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课时跟踪检测七 函数的奇偶性与周期性
一、题点全面练1.2018·天水一模下列函数中,既是奇函数,又是增函数的为 A.y=x+1 B.y=-x2C.y=D.y=x|x|解析选D 对于A,y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.对于B,y=-x2是偶函数,不满足条件.对于C,y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.对于D,设fx=x|x|,则f-x=-x|x|=-fx,则函数为奇函数,当x0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,当x≤0时,y=x|x|=-x2,此时为增函数,综上,y=x|x|在R上为增函数.故选D.2.设函数fx为偶函数,当x∈0,+∞时,fx=log2x,则f-= A.-B.C.2D.-2解析选B 由已知得f-=f=log2=.故选B.3.函数fx满足fx+1=-fx,且当0≤x≤1时,fx=2x1-x,则f的值为 A.B.C.-D.-解析选A ∵fx+1=-fx,∴fx+2=-fx+1=fx,即函数fx的周期为
2.∴f=f=f=2××=.4.2018·佛山一模已知fx=2x+为奇函数,gx=bx-log24x+1为偶函数,则fab= A.B.C.-D.-解析选D 根据题意,fx=2x+为奇函数,则f-x+fx=0,即+=0,解得a=-
1.gx=bx-log24x+1为偶函数,则gx=g-x,即bx-log24x+1=b-x-log24-x+1,解得b=1,则ab=-1,所以fab=f-1=2-1-=-.5.定义在R上的偶函数fx满足对任意的x1,x2∈[0,+∞x1≠x2,有0,则 A.f3f-2f1B.f1f-2f3C.f-2f1f3D.f3f1f-2解析选A ∵fx是偶函数,∴f-2=f2.又∵任意的x1,x2∈[0,+∞x1≠x2,有0,∴fx在[0,+∞上是减函数.又∵123,∴f1f2=f-2f3,故选A.6.2019·荆州模拟已知fx是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈01时,fx=3x-1,则f= A.+1B.-1C.--1D.-+1解析选D 因为fx是周期为2的奇函数,所以fx+2=fx=-f-x,所以f=f=f=-f=-f.又当x∈01时,fx=3x-1,所以f=-1,f=-+
1.7.已知函数fx=asinx+bln+t,若f+f=6,则实数t= A.-2B.-1C.1D.3解析选D 令gx=asinx+bln,易知gx为奇函数,所以g+g=0,则由fx=gx+t,得f+f=g+g+2t=2t=6,解得t=
3.故选D.8.已知fx是定义域为-11的奇函数,而且fx是减函数,如果fm-2+f2m-30,那么实数m的取值范围是 A.B.C.13D.解析选A ∵fx是定义域为-11的奇函数,∴-1x1,f-x=-fx,∴fm-2+f2m-30可转化为fm-2-f2m-3,即fm-2f-2m+3.∵fx是减函数,∴∴1m.9.2019·洛阳第一次统考若函数fx=lnex+1+ax为偶函数,则实数a=________.解析法一定义法∵函数fx=lnex+1+ax为偶函数,∴f-x=fx,即lne-x+1-ax=lnex+1+ax,∴2ax=lne-x+1-lnex+1=ln=ln=-x,∴2a=-1,解得a=-.法二取特殊值由题意知函数fx的定义域为R,由fx为偶函数得f-1=f1,∴lne-1+1-a=lne1+1+a,∴2a=lne-1+1-lne1+1=ln=ln=-1,∴a=-.答案-10.设定义在R上的函数fx同时满足以下条件
①fx+f-x=0;
②fx=fx+2;
③当0≤x1时,fx=2x-1,则f+f1+f+f2+f=________.解析依题意知函数fx为奇函数且周期为2,则f1+f-1=0,f-1=f1,即f1=
0.∴f+f1+f+f2+f=f+0+f+f0+f=f-f+f0+f=f+f0=2-1+20-1=-
1.答案-1
二、专项培优练一技法专练——活用快得分1.[巧用性质]已知函数fx=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 A.0B.2C.4D.8解析选C fx==2+,设gx=,则g-x=-gxx∈R,∴gx为奇函数,∴gxmax+gxmin=
0.∵M=fxmax=2+gxmax,m=fxmin=2+gxmin,∴M+m=2+gxmax+2+gxmin=
4.2.[巧用性质]设函数fx=ln1+|x|-,则使得fxf2x-1成立的x的取值范围为________.解析由已知得函数fx为偶函数,所以fx=f|x|,由fxf2x-1,可得f|x|f|2x-1|.当x0时,fx=ln1+x-,因为y=ln1+x与y=-在0,+∞上都单调递增,所以函数fx在0,+∞上单调递增.由f|x|f|2x-1|,可得|x||2x-1|,两边平方可得x22x-12,整理得3x2-4x+10,解得x
1.所以x的取值范围为.答案3.[数形结合]已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2要使fx在[-1,a-2]上单调递增,作出fx的图象如图所示,结合fx的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是13].二素养专练——学会更学通4.[逻辑推理]奇函数fx的定义域为R.若fx+2为偶函数,且f1=1,则f8+f9= A.-2B.-1C.0D.1解析选D 由函数fx+2为偶函数可得,f2+x=f2-x.又f-x=-fx,故f2-x=-fx-2,所以f2+x=-fx-2,即fx+4=-fx.所以fx+8=-fx+4=fx,故该函数是周期为8的周期函数.又函数fx为奇函数,故f0=
0.所以f8+f9=f0+f1=0+1=
1.5.[逻辑推理]已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25<f11<f80B.f80<f11<f-25C.f11<f80<f-25D.f-25<f80f11解析选D ∵fx满足fx-4=-fx,∴fx-8=fx,∴函数fx是以8为周期的周期函数,则f-25=f-1,f80=f0,f11=f3.由fx是定义在R上的奇函数,且满足fx-4=-fx,得f11=f3=-f-1=f1.∵fx在区间
[02]上是增函数,fx在R上是奇函数,∴fx在区间[-22]上是增函数,∴f-1<f0<f1,即f-25<f80<f11.6.[数学运算]定义在R上的函数fx,满足fx+5=fx,当x∈-30]时,fx=-x-1,当x∈02]时,fx=log2x,则f1+f2+f3+…+f2019的值等于 A.403B.405C.806D.809解析选B 定义在R上的函数fx,满足fx+5=fx,即函数fx的周期为
5.当x∈02]时,fx=log2x,所以f1=log21=0,f2=log22=
1.当x∈-30]时,fx=-x-1,所以f3=f-2=1,f4=f-1=0,f5=f0=-
1.所以f1+f2+…+f2019=403×[f1+f2+f3+f4+f5]+f2016+f2017+f2018+f2019=403×1+f1+f2+f3+f4=403+0+1+1+0=
405.7.[数学运算]设函数fx是-∞,+∞上的奇函数,fx+2=-fx,当0≤x≤1时,fx=x.1求fπ的值;2当-4≤x≤4时,求函数fx的图象与x轴所围成图形的面积.解1由fx+2=-fx得,fx+4=f[x+2+2]=-fx+2=fx,所以fx是以4为周期的周期函数,所以fπ=f-1×4+π=fπ-4=-f4-π=-4-π=π-
4.2由fx是奇函数且fx+2=-fx,得f[x-1+2]=-fx-1=f[-x-1],即f1+x=f1-x.故知函数y=fx的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,fx=x,且fx的图象关于原点成中心对称,则fx的图象如图所示.当-4≤x≤4时,设fx的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=
4.。