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第二节平面向量的数量积及应用限时规范训练限时练·夯基练·提能练A级 基础夯实练1.2018·山东济南模拟已知矩形ABCD中,AB=,BC=1,则·= A.1 B.-1C.D.2解析选B.设=a,=b,则a·b=0,∵|a|=,|b|=1,∴·=a+b·-b=-a·b-b2=-
1.故选B.2.2018·陕西吴起高级中学质检已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=,则|a-2b|= A.B.1C.2D.解析选B.∵|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+1-1=1,∴|a-2b|=
1.故选B.3.2018·昆明检测已知非零向量a,b满足a·b=0,|a|=3,且a与a+b的夹角为,则|b|= A.6B.3C.2D.3解析选D.因为a·a+b=a2+a·b=|a||a+b|cos,所以|a+b|=3,将|a+b|=3两边平方可得,a2+2a·b+b2=18,解得|b|=3,故选D.4.2018·成都检测已知平面向量a=-23,b=12,向量λa+b与b垂直,则实数λ的值为 A.B.-C.D.-解析选D.因为a=-23,b=12,向量λa+b与b垂直,所以-2λ+13λ+2·12=-2λ+1+23λ+2=4λ+5=0,解得λ=-.故选D.5.2018·江西三校联考若|a|=2,|b|=4,且a+b⊥a,则a与b的夹角为 A.B.C.D.-解析选A.∵a+b⊥a,∴a+b·a=a2+a·b=0,∴a·b=-4,cos〈a,b〉===-,∴〈a,b〉=,故选A.6.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.4a+b⊥解析选D.因为=-=2a+b-2a=b,所以|b|=2,故A错误;由于·=2a·2a+b=4|a|2+2a·b=4+2×1×2×=2,所以2a·b=2-4|a|2=-2,所以a·b=-1,故B,C错误;又因为4a+b·=4a+b·b=4a·b+|b|2=4×-1+4=0,所以4a+b⊥.7.2018·永州模拟在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是 A.B.2C.D.6解析选C.∵·=-1,∴||·||·cos120°=-1,即||·||=2,∴||2=|-|2=2-2·+2≥2||·||-2·=6,∴||min=.8.2018·豫南九校联考已知向量a=m2,b=2,-1,且a⊥b,则的值为________.解析∵a⊥b,∴2m-2=0,∴m=1,则2a-b=05,a+b=31,∴a·a+b=1×3+2×1=5,|2a-b|=5,∴==
1.9.2018·江苏扬州质检已知点E是正方形ABCD的边CD的中点,若·=-2,则·=________.解析如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2aa>0,则A00,Ea2a,B2a0,D02a,可得=a2a,=2a,-2a,若·=-2,则2a2-4a2=-2,解得a=1,所以=-12,=12,所以·=
3.答案310.在△ABC中,⊥,M是BC的中点.1若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;2若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·+·的最小值.解1设向量+2与向量2+的夹角为θ,则cosθ=,令||=||=a,则cosθ==.2∵||=||=,∴||=1,设||=x0≤x≤1,则||=1-x.而+=2,所以·+·=·+=2·=2||·||cosπ=2x2-2x=22-,当且仅当x=时,·+·取得最小值,最小值为-.B级 能力提升练11.2018·佛山调研已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足a-c·b-c=0,则|c|的最大值是 A.1B.2C.D.解析选C.设a=10,b=01,c=x,y,则a-c·b-c=0,即1-x,-y·-x1-y=0,整理得2+2=,这是一个圆心坐标为,半径为的圆,所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离.根据图形可知,这个最大距离是,即所求的最大值为.12.2017·浙江卷如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则 A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3解析选C.在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD==<,得cos∠CAD<cos∠CAB,即∠CAD>∠CAB.在等腰△ABD中,易得OD>OB,∠AOB>.同理在等腰△ABC中,∵∠ABD<,∴CO>OA.又I1=||||cos∠AOB,I3=||||cos∠COD,∴I3<I1<0,∴I2>0>I1>I3,故选C.13.2018·南京模拟在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为
2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则·的取值范围是________.解析由题意设BM=k,CN=2k0≤k≤1,由=+,=+知,·=+·+=·+·+·+·=·+·=4-3k,又0≤k≤1,所以1≤4-3k≤4,故·的取值范围是
[14].答案
[14]14.已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角,向量m=sinA,sinB,n=cosB,cosA,且m·n=sin2C.1求角C的大小;2若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·-=18,求边c的长.解1由已知得m·n=sinAcosB+cosAsinB=sinA+B,因为A+B+C=π,所以sinA+B=sinπ-C=sinC,所以m·n=sinC.又m·n=sin2C,所以sin2C=sinC,所以cosC=.又0<C<π,所以C=.2由已知得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理得2c=a+b.因为·-=·=18,所以abcosC=18,所以ab=
36.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a+b2-3ab所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=
6.15.2018·衡阳模拟已知m=2,1,n=cos2,sinB+C,其中A,B,C是△ABC的内角.1当A=时,求|n|的值;2若BC=1,||=,当m·n取最大值时,求A的大小及AC边的长.解1∵当A=时,n==,∴|n|==.2∵m·n=2cos2+sinB+C=1+cosA+sinA=2sin+.∵0<A<π,∴<A+<.∴当A+=,即A=时,sin=1,此时m·n取得最大值2+.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,即12=2+AC2-2AC×,化简得AC2-3AC+2=0,解得AC=1或
2.C级 素养加强练16.2018·武汉市模拟如图在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈01,且λ+4μ=
1.若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值为________.解析连接AM,AN,由·=||||cos=-,=+=λ+μ,=+,=-=1-λ+1-μ,||2=[1-λ2-1-λ1-μ+1-μ2]=1-λ2-1-λ1-μ+1-μ2,由λ+4μ=1⇒1-λ=4μ,可得||2=μ2-μ+,∵λ,μ∈01,∴当μ=时,||2取最小值,||的最小值为,∴||的最小值为.答案。