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文本内容:
2.
3.1 双曲线的标准方程学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义1.平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数小于|F1F2|且不等于零的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.2.关于“小于|F1F2|”
①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线包括端点;
②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在.3.若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支.4.若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.知识点二 双曲线的标准方程1.两种形式的标准方程
2.焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.3.当双曲线的焦点位置不确定时,可设其标准方程为Ax2+By2=1AB0.4.标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里的b2=c2-a2要与椭圆中的b2=a2-c2相区别.1.在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系同椭圆中a,b,c之间的关系相同. × 2.点A10,B-10,若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线. × 3.双曲线-=1的焦点在x轴上,且ab. × 4.平面内到两定点的距离的差等于常数小于两定点间距离的点的轨迹是双曲线. × 题型一 求双曲线的标准方程例1 1已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线过点3,-4和,求双曲线的标准方程;2焦距为26,且经过点M012.解 1设所求双曲线方程为-=1a0,b0,则解得∴双曲线的标准方程为-=
1.2∵双曲线经过点M012,∴M012为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=
12.又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=
25.∴双曲线的标准方程为-=
1.反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1mn0,通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,实为一种好方法.跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程.1经过点P,Q;2c=,经过点-52,焦点在x轴上.解 1若焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1a0,b0,由于点P和Q在双曲线上,所以解得舍去.若焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1a0,b0,将P,Q两点坐标分别代入可得解得所以双曲线的标准方程为-=
1.综上,双曲线的标准方程为-=
1.2依题意可设双曲线的方程为-=1a0,b0.则有解得∴所求双曲线的标准方程为-y2=
1.题型二 双曲线定义的应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题例2 若F1,F2是双曲线-=1的两个焦点.1若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;2如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用与双曲线的焦点三角形解 双曲线的标准方程为-=1,故a=3,b=4,c==
5.1由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=
22.故点M到另一个焦点的距离为10或
22.2将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=
100.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===0,且∠F1PF2∈0°,180°,所以∠F1PF2=90°,故=|PF1|·|PF2|=×32=
16.引申探究将本例2中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.解 由-=1得a=3,b=4,c=
5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°,所以102=|PF1|-|PF2|2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=
16.反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法1方法一
①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;
②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;
③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;
④利用公式=×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.2方法二利用公式=×|F1F2|×|yP|yP为P点的纵坐标求得面积.跟踪训练2 已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 2解析 不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=22,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|-|PF2|2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,则|PF1|+|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=
2.命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程例3 在△ABC中,已知A-2,0,B2,0,且内角A,B,C满足sinB-sinA=sinC,求顶点C的轨迹方程.考点 求与双曲线有关的轨迹方程题点 双曲线的一支解 由sinB-sinA=sinC及正弦定理,可得|CA|-|CB|=,从而有|CA|-|CB|=|AB|=2|AB|,由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支除去右顶点.∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6,∴顶点C的轨迹方程为-=1x.反思感悟 1求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种
①列出等量关系,化简得到方程;
②寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.2求解双曲线的轨迹问题时要特别注意
①双曲线的焦点所在的坐标轴;
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示,已知定圆F1x+52+y2=1,定圆F2x-52+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.考点 求与双曲线有关的轨迹方程题点 双曲线的一支解 圆F1x+52+y2=1,圆心F1-50,半径r1=1;圆F2x-52+y2=42,圆心F250,半径r2=
4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=310=|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.∴动圆圆心M的轨迹方程为-=
1.题型三 由双曲线方程求参数例4 若方程+=1表示双曲线,那么m的取值范围是________________.答案 {m|-3m2或m3}解析 依题意有或解得-3m2或m
3.所以m的取值范围是{m|-3m2或m3}.反思感悟 方程表示双曲线的条件及参数范围求法1对于方程+=1,当mn0时表示双曲线,进一步,当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时表示焦点在y轴上的双曲线.2对于方程-=1,当mn0时表示双曲线.且当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时表示焦点在y轴上的双曲线.3已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式组求解参数的取值范围.跟踪训练4 1已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是________.2若双曲线2x2-y2=k的焦距为6,则k的值为________.答案 1-11 2±6解析 1方程-=1表示双曲线,则1+k1-k0,所以k+1k-10,所以-1k
1.2当k0时,方程可化为-=1,则c2=+k=,即2×=6,故k=
6.当k0时,方程可化为-=1,则c2=-,故2×=6,解得k=-
6.综上所述,k=-6或
6.双曲线在生活中的应用典例 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心记A,B,C,A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.解 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=46=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.则A30,B-30,C-52.所以双曲线方程为-=1x2,BC的垂直平分线方程为x-y+7=
0.联立两方程解得x=8舍负,y=5,所以P85,kPA=tan∠PAx=,所以∠PAx=60°,所以P点在A点的北偏东30°方向.[素养评析] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下1建立适当的坐标系;2求出双曲线的标准方程;3根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.注意
①解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.
②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.1.若椭圆+=1和双曲线-=1有相同的焦点,则实数n的值是 A.±5B.±3C.5D.9答案 B解析 由题意知,34-n2=n2+16,∴2n2=18,n2=
9.∴n=±
3.2.若双曲线E-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 A.11B.9C.5D.3答案 B解析 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9负值舍去,故选B.3.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 A.4B.8C.24D.48答案 C解析 由题意得解得又由|F1F2|=10可得△PF1F2是直角三角形,则=|PF1||PF2|=
24.4.已知双曲线中a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为______________________.答案 -=1或-=1解析 当焦点在x轴上时,方程为-=1,当焦点在y轴上时,方程为-=
1.5.已知圆C x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则所得双曲线的标准方程为________.答案 -=1解析 令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,则符合条件的双曲线中a=2,c=4,∴b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程为-=
1.1.双曲线定义的理解1定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.2双曲线定义的双向运用
①若||MF1|-|MF2||=2a02a|F1F2|,则动点M的轨迹为双曲线.
