+y=4,∴f2=2,f′2=-1,∴代入可得f2+f′2=1,故选D.4.已知函数fx=,则f′1=________.答案 -解析 f′1====-.5.已知点P在曲线y=x3-x+上,直线l为曲线在P点处的切线,求直线l的倾斜角的取值范围.考点 题点 解 设Px0,y0,函数在点P处的导数为y′==3x-1≥-1,设直线l的倾斜角为α0≤απ,∴tanα≥-1,画出y=tanx在∪的图像如图.通过观察图像,α的取值范围为∪.1.导数f′x0的几何意义是曲线y=fx在点x0,fx0处的切线的斜率,即k==f′x0.2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-fx0=f′x0x-x0;若已知点不在切线上,则设出切点x0,fx0,表示出切线方程,然后求出切点.
一、选择题1.曲线y=在点11处的切线的倾斜角为 A.B.C.D.考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 D解析 函数y=在x=1处的导数为=-1,由tanα=-1及0≤απ,得α=,故选D.2.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为的是 A.00B.24C.D.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 D解析 ∵=2x,又切线的倾斜角为,∴直线斜率为tan=1,则2x=1,∴x=,y=,则切点为.3.设fx=ax+4,若f′1=2,则a等于 A.2B.-2C.3D.-3答案 A解析 因为f′1===a,所以f′1=a=
2.4.若曲线y=x2+ax+b在点0,b处的切线方程是x-y+1=0,则 A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 A解析 由题意,知k==1,∴a=
1.又0,b在切线上,∴b=1,故选A.5.设fx为可导函数,且满足=-1,则曲线y=fx在点1,f1处的切线的斜率是 A.1B.-1C.D.-2考点 切线方程的求解及应用题点 求切线的倾斜角或斜率答案 B解析 ∵=-1,∴=-1,∴f′1=-
1.6.设P0为曲线fx=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为 A.10B.28C.10或-1,-4D.28或-1,-4考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 C解析 根据导数的定义可求得f′x=3x2+1,由于曲线fx=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以fx在P0处的导数值等于4,设P0x0,y0,故f′x0=3x+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为10或-1,-4,故选C.
7.函数y=fx的图像如图所示,下列数值排序正确的是 A.0f′2f′3f3-f2B.0f′3f3-f2f′2C.0f′3f′2f3-f2D.0f3-f2f′2f′3考点 题点 答案 B解析 设x=2,x=3时曲线上的点分别为A,B,点A处的切线为AT,点B处的切线为BQ,则f3-f2==kAB,f′3=kBQ,f′2=kAT,因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角,直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角,故kBQkABkAT.故选B.8.设P为曲线C fx=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为 A.B.[-10]C.
[01]D.考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标答案 D解析 设点P的横坐标为x0,则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为tanα=f′x0==2x0+
2.∵α∈,∴tanα∈[1,+∞,∴2x0+2≥1,即x0≥-.∴x0的取值范围为.
二、填空题9.已知函数fx=2x-3,则f′5=________.考点 函数在一点处的导数题点 根据定义求函数在某点处的导数答案 2解析 f′5==
2.10.曲线y=x3在点11处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为________.考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点处的切线方程答案 解析 ∵k==3,∴曲线y=x3在点11处的切线方程为y-1=3x-1,即3x-y-2=0,令x=2,得y=4,令y=0,得x=,则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为××4=.11.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为________.考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 4解析 设抛物线在P点处切线的斜率为k,k==-5,∴切线方程为y=-5x,∴点P的纵坐标为y=-5×-2=10,将P-210代入y=x2-x+c,得c=
4.
三、解答题12.已知抛物线y=ax2+bx+c过点P11,且在点Q2,-1处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值.考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵抛物线过点P,∴a+b+c=1,
①又==4a+b,由题意知4a+b=1,
②又抛物线过点Q,∴4a+2b+c=-1,
③由
①②③解得a=3,b=-11,c=
9.13.设函数fx=x3+ax2-9x-1a0,若曲线y=fx的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 f′x0==[3x+2ax0-9+3x0+aΔx+Δx2]=3x+2ax0-
9.f′x0=32-9-,当x0=-时,f′x0取到最小值-9-.∵函数fx斜率最小的切线与12x+y=6平行,∴该切线的斜率为-
12.∴-9-=-12,解得a=±3,又a0,∴a=-
3.14.过点M11且与曲线y=x3+1相切的直线方程为 A.27x-4y-23=0B.23x-3y-12=0和y=3C.5x-17y+9=0D.27x-4y-23=0和y=1考点 切线方程的求解及应用题点 求曲线的切线方程答案 D解析 ===3x·Δx+3x2+Δx2,所以=3x2,即y′=3x
2.设过11点的切线与y=x3+1相切于点Px0,x+1,根据导数的几何意义,曲线在点P处的切线的斜率为k=3x,
①过11点的切线的斜率k=,
②由
①②得3x=,解得x0=0或x0=,当x0=0时,k=0,切点坐标为01,切线方程为y=1;当x0=时,k=,切点坐标为,切线方程为27x-4y-23=
0.综上所述,直线方程为y=1或27x-4y-23=
0.15.已知函数fx=ax2+1a0,gx=x3+bx,若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点1,c处具有公共切线,求a,b的值.考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值解 ∵f′x===2ax,∴f′1=2a,即切线斜率k1=2a.∵g′x===3x2+b,∴g′1=3+b,即切线斜率k2=3+b.∵在交点1,c处有公共切线,∴2a=3+b.又∵a+1=1+b,即a=b,故可得。