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文本内容:
阶段训练三范围§
2.1~§
2.3
一、选择题1.方程+=1所表示的曲线是 A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线答案 D解析 ∵sinθ-102sinθ+30,∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.
2.如图所示,共顶点的椭圆
①,
②与双曲线
③,
④的离心率分别为e1,e2,e3,e4,其大小关系为 A.e1e2e3e4B.e2e1e3e4C.e1e2e4e3D.e2e1e4e3答案 C解析 由椭圆的离心率小于双曲线的离心率知e1,e2e3,e
4.对椭圆,越扁离心率越大,∴e1e2;对双曲线,开口越大,离心率就越大,∴e4e
3.故e1e2e4e
3.3.设椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若|BF2|=|F1F2|=2,则该椭圆的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+y2=1D.+y2=1答案 A解析 ∵|BF2|=|F1F2|=2,∴a=2c=2,∴a=2,c=1,∴b=,∴椭圆的方程为+=
1.4.已知双曲线-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P34,则此双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 C解析 由已知条件,得2r=|F1F2|=2c,即r=c,而r=|OP|=
5.渐近线方程为y=±x,点P34在直线y=x上,所以解得所以双曲线方程为-=
1.5.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=8x的准线交于A,B两点,且|AB|=2,则C的实轴长为 A.1B.2C.4D.8考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 B解析 设等轴双曲线的方程为x2-y2=λλ≠0,
①∵抛物线的方程为y2=8x,∴2p=8,p=4,∴=2,∴抛物线的准线方程为x=-
2.设等轴双曲线与抛物线的准线x=-2的两个交点为A-2,y,B-2,-yy0,则|AB|=|y--y|=2y=2,∴y=.将x=-2,y=代入
①,得-22-2=λ,即λ=1,∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=1,∴C的实轴长为
2.6.一条直线过点,且与抛物线y2=x交于A,B两点.若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于 A.B.2C.D.4考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 C解析 ∵抛物线方程为y2=x,∴其焦点坐标为,准线方程为x=-,∴直线AB过抛物线焦点,∴由抛物线的定义知,弦AB的中点到直线x=-的距离为2,∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.
二、填空题7.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是________________.答案 2x2-2y2=1解析 椭圆的焦点为±10,∴双曲线的焦点为±10,设双曲线的方程为-=1,椭圆的离心率e=,∴双曲线的离心率e′=,∴c2=1=2a
2.又c2-a2=b2,∴a2=b2=,故所求双曲线方程为2x2-2y2=
1.8.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=axa0的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAFO为坐标原点的面积为4,则抛物线的方程为________.答案 y2=8x解析 依题意得|OF|=,又直线l的斜率为2,可知|AO|=2|OF|=,△AOF的面积等于|AO||OF|==4,则a2=
64.又a0,所以a=8,所以抛物线的方程是y2=8x.
9.如图所示,已知抛物线y2=2pxp0的焦点恰好是椭圆+=1的右焦点F,且两条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为________.答案 -1解析 设椭圆的左焦点为F′,抛物线与椭圆在第一象限的交点为A,连接AF′,∴F,F′,可得焦距|FF′|=p=2cc=,为椭圆的半焦距.对抛物线方程y2=2px,令x=,得y2=p2,所以|AF|=|yA|=p.∴在Rt△AFF′中,|AF|=|FF′|=p,可得|AF′|=p,再根据椭圆的定义,可得|AF|+|AF′|=2a=1+p,∴该椭圆的离心率为e====-
1.10.点P在椭圆x2+=1上,点Q在直线y=x+4上,若|PQ|的最小值为,则m=________.答案 3解析 根据题意,与直线y=x+4平行且距离为的直线方程为y=x+2或y=x+6舍去,联立消去y,得m+1x2+4x+4-m=0,令Δ=16-4m+14-m=0,解得m=0或m=3,∵m0,∴m=
3.11.已知双曲线-=1a>0,b>0的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2pyp>0的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________.答案 y=±x解析 抛物线的准线方程为y=-,焦点为F,∴a2+2=c
2.
①设抛物线的准线y=-交双曲线于M,N两点,∴即-=1,解得x=±a,∴2a=2c.
②又∵b2=c2-a2,
③∴由
①②③,得=
2.∴=-1=1,解得=
1.∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
三、解答题12.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的一边AB在x轴上,另一边CD在x轴上方,且AB=8,BC=6,其中A-4,0,B40.1若A,B为椭圆的焦点,且椭圆经过C,D两点,求该椭圆的方程;2若A,B为双曲线的焦点,且双曲线经过C,D两点,求双曲线的方程.解 1∵A,B为椭圆的焦点,且椭圆经过C,D两点,根据椭圆的定义,|CA|+|CB|=16=2a,∴a=
8.在椭圆中,b2=a2-c2=64-16=48,∴椭圆方程为+=
1.2∵A,B是双曲线的焦点,且双曲线经过C,D两点,根据双曲线的定义,|CA|-|CB|=4=2a′,∴a′=
2.在双曲线中,b′2=c′2-a′2=16-4=12,∴双曲线方程为-=
1.13.已知椭圆E+=1ab0的一个顶点A0,,离心率e=.1求椭圆E的方程;2设动直线l y=kx+m与椭圆E相切于点P,且与直线x=4相交于点Q,求证以PQ为直径的圆过定点N1,0.1解 由已知,可得∴a2=4,∴所求椭圆方程为+=
1.2证明 联立方程+=1与y=kx+m,消去y,得3+4k2x2+8kmx+4m2-12=
0.∵曲线E与直线只有一个公共点,∴Δ=0,化简可得m2=4k2+3,故m≠
0.设PxP,yP,故xP==-,yP=kxP+m=,故P.又由得Q44k+m.∵N10,=,=34k+m,∴·=3+--3=0,∴⊥,∴以PQ为直径的圆过定点N10.14.若点M12,点C是椭圆+=1的右焦点,点A是椭圆的动点,则|AM|+|AC|的最小值是________.答案 8-2解析 设点B为椭圆的左焦点,则B-30,点M12在椭圆内,那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a,当且仅当A,B,M三点共线时等号成立,所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|,而a=4,|BM|==2,所以|AM|+|AC|min=8-
2.15.已知椭圆的一个顶点为A0,-1,焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+2=0的距离为
3.1求椭圆的方程;2设椭圆与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.解 1设椭圆的方程为+=1,则b=
1.又焦点Fc0到直线x-y+2=0的距离为3,∴=3,∴|c+2|=3,∵c>0,∴c=,∴a2=b2+c2=3,∴椭圆方程为+y2=
1.2由消去y,得3k2+1x2+6mkx+3m2-1=0,∵直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ>0,即m2<3k2+
1.
①i当k≠0时,设弦MN的中点为PxP,yP,xM,xN分别为点M,N的横坐标,则xP==-,从而yP=kxP+m=,kAP==-,又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN.则-=-,即2m=3k2+1,
②将
②代入
①得2m>m2,解得0<m<2,由
②得k2=>0,解得m>,故所求的m的取值范围是.ii当k=0时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,由m2<3k2+1,解得-1<m<
1.综上所述,当k≠0时,m的取值范围是,当k=0时,m的取值范围是-11.。