②若动点M在双曲线上,则||MF1|-|MF2||=2a.2.求双曲线标准方程的步骤1定位是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.2定量是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.特别提醒若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,为简单起见,常标明条件mn
0.
一、选择题1.双曲线-=1的焦距为 A.3B.4C.3D.4答案 D解析 由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=
2.于是有c2=a2+b2=12,则2c=
4.故选D.2.双曲线的两焦点坐标是F130,F2-30,2b=4,则双曲线的标准方程是 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A解析 焦点在x轴上,c=3,b=2,a=.故选A.3.已知双曲线-=1的一个焦点是02,则实数m的值是 A.1B.-1C.-D.答案 B解析 由焦点坐标知,焦点在y轴上,∴m0,∴双曲线的标准方程为-=1,∴-m-3m=4,∴m=-
1.4.若k∈R,则“k5”是“方程-=1表示双曲线”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 当k5时,方程表示双曲线;反之,当方程表示双曲线时,k5或k
2.故选A.5.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1-,0,点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为02,则此双曲线的方程是 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1答案 B解析 据已知条件得焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1a0,b0,则a2+b2=
5.
①∵线段PF1的中点的坐标为02,∴点P的坐标为,4,将其代入双曲线的方程,得-=
1.
②由
①②解得a2=1,b2=4,∴双曲线的方程为x2-=
1.6.已知双曲线-=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为 A.3或7B.6或14C.3D.7考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 A解析 连接ON,ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或
3.7.已知F1,F2为双曲线C x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 A.B.C.D.答案 C解析 由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=
4.∴cos∠F1PF2====.8.已知双曲线-=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为 A.8B.9C.16D.20答案 B解析 △ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=20,∵|AB|=4,∴|AF2|+|BF2|=
16.根据双曲线定义知,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,∴4a=|AF2|+|BF2|-|AF1|+|BF1|=16-4=12,∴a=3,∴m=a2=
9.故选B.
二、填空题9.与双曲线-=1有相同焦点且过点P21的双曲线方程为________________.答案 -=1解析 ∵双曲线-=1的焦点在x轴上,∴设所求双曲线的方程为-=1a0,b0.又∵两曲线有相同的焦点,∴a2+b2=c2=4+2=
6.
①又点P21在双曲线-=1上,∴-=
1.
②由
①②得,a2=b2=3,故所求双曲线方程为-=
1.10.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.答案 2解析 设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=xx0,因为PF1⊥PF2,所以x+22+x2=2c2=8,所以x=-1,x+2=+1,所以|PF2|+|PF1|=-1++1=
2.11.焦点在x轴上的双曲线经过点P4,-3,且Q05与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为______________.考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 -=1解析 设焦点F1-c0,F2c0c0,则由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,∴·=-1,∴c=5,设双曲线方程为-=1a0,b0,∵双曲线过点4,-3,∴-=1,又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为-=
1.
三、解答题12.设F1,F2是双曲线-=1a0的两个焦点,若点P在双曲线上,且·=0,||·||=2,求双曲线的方程.解 ∵·=0,∴⊥,∴||2+||2=||2=20a.
①又|||-|||=
4.
②①-
②2,得2||·||=4a.∵||·||=2,∴a=
1.∴双曲线的方程为-y2=
1.13.已知双曲线-=1的左、右焦点为F1,F
2.1若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离;2若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点3,2,求双曲线C的方程.解 1如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,·=0,则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义知,m-n=2a=8,
①又c=2,m2+n2=2c2=80,
②由
①②得m·n=8,∴=mn=4=|F1F2|·h,∴h=.2设所求双曲线C的方程为-=1-4λ16,由于双曲线C过点3,2,∴-=1,解得λ=4或λ=-14舍去.∴所求双曲线C的方程为-=
1.14.已知点P为双曲线-=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△F1F2P的内心,若=+4,则△F1F2M的面积为 A.5B.6C.2D.10答案 A解析 由双曲线方程-=1,知焦点在x轴上,实轴长为2a=8,虚轴长为2b=6,焦距2c=
10.设△PF1F2的内切圆半径为r.由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=8,|F1F2|=10,=|PF1|·r,=|PF2|·r.∵=+4,∴|PF1|·r=|PF2|·r+4,解得r=1,∴=·2c·r=c·r=5,故选A.15.已知双曲线过点3,-2且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.1求双曲线的标准方程;2若点M在双曲线上,F1,F2为其左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状.解 1椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c==,故设双曲线方程为-=1a0,b0,则有解得所以双曲线的标准方程为-=
1.2不妨设M点在右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,又|MF1|+|MF2|=6,故解得|MF1|=4,|MF2|=2,又|F1F2|=2,所以在△MF1F2中,MF1边最长,cos∠MF2F1=0,所以∠MF2F1为钝角,△MF2F1为钝角三角形.焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程-=1a0,b0-=1a0,b0图形焦点坐标F1-c0,F2c0F10,-c,F20,ca,b,c的关系式a2+b2=c2。