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文本内容:
2.
4.1 抛物线的标准方程学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一 抛物线的定义1.平面内与一个定点F和一条定直线lF∉l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.2.定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点,设为M;一个定点F抛物线的焦点;一条定直线抛物线的准线;一个定值即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1.知识点二 抛物线的标准方程由于抛物线焦点位置不同,方程也就不同,故抛物线的标准方程有以下几种形式y2=2pxp0,y2=-2pxp0,x2=2pyp0,x2=-2pyp0.现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线. × 2.拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离. √ 3.拋物线的方程都是二次函数. × 4.抛物线的开口方向由一次项确定. √ 题型一 求抛物线的标准方程例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.1经过点-3,-1;2焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 1因为点-3,-1在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2pxp0或x2=-2pyp0.若抛物线的标准方程为y2=-2pxp0,则由-12=-2p×-3,解得p=;若抛物线的标准方程为x2=-2pyp0,则由-32=-2p×-1,解得p=.故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.2对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以抛物线的焦点为0,-3或40.当焦点为0,-3时,=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为40时,=4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mxm≠0或x2=nyn≠0,这样可以减少讨论情况的个数.跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程1准线方程为y=;2焦点在y轴上,焦点到准线的距离为
5.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 1易知抛物线的准线交y轴于正半轴,且=,则p=,故所求抛物线的标准方程为x2=-y.2已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2mym≠0,由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹方程例2 已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C x2+y+32=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用解 设动圆圆心为Mx,y,半径为r,由题意可得M到C0,-3的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以C0,-3为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.跟踪训练2 已知动圆M经过点A30,且与直线l x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用解 设动点Mx,y,⊙M与直线l x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A30和定直线l x=-3的距离相等,∴点M的轨迹是抛物线,且以A30为焦点,以直线l x=-3为准线,∴=3,∴p=6,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.命题角度2 利用抛物线定义求最值例3 如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A32,求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.考点 求抛物线的最值问题题点 根据抛物线定义转换求最值解 将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.∵2,∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d.由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为.即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=
2.∴点P坐标为22.引申探究若将本例中的点A32改为点02,求点P到点A的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知,P点,A点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小,所以最小距离d==.反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪训练3 已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是 A.B.C.2D.-1考点 求抛物线的最值问题题点 根据抛物线定义转换求最值答案 D解析 由题意知,抛物线的焦点为F10.设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-
1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-
1.抛物线的实际应用问题典例 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面上的部分高
0.75m,问水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时,小船开始不能通航?考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2pyp0,由题意可知,点B4,-5在抛物线上,故p=,得x2=-y.当船面两侧和抛物线接触时,船开始不能通航,设此时船面宽为AA′,则A2,yA,由22=-yA,得yA=-.又知船面露出水面上的部分高为
0.75m,所以h=|yA|+
0.75=2m.所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时,小船开始不能通航.[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型,故利用抛物线的有关知识解决此问题,操作步骤为1建系建立适当的坐标系.2假设设出合适的抛物线标准方程.3计算通过计算求出抛物线的标准方程.4求解求出需要求出的量.5还原还原到实际问题中,从而解决实际问题.1.抛物线y2=x的准线方程为 A.x=B.x=-C.y=D.y=-答案 B解析 抛物线y2=x的开口向右,且p=,所以准线方程为x=-.2.已知抛物线y=2px2过点14,则抛物线的焦点坐标为 A.10B.C.D.01考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标答案 C解析 由抛物线y=2px2过点14,可得p=2,∴抛物线的标准方程为x2=y,则焦点坐标为,故选C.3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点Pm,-2到焦点的距离为4,则m的值为 A.4B.-2C.4或-4D.12或-2答案 C解析 由题意可设抛物线的标准方程为x2=-2pyp0,由定义知点P到准线的距离为4,故+2=4,∴p=4,∴x2=-8y.将点P的坐标代入x2=-8y,得m=±
4.4.若抛物线y2=2pxp0上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=________.答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离,所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离,即=1,p=
2.5.若抛物线y2=2pxp0的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=________.答案 2解析 抛物线y2=2pxp0的准线方程是x=-,因为抛物线y2=2pxp0的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点F1-,0,所以-=-,解得p=
2.1.焦点在x轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y2=mxm≠0,此时焦点为F,准线方程为x=-;焦点在y轴上的抛物线,其标准方程可以统设为x2=mym≠0,此时焦点为F,准线方程为y=-.2.设M是抛物线上一点,焦点为F,则线段MF叫做抛物线的焦半径.若Mx0,y0在抛物线y2=2pxp0上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径|MF|=x0+.
