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考点测试38 直接证明与间接证明高考概览考纲研读1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点2.了解反证法的思考过程和特点
一、基础小题1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明“cos4θ-sin4θ=cos2θ-sin2θ·cos2θ+sin2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了 A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法答案 B解析 因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.2.用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”,应假设 A.三个内角至多有一个大于60°B.三个内角都不大于60°C.三个内角都大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案 C解析 “三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”,其否定为“三角形内角都大于60°”.故选C.3.若a,b,c是不全相等的实数,求证a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.又∵a,b,c不全相等,∴以上三式至少有一个“=”不成立.∴将以上三式相加得2a2+b2+c22ab+bc+ac.∴a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是 A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法答案 B解析 由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是 A.a-b0B.a-c0C.a-ba-c0D.a-ba-c0答案 C解析 a⇔b2-ac3a2⇔a+c2-ac3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a20⇔-2a2+ac+c20⇔2a2-ac-c20⇔a-c2a+c0⇔a-ca-b0.5.若P=+,Q=+,a≥0,则P,Q的大小关系是 A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定答案 C解析 令a=0,则P=≈2.6,Q=+≈3.7,∴PQ.据此猜想a≥0时PQ.证明如下要证PQ,只要证P2Q2,只要证2a+7+22a+7+2,只要证a2+7aa2+7a+12,只要证012,∵012成立,∴PQ成立.故选C.6.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是 A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知,被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号知,只有D符合条件.7.有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测4号或5号选手得第一名;观众乙猜测3号选手不可能得第一名;观众丙猜测1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是 A.甲B.乙C.丙D.丁答案 D解析 若1,2号得第一名,则乙丙丁都对,若3号得第一名,则只有丁对,若4,5号得第一名,则甲乙都对,若6号得第一名,则乙丙都对,因此只有丁猜对.故选D.8.记S=+++…+,则S与1的大小关系是________.答案 S1解析 ∵,,…,=,∴S=+++…+++…+=1.
二、高考小题9.2014·山东高考用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A解析 “方程x3+ax+b=0至少有一个实根”的否定是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
三、模拟小题10.2019·山东济南模拟用反证法证明若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是 A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”,故选B.11.2018·宁夏银川调研设a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断
①a-b2+b-c2+c-a2≠0;
②ab,ab及a=b中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中正确判断的个数为 A.0B.1C.2D.3答案 C解析
①②正确;
③中,a≠b,b≠c,a≠c可以同时成立,如a=1,b=2,c=3,故正确的判断有2个.12.2018·长春模拟设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数 A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案 D解析 假设a+,b+,c+都小于2,则有a++b++c+6.因为a,b,c都是正数,所以a++b++c+=++≥2+2+2=6,这与a++b++c+6矛盾,故假设不成立,所以a+,b+,c+至少有一个不小于2.故选D.13.2018·山东烟台模拟设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.答案 nm解析 解法一取特殊值法取a=2,b=1,则mn.解法二分析法-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0,显然成立.
一、高考大题1.2018·北京高考设n为正整数,集合A={α|α=t1,t2,…,tn,tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=x1,x2,…,xn和β=y1,y2,…,yn,记Mα,β=[x1+y1-|x1-y1|+x2+y2-|x2-y2|+…+xn+yn-|xn-yn|].1当n=3时,若α=1,1,0,β=0,1,1,求Mα,α和Mα,β的值;2当n=4时,设B是A的子集,且满足对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,Mα,β是奇数;当α,β不同时,Mα,β是偶数.求集合B中元素个数的最大值;3给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足对于B中的任意两个不同的元素α,β,Mα,β=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解 1因为α=1,1,0,β=0,1,1,所以Mα,α=[1+1-|1-1|+1+1-|1-1|+0+0-|0-0|]=2,Mα,β=[1+0-|1-0|+1+1-|1-1|+0+1-|0-1|]=1.2设α=x1,x2,x3,x4∈B,则Mα,α=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且Mα,α为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0}.将上述集合中的元素分成如下四组1,0,0,0,1,1,1,0;0,1,0,0,1,1,0,1;0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,0,1,0,1,1,1.经验证,对于每组中两个元素α,β均有Mα,β=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.3设Sk={x1,x2,…,xn|x1,x2,…,xn∈A,xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}k=1,2,…,n,Sn+1={x1,x2,…,xn|x1=x2=…=xn=0},所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1.对于Skk=1,2,…,n-1中的不同元素α,β,经验证,Mα,β≥1.所以Skk=1,2,…,n-1中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取ek=x1,x2,…,xn∈Sk且xk+1=…=xn=0k=1,2,…,n-1.令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.2.2018·江苏高考记f′x,g′x分别为函数fx,gx的导函数,若存在x0∈R,满足fx0=gx0且f′x0=g′x0,则称x0为函数fx与gx的一个“S点”.1证明函数fx=x与gx=x2+2x-2不存在“S点”;2若函数fx=ax2-1与gx=lnx存在“S点”,求实数a的值;3已知函数fx=-x2+a,gx=,对任意a0,判断是否存在b0,使函数fx与gx在区间0,+∞内存在“S点”,并说明理由.解 1证明函数fx=x,gx=x2+2x-2,则f′x=1,g′x=2x+2,由fx=gx且f′x=g′x,得此方程组无解.因此,fx=x与gx=x2+2x-2不存在“S点”.2函数fx=ax2-1,gx=lnx,则f′x=2ax,g′x=,设x0为fx与gx的“S点”,由fx0=gx0且f′x0=g′x0,得即*得lnx0=-,即x0=e-,则a==.当a=时,x0=e-满足方程组*,即x0为fx与gx的“S点”,因此,a的值为.3f′x=-2x,g′x=,x≠0,f′x0=g′x0⇒bex0=-0⇒x0∈0,1,fx0=gx0⇒-x+a==-⇒a=x-,令hx=x2--a=,x∈0,1,a0,设mx=-x3+3x2+ax-a,x∈0,1,a0,则m0=-a0,m1=20⇒m0·m10,又mx的图象在0,1上连续不断,∴mx在0,1上有零点,则hx在0,1上有零点.因此,对任意a0,存在b0,使函数fx与gx在区间0,+∞内存在“S点”.
二、模拟大题3.2018·贵州安顺调研已知函数fx=3x-2x,求证对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.证明 要证明≥f,即证明≥3-2·,因此只要证明-x1+x2≥3-x1+x2,即证明≥3,因此只要证明≥,由于x1,x2∈R时,3x10,3x20,由基本不等式知≥当且仅当x1=x2时等号成立显然成立,故原结论成立.4.2018·山东临沂三校联考已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.1求数列{an}的通项公式;2求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.解 1当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以{an}是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.2证明反证法假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1pqr,且p,q,r∈N*,则2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.
①又因为pqr,且p,q,r∈N*,所以r-q,r-p∈N*.所以
①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.窗口12671112……过道3458910131415………窗口。