一、选择题1.关于抛物线x=4y2,下列描述正确的是 A.开口向上,焦点坐标为01B.开口向上,焦点坐标为C.开口向右,焦点坐标为10D.开口向右,焦点坐标为答案 D解析 由x=4y2得y2=x,∴开口向右,焦点坐标为.2.已知抛物线y2=2pxp0的准线经过点-11,则该抛物线的焦点坐标为 A.-10B.10C.0,-1D.01答案 B解析 抛物线y2=2pxp0的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即p=2,故焦点坐标为.3.已知抛物线y2=2pxp0的准线与圆x-32+y2=16相切,则p的值为 A.B.1C.2D.4答案 C解析 抛物线y2=2px的准线方程为x=-,它与圆相切,所以必有3-=4,p=
2.4.若动点P与定点F11和直线l3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是 A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线答案 D解析 方法一 设动点P的坐标为x,y.则=.整理,得x2+9y2+4x-12y-6xy+4=0,即x-3y+22=0,∴x-3y+2=
0.所以动点P的轨迹为直线.方法二 显然定点F11在直线l3x+y-4=0上,则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.5.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆x-32+y2=1上,则|PQ|的最小值是 A.-1B.-1C.2D.-1答案 D解析 设圆x-32+y2=1的圆心为O′30,要求|PQ|的最小值,只需求|PO′|的最小值.设点P坐标为y,y0,则|PO′|===,∴|PO′|的最小值为,从而|PQ|的最小值为-
1.6.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是 A.B.C.D.0答案 B解析 抛物线方程化为x2=y,准线为y=-,由于点M到焦点的距离为1,所以M到准线的距离也为1,所以M点的纵坐标等于1-=.7.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,A点的坐标为88,则线段AB的中点到准线的距离是 A.B.C.D.25答案 A解析 抛物线的焦点F的坐标为20,直线l的方程为y=x-2.由得B点的坐标为.∴|AB|=|AF|+|BF|=2+8+2+=.∴AB的中点到准线的距离为.8.已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是87,则|PA|+|PQ|的最小值为 A.7B.8C.9D.10考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其它知识结合的应用答案 C解析 抛物线的焦点为F01,准线方程为y=-1,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+
1.∴|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=10-1=
9.当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立,则|PA|+|PQ|的最小值为
9.
二、填空题9.已知抛物线y2=2x上一点Pm2,则m=________,点P到抛物线的焦点F的距离为________.答案 2 解析 将m2代入抛物线中得4=2m,得m=2,由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2+=.10.设抛物线y2=2pxp0的焦点为F,点A02.若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为________.答案 解析 如图所示,由已知,得点B的纵坐标为1,横坐标为,即B.将其代入y2=2px,得1=2p×,解得p=,故点B到准线的距离为+=p=.11.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=________.答案 8解析 如图所示,直线AF的方程为y=-x-2,与准线方程x=-2联立得A-24.设Px4,代入抛物线方程y2=8x,得8x=48,∴x=6,∴|PF|=x+2=
8.
三、解答题12.已知拋物线的顶点在原点,焦点在y轴上,拋物线上一点Mm,-3到焦点的距离为5,求m的值,拋物线方程和准线方程.解 设所求拋物线方程为x2=-2pyp0,则焦点为F.∵Mm,-3在拋物线上,且|MF|=5,∴解得∴m=±2,拋物线方程为x2=-8y,准线方程为y=
2.13.平面上动点P到定点F10的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用解 方法一 由题意,动点P到定点F10的距离比到y轴的距离大1,由于点F10到y轴的距离为1,故当x0时,直线y=0上的点适合条件;当x≥0时,原命题等价于点P到点F10与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2=方法二 设点P的坐标为x,y,则有=|x|+1,两边平方并化简得y2=2x+2|x|.∴y2=即点P的轨迹方程为y2=14.如果P1,P2,…,Pn是抛物线C y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|等于 A.n+10B.n+20C.2n+10D.2n+20答案 A解析 由抛物线的方程y2=4x可知其焦点为10,准线为x=-1,由抛物线的定义可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,所以|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+1+x2+1+…+xn+1=x1+x2+…+xn+n=n+
10.
15.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切.1求抛物线C的方程;2若点A,B都在抛物线C上,且=2,求点A的坐标.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线的方程解 1依题意,可设抛物线C的方程为x2=2pyp0,其准线l的方程为y=-.∵准线l与圆x2+y2=1相切,∴圆心00到准线l的距离d=0-=1,解得p=
2.故抛物线C的方程为x2=4y.2设Ax1,y1,Bx2,y2,则由题意得F01,∴=x2,y2-1,=x1,y1,∵=2,∴x2,y2-1=2x1,y1=2x12y1,即代入
②得4x=8y1+4,即x=2y1+1,又x=4y1,所以4y1=2y1+1,解得y1=,x1=±,即点A的坐标为或.图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2pxp0x=-y2=-2pxp0x=x2=2pyp0y=-x2=-2pyp0y